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【技術情報】有限要素法入門

3.1 異方性磁性体


等方的な磁性体ではどの方向に対しても磁化特性は同じなので磁場と磁束密度は常に同じ方向です。
\begin{equation}
\boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{H} \tag*{$(3.1-1)$}
\end{equation}
ところが磁性体によっては方向によって磁化特性が異なる場合があります。このような磁性体に対しては上のようにかけず、
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
B_x \\
B_y \\
B_z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mu_{xx} & \mu_{xy} & \mu_{xz} \\
\mu_{yx} & \mu_{yy} & \mu_{yz} \\
\mu_{zx} & \mu_{zy} & \mu_{zz} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
H_x \\
H_y \\
H_z
\end{bmatrix} \tag*{$(3.1-2)$}
\end{equation}
のようにかく必要があります。ここで添字 $(x,y,z)$ を $(1,2,3)$ とかくと上の式は次のように表すことが出来ます。
\begin{equation}
B_i=\sum_{i=1}^3\mu_{ij}H_j \tag*{$(3.1-3)$}
\end{equation}
このように異方性磁性体を扱う場合は透磁率をベクトルに働く演算子と考える必要があります。
磁場や磁束密度はベクトル量なので成分で表すと、この透磁率を表す演算子は行列となります。
物理的な要請からこの行列は対称行列、
\begin{equation}
\mu_{ij}=\mu_{ji} \tag*{$(3.1-4)$}
\end{equation}
です。磁性体の単位体積中の内部エネルギーを $U$ とすれば、磁束密度の変化によって内部エネルギーは次のように変化します。
\begin{equation}
dU=\boldsymbol{H}\cdot d\boldsymbol{B} \notag
\end{equation}
後の異方性非線形磁性体の説明のさいに述べますが、このエネルギーが状態量であることからこの対称性が導かれます。

ここで、透磁率が対称行列で表されることが重要であることを強調しておきます。
これによって有限要素法の要素行列や係数行列が対称となることが保証されるからです。

さて透磁率が対称行列で表されるということは、特別な座標系、例えば磁化しやすい方向や磁化しにくい方向に座標軸をとってやれば
この行列を対角化することが出来ます。そうすれば、(3.1-2)式は次のようになります。
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
B_x \\
B_y \\
B_z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mu_x & 0 & 0 \\
0 & \mu_y & 0 \\
0 & 0 & \mu_z \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
H_x \\
H_y \\
H_z
\end{bmatrix} \tag*{$(3.1-5)$}
\end{equation}
ただし $(\mu_{xx},\mu_{yy},\mu_{zz})$ を $(\mu_x,\mu_y,\mu_z)$ とかいています。
このような場合静磁場に関する弱形式の方程式(2.4-5)式はどのようになるかを調べます。この式の左辺には、
\begin{equation}
\frac{1}{\mu}\mathrm{rot}\boldsymbol{A} \notag
\end{equation}
という項がありますが、これは等方性で一定の値を持つ透磁率を使っていたためで本来は $\boldsymbol{H}$ で表されるべきものです。したがって、
\begin{equation}
\int_V\mathrm{rot}\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{H}dV=\int_V\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{J}dV+\int_S\boldsymbol{w}\cdot[\boldsymbol{H}\times\boldsymbol{n}]dS \tag*{$(3.1-6)$}
\end{equation}
です。

まず2次元の場合ですが、(3.1-5)を逆に解き、
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
H_x \\
H_y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/\mu_x & 0 \\
0 & 1/\mu_y
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
B_x \\
B_y \\
\end{bmatrix} \tag*{$(3.1-7)$}
\end{equation}
ですからこの式の左辺の積分の中は次のようになります。
\begin{equation}
\mathrm{rot}\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{H}=\frac{\partial w_z}{\partial y}\frac{1}{\mu_x}\frac{\partial A_z}{\partial y}
+\frac{\partial w_z}{\partial x}\frac{1}{\mu_y}\frac{\partial A_z}{\partial x} \notag
\end{equation}
これより要素行列と要素ベクトル(2.2-6)式はは次のように修正する必要があります。
\begin{equation}
\begin{split}
&K_{\alpha\beta}^{(n)}=\int_{S_n}\bigl(\frac{\partial N_\alpha}{\partial x}\frac{1}{\mu_y}\frac{\partial N_\beta}{\partial x}
+\frac{\partial N_\alpha}{\partial y}\frac{1}{\mu_x}\frac{\partial N_\beta}{\partial y}\bigr)dS \\
&F_\alpha^{(n)}=\int_{S_n}N_\alpha J_z dS+\int_{l_n}N_\alpha[\boldsymbol{H}\times\boldsymbol{n}]_zdl
\end{split} \tag*{$(3.1-8)$}
\end{equation}

次に軸対称ですが、(3.1-7)式は、
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
H_r \\
H_z \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/\mu_r & 0 \\
0 & 1/\mu_z
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
B_r \\
B_z \\
\end{bmatrix} \tag*{$(3.1-9)$}
\end{equation}
ですから(3.1-6)式の左辺の積分の中は次のようになります。
\begin{equation}
\mathrm{rot}\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{H}=\frac{\partial w_\theta}{\partial z}\frac{1}{\mu_r}\frac{\partial A_\theta}{\partial z}
+\frac{1}{r}\frac{\partial rw_\theta}{\partial r}\frac{1}{\mu_z}\frac{1}{r}\frac{\partial rA_\theta}{\partial r} \notag
\end{equation}
これより軸対称の場合の要素行列と要素ベクトル(2.3-8)式は次のように修正されます。
\begin{equation}
\begin{split}
&K_{\alpha\beta}^{(n)}=\int_{S_n}\bigl[\bigl(\frac{\partial N_\alpha}{\partial r}+\frac{N_\alpha}{r}\bigr)\frac{1}{\mu_z}
\bigl(\frac{\partial N_\beta}{\partial r}+\frac{N_\beta}{r}\bigr)
+\frac{\partial N_\alpha}{\partial z}\frac{1}{\mu_r}\frac{\partial N_\beta}{\partial z}\bigr)\bigr]rdrdz \\
&F_\alpha^{(n)}=\int_{S_n}N_\alpha J_\theta rdrdz-\int_{l_n}N_\alpha[\boldsymbol{H}\times\boldsymbol{n}]_\theta rdl
\end{split} \tag*{$(3.1-10)$}
\end{equation}

最後に3次元の場合ですが、辺要素法に話を限定します。また特別な座標系ではなく一般の座標系を扱います。
透磁率行列の逆行列を次のようにかきます。
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
\mu^{-1}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mu_{xx} & \mu_{xy} & \mu_{xz} \\
\mu_{yx} & \mu_{yy} & \mu_{yz} \\
\mu_{zx} & \mu_{zy} & \mu_{zz} \\
\end{bmatrix}^{-1} \tag*{$(3.1-11)$}
\end{equation}
このとき(2.6-2)式は次のように修正する必要があります。
\begin{equation}
\begin{split}
&K_{\alpha\beta}^{(n)}=\int_{V_n}\sum_{ij}(\mathrm{rot}\boldsymbol{N}_\alpha)_i\bigl[{\mu}^{-1}\bigr]_{ij}(\mathrm{rot}\boldsymbol{N}_\beta)_j dV \\
&F_\alpha^{(n)}=\int_{V_n}\boldsymbol{N}_\alpha\cdot\boldsymbol{J}dV+\int_{S_n}\boldsymbol{N}_\alpha\cdot[\boldsymbol{H}\times\boldsymbol{n}]dS
\end{split} \tag*{$(3.1-12)$}
\end{equation}