電荷密度 $\rho$ に働く力は(７．１－１)式を一般化したローレンツ力、
\begin{equation}
\boldsymbol{F}=\rho\boldsymbol{E}+[\boldsymbol{J}\times\boldsymbol{B}] \tag*{$(7.2-1)$}
\end{equation}
から計算できます。
この式は誘電体の電気分極 $\boldsymbol{P}$ や磁性体の磁化 $\boldsymbol{M}$ を含んでいないのでこれらに働く力はこの式から計算することが出来ません。
ここで物質中のマックスウェルの方程式に戻ってこれらに働く力について考えたいと思います。
まず物質中のマックスウェルの方程式は、
\begin{equation}
\begin{split}
&\mathrm{rot}\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} \hspace{15mm} \mathrm{div}\boldsymbol{B}=0 \\
&\mathrm{rot}\boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}+\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t} \hspace{10mm} \mathrm{div}\boldsymbol{D}=\rho
\end{split} \tag*{$(7.2-2)$}
\end{equation}
です。また構成方程式は次のようになります。
\begin{equation}
\boldsymbol{D}=\epsilon_0\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P} \hspace{10mm} \boldsymbol{H}=\frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{B}-\boldsymbol{M} \tag*{$(7.2-3)$}
\end{equation}
この式をマックスウェルの方程式(７．２－２)式の下の式に代入すると次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
&\mathrm{rot}\frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{B}-\frac{\partial}{\partial t}(\epsilon_0\boldsymbol{E})=\boldsymbol{J}+\mathrm{rot}\boldsymbol{M}+\frac{\partial\boldsymbol{P}}{\partial t} \\
&\mathrm{div}(\epsilon_0\boldsymbol{E})=\rho-\mathrm{div}\boldsymbol{P}
\end{split} \tag*{$(7.2-4)$}
\end{equation}
この式は右辺に物質に関する電荷密度や電気分極、磁化などをもってきており、これらが分かっておれば左辺の電場や磁束密度を求めることが出来ます。
上の式を見ると、磁化電流 $\mathrm{rot}\boldsymbol{M}$ や分極電流 $\partial\boldsymbol{P}/\partial t$ が電流と同じように電磁場の発生源となっていることが分かります。
また、下の式では、分極電荷 $-\mathrm{div}\boldsymbol{P}$ が電荷と同じ役割を果たしています。
つまりこれらの作る電磁場が遠方にある物体 $A$ に力を与えればその反作用を受けます。この反作用とは遠方の物体 $A$ が作る電磁場による力です。
したがってこれから結論付けられることは磁化電流や分極電流は電流と同じように、また分極電荷も電荷と同じように電磁場から力を受けるということです。
これより、ローレンツ力(７．２－１)式は次のようにかきかえる必要があります。
\begin{equation}
\boldsymbol{F}=(\rho-\mathrm{div}\boldsymbol{P})\boldsymbol{E}+\bigl[\bigl(\boldsymbol{J}+\mathrm{rot}\boldsymbol{M}+\frac{\partial\boldsymbol{P}}{\partial t}\bigr)\times\boldsymbol{B}\bigr] \tag*{$(7.2-5)$}
\end{equation}
この式は(７．２－５）式を使えば電磁場を使って次のようにかきかえることが出来ます。
\begin{equation}
\boldsymbol{F}=\mathrm{div}(\epsilon_0\boldsymbol{E})\boldsymbol{E}
+\bigl[\bigl(\mathrm{rot}\frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{B}-\frac{\partial}{\partial t}(\epsilon_0\boldsymbol{E})\bigr)\times\boldsymbol{B}\bigr] \tag*{$(7.2-6)$}
\end{equation}
この式を $i$ 成分でかき変形すると次の式を得ることが出来ます。
\begin{equation}
F_i=\sum_j\frac{\partial}{\partial x_j}\bigl(\epsilon_0E_iE_j-\frac{\epsilon_0}{2}\boldsymbol{E}^2\delta_{ij}+\frac{1}{\mu_0}B_iB_j-\frac{1}{2\mu_0}\boldsymbol{B}^2\delta_{ij}\bigr)
-\frac{\partial}{\partial t}[\epsilon_0\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}]_i \tag*{$(7.2-7)$}
\end{equation}
この変形については後で示します。
ここで次のテンソルを定義します。
\begin{equation}
T_{ij}=\epsilon_0E_iE_j-\frac{\epsilon_0}{2}\boldsymbol{E}^2\delta_{ij}+\frac{1}{\mu_0}B_iB_j-\frac{1}{2\mu_0}\boldsymbol{B}^2\delta_{ij} \tag*{$(7.2-8)$}
\end{equation}
これを使うと電磁力は次のように表すことが出来ます。
\begin{equation}
F_i=\sum_j\frac{\partial T_{ij}}{\partial x_j}-\frac{\partial}{\partial t}[\epsilon_0\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}]_i \tag*{$(7.2-9)$}
\end{equation}
この右辺第２項はポインティングベクトルの運動量変化で電磁波の放出などに伴う反作用なので通常の低周波では無視することが出来ます。
ここで定義したテンソル $T_{ij}$ はマックスウェルの応力とよばれています。
物体全体に働く力は、この物体を完全に取り囲む領域 $V$ でこれを体積積分して求めることが出来ます。
\begin{equation}
f_i=\int_V\sum_j\frac{\partial T_{ij}}{\partial x_j}dV \tag*{$(7.2-10)$}
\end{equation}
この式はガウスの発散定理を使って次のように領域 $S$ の表面積分に変換することが出来ます。
\begin{equation}
f_i=\int_S\sum_jT_{ij}n_jdS \tag*{$(7.2-11)$}
\end{equation}
$\boldsymbol{n}$ は面 $S$ 上の外向きにとった単位法線ベクトルです。
ここで(７．２－７）式の導出を行っておきます。大切なことは上に述べたマックスウェルの応力によって電磁力が計算できるということなので
導出に興味がない方は飛ばしていただいて結構です。
(７．２－６)式を成分でかくと次のようにかけます。
\begin{equation}
F_i=\epsilon_0\sum_j\frac{\partial E_j}{\partial x_j}E_i+\bigl[\mathrm{rot}\frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{B}\bigr]_i
-\bigl[\frac{\partial}{\partial t}(\epsilon_0\boldsymbol{E})\times\boldsymbol{B}\bigr]_i \notag
\end{equation}
この右辺第１項は次のように変形できます。
\begin{equation}
\sum_j\frac{\partial}{\partial x_j}\bigl(\epsilon_0E_iE_j)-\sum_j\epsilon_0\frac{\partial E_i}{\partial x_j}E_j \notag
\end{equation}
また、この右辺の最後の項は次のように変形できます。
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}[\epsilon_0\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}]_i-\epsilon_0\bigl[\boldsymbol{E}\times\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}\bigr]
=\frac{\partial}{\partial t}[\epsilon_0\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}]_i+\epsilon_0[\boldsymbol{E}\times\mathrm{rot}\boldsymbol{E}]_i \notag
\end{equation}
これらを代入して変形すれば次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
F_i=\sum_j\frac{\partial}{\partial x_j}(\epsilon_0E_iE_j)-\sum_j\epsilon_0\frac{\partial E_i}{\partial x_j}E_j+\frac{1}{\mu_0}[\mathrm{rot}\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{B}]_i
+\epsilon_0[\mathrm{rot}\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{E}]_i-\frac{\partial}{\partial t}[\epsilon_0\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}]_i
\end{split} \notag
\end{equation}
ここでレビ・チビタの記号を使うと次のように変形できます。
\begin{equation}
\begin{split}
[\mathrm{rot}\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{B}]_i&=\sum_{jk}e_{ijk}(\mathrm{rot}\boldsymbol{B})_jB_k=\sum_{jk}e_{ijk}\sum_{lm}e_{jlm}\frac{\partial B_m}{\partial x_l}B_k \\
&=\sum_{klm}(\sum_{j}e_{jki}e_{jlm})\frac{\partial B_m}{\partial x_l}B_k
=\sum_{klm}(\delta_{kl}\delta_{im}-\delta_{km}\delta_{il})\frac{\partial B_m}{\partial x_l}B_k \\
&=\sum_j\bigl(\frac{\partial B_i}{\partial x_j}-\frac{\partial B_j}{\partial x_i})B_j
\end{split} \notag
\end{equation}
同様にして、
\begin{equation}
[\mathrm{rot}\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{E}]_i=\sum_j\bigl(\frac{\partial E_i}{\partial x_j}-\frac{\partial E_j}{\partial x_i})E_j \notag
\end{equation}
なのでこれらを上の式に代入して変形すれば次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
F_i&=\sum_j\frac{\partial}{\partial x_j}(\epsilon_0E_iE_j)-\sum_j\epsilon_0\frac{\partial E_i}{\partial x_j}E_j
+\frac{1}{\mu_0}\sum_j\bigl(\frac{\partial B_i}{\partial x_j}-\frac{\partial B_j}{\partial x_i})B_j \\
&+\epsilon_0\sum_j\bigl(\frac{\partial E_i}{\partial x_j}-\frac{\partial E_j}{\partial x_i})E_j
-\frac{\partial}{\partial t}[\epsilon_0\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}]_i \\
&=\sum_j\frac{\partial}{\partial x_j}\bigl(\epsilon_0E_iE_j+\frac{1}{\mu_0}B_iB_j\bigr)-\frac{1}{\mu_0}B_i\mathrm{div}\boldsymbol{B}
-\frac{1}{\mu_0}\sum_j\frac{\partial B_j}{\partial x_i}B_j \\
&-\epsilon_0\sum_j\frac{\partial E_j}{\partial x_i}E_j-\frac{\partial}{\partial t}[\epsilon_0\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}]_i
\end{split} \notag
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
\mathrm{div}\boldsymbol{B}=0 \notag
\end{equation}
を使ってさらに変形すると(７．２－７)式、
\begin{equation}
F_i=\sum_j\frac{\partial}{\partial x_j}\bigl(\epsilon_0E_iE_j-\frac{\epsilon_0}{2}\boldsymbol{E}^2\delta_{ij}
+\frac{1}{\mu_0}B_iB_j-\frac{1}{2\mu_0}\boldsymbol{B}^2\delta_{ij}\bigr)
-\frac{\partial}{\partial t}[\epsilon_0\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}]_i \notag
\end{equation}
が得られます。