動磁場の場合の基礎方程式(４．１－２）式は変位電流を考慮すると次のようになります。
\begin{equation}
\mathrm{rot}\boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}+\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t} \tag*{$(5.1-1)$}
\end{equation}
ここで導体を流れる電流は右辺第１項にまとめています。
高周波電磁場の場合も周波数が一定の変化をするとした周波数応答解析と、時々刻々変化する状態を時間を追って追跡する過渡応答解析があります。
ここでは周波数応答解析について話を限定します。
周波数応答では誘電体の誘電率や磁性体の透磁率は電磁場に依存しないものとして扱います。そうでなければ一定の周波数の電磁場を与えても、歪んだ波形が生じ一定の周波数ではなくなってしまうからです。
すなわち、一定の値を持つ $\mu$、$\epsilon$ を使って、
\begin{equation}
\begin{split}
&\boldsymbol{H}=\frac{1}{\mu}\boldsymbol{B} \\
&\boldsymbol{D}=\epsilon\boldsymbol{E}
\end{split} \tag*{$(5.1-2)$}
\end{equation}
とかけるものとします。これを上の式に代入すると、
\begin{equation}
\mathrm{rot}\frac{1}{\mu}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{J}+\epsilon\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t} \tag*{$(5.1-3)$}
\end{equation}
となります。ここで磁束密度と電場をベクトルポテンシャル $\boldsymbol{A}$ とスカラーポテンシャル $\phi$ で表わすと次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
\mathrm{rot}\frac{1}{\mu}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}&=\boldsymbol{J}
+\epsilon\frac{\partial}{\partial t}\bigl(-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}-\mathrm{grad}\phi\bigr) \\
&=\boldsymbol{J}-\epsilon\frac{\partial^2\boldsymbol{A}}{\partial t^2}-\epsilon\mathrm{grad}\frac{\partial\phi}{\partial t}
\end{split} \notag
\end{equation}
ここで角周波数 $\omega$ としてフェザー表示を使い、
\begin{equation}
\begin{split}
&\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)=\boldsymbol{A}_c(\boldsymbol{x})e^{j\omega t} \\
&\phi(\boldsymbol{x},t)=\phi_c(\boldsymbol{x})e^{j\omega t}
\end{split} \tag*{$(5.1-4)$}
\end{equation}
とあらわすと、上の式は次のようにかけます。
\begin{equation}
-\omega^2\epsilon\boldsymbol{A}+\mathrm{rot}\frac{1}{\mu}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}
+j\omega\epsilon\mathrm{grad}\phi=\boldsymbol{J} \tag*{$(5.1-5)$}
\end{equation}
この方程式はベクトルの方程式なので３個の成分の数だけあります。一方未知の量である電磁ポテンシャルは、ベクトルポテンシャルが３成分、スカラーポテンシャルが１成分の合計４個あります。したがってこの方程式を解くためには方程式の数は一つ足りません。
これは動的な磁場解析のところでも述べましたが、電磁ポテンシャルにはゲージの自由度がありゲージ条件を決めなければ値が決まらないことからきています。
そこで、ゲージ条件をこれに加えるのですが、$\boldsymbol{A}$ 法ではスカラーポテンシャルがゼロとなるゲージを採ります。
これに対して、この式の発散をとった式を追加してスカラーポテンシャルについても解く $\boldsymbol{A}-\phi$ 法という解法もあるということを低周波の場合に説明しましたが、ここでは、$\boldsymbol{A}$ 法を採用することにします。この場合、上の式は次のようにかけます。
\begin{equation}
-\omega^2\epsilon\boldsymbol{A}+\mathrm{rot}\frac{1}{\mu}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{J} \tag*{$(5.1-6)$}
\end{equation}
この場合ベクトルポテンシャルは電場と比例するベクトルとして次のようにかけます。
\begin{equation}
\boldsymbol{A}=\frac{j}{\omega}\boldsymbol{E} \tag*{$(5.1-7)$}
\end{equation}
したがってこの場合ベクトルポテンシャルは電場で表すことが出来、(５．１－６）式は電場に関する式とみなすことが出来ます。
これより(５．１－６）式は電場に関する方程式として次のようにかくことが出来ます。
\begin{equation}
-\omega^2\epsilon\boldsymbol{E}+\mathrm{rot}\frac{1}{\mu}\mathrm{rot}\boldsymbol{E}=-j\omega\boldsymbol{J} \tag*{$(5.1-8)$}
\end{equation}
ここで得られた(５．１－６)式または(５．１－８)式が高周波電磁場に関する基礎方程式です。