5. ベクトルの平行移動

　曲線座標におけるベクトルの平行移動を考える。デカルト座標の場合、ベクトルの平行移動を行ってもベクトルの成分は変わらない。曲線座標の場合、場所によって基底ベクトルが変化するので、一般にベクトルの成分は変化する。
　ベクトル場の微分は座標 $\boldsymbol{x}$ のベクトルと無限小離れた座標 $\boldsymbol{x}+d\boldsymbol{x}$ のベクトルとの比較を行い、その差から計算される。曲線座標の場合、この微分は共変微分である。共変微分がゼロとなるのは $d\boldsymbol{x}$ 平行移動したベクトルがその点におけるベクトルと等しいことを意味している。したがって、ベクトルを平行移動するとベクトルの成分が次の式を満たすように変化する。
\begin{equation}
D_jv^idx^j=\bigl(\frac{\partial v^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}v^k\bigr)dx^j=0 \tag*{$(5-1)$}
\end{equation}
これよりベクトルの成分の変化は、
\begin{equation}
dv^i=-\Gamma^i_{jk}v^kdx^j \tag*{$(5-2)$}
\end{equation}
となる。有限の距離の平行移動はこの式を積分すればよい。点 $p$ におけるベクトルを点 $q$ まで平行移動した場合の変化は、
\begin{equation}
\int_p^qdv^i=-\int_p^q\Gamma^i_{jk}v^kdx^j \tag*{$(5-3)$}
\end{equation}
となる。空間が平たんな場合、この積分は経路によらない。
　ここで、この積分が経路によってどのように変化するかを調べる。まずベクトル $\boldsymbol{v}$ を $x^i$ 座標軸に沿って $dx^i$ 平行移動し、その点を点 $P$ とする。次に $x^j$ 座標軸に沿って $dx^j$ 平行移動した点を $Q$ とした場合のベクトルの反変成分 $v^k$ の変化 $\Delta v^k$ を求める。まず、$x^i$ 座標に沿って $dx^i$ 平行移動すると、ベクトルの成分は、
\begin{equation}
v^k(P)=v^k-\Gamma^k_{il}v^ldx^i \tag*{$(5-4)$}
\end{equation}
となる。ただしここでは添字 $i$ については和をとらないものとする。このベクトルを $x^j$ 座標軸に沿って $dx^j$ 平行移動すると、次のようになる。
\begin{equation}
v^k(Q)=v^k(P)-\Gamma^k_{jl}(P)v^l(P)dx^j \tag*{$(5-5)$}
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
\Gamma^k_{jl}(P)=\Gamma^k_{jl}+\frac{\partial\Gamma^k_{jl}}{\partial x^i}dx^i \tag*{$(5-6)$}
\end{equation}
であるから、（５－５）式に（５－４）式と（５－６）式を代入して次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
v^k(Q)&=v^k-\Gamma^k_{il}v^ldx^i-\bigl(\Gamma^k_{jl}+\frac{\partial\Gamma^k_{jl}}{\partial x^i}dx^i\bigr)
\bigl(v^l-\Gamma^l_{im}v^mdx^i\bigr)dx^j \\
&=v^k-\Gamma^k_{il}v^ldx^i-\Gamma^k_{jl}v^ldx^j+\bigl(-\frac{\partial\Gamma^k_{jl}}{\partial x^i}
+\Gamma^k_{jm}\Gamma^m_{il}\bigr)v^ldx^idx^j
\end{split} \tag*{$(5-7)$}
\end{equation}
次にベクトル $\boldsymbol{v}$ を $x^j$ 座標軸に沿って $dx^j$ 平行移動し、その点を $R$ とする。その後 $x^i$ に沿って $dx^i$ 平行移動して点 $Q$ に達したときの $v^k$ の変化は、上の添字 $ij$ を入れ替えたものであるから、
\begin{equation}
\begin{split}
\Delta v^k&=\Bigl[\bigl(-\frac{\partial\Gamma^k_{jl}}{\partial x^i}+\Gamma^k_{jm}\Gamma^m_{il}\bigr)
-\bigl(-\frac{\partial\Gamma^k_{il}}{\partial x^j}+\Gamma^k_{im}\Gamma^m_{jl}\bigr)\Bigr]v^ldx^idx^j \\
&=\bigl(\frac{\partial\Gamma^k_{il}}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma^k_{jl}}{\partial x^i}
+\Gamma^k_{jm}\Gamma^m_{il}-\Gamma^k_{im}\Gamma^m_{jl}\bigr)]v^ldx^idx^j
\end{split} \tag*{$(5-8)$}
\end{equation}
となる。このカッコの中がゼロであれば、（５－３）式の積分は経路によらない。
　曲線座標で直線に対応する線は測地線とよばれる。今パラメータ $\tau$ を使って測地線を、
\begin{equation}
x^i=x^i(\tau) \tag*{$(5-9)$}
\end{equation}
で表すと、測地線に沿ったベクトルは、
\begin{equation}
v^i=\frac{dx^i}{d\tau} \tag*{$(5-10)$}
\end{equation}
となる。測地線とは、このベクトルが線上で常に平行であるとして定義される。これは平面上の直線ではいつも成り立ち、その素直な拡張と考えられる。ここで $\tau$ を距離 $s$ に選ぶと、このベクトルの長さはつねに $1$ となる。平行移動したときのベクトルの成分の変化は（５－２）式であるから、
\begin{equation}
d\bigl(\frac{dx^i}{ds}\bigr)=-\Gamma^i_{jk}\frac{dx^k}{ds}dx^j \notag
\end{equation}
である。したがって、測地線の方程式は次のようになる。
\begin{equation}
\frac{d^2x^i}{ds^2}+\Gamma^i_{jk}\frac{dx^j}{ds}\frac{dx^k}{ds}=0 \tag*{$(5-11)$}
\end{equation}
平面上の直線は２点間を結ぶ最短の線でもある。ここで定義された測地線も線上の２点間の距離が最小になる線であることが次のようにしてわかる。点 $p$ から点 $q$ までを結ぶ線を、パラメータ $\alpha$ を使って、
\begin{equation}
x^i=x^i_\alpha(s) \tag*{$(5-12)$}
\end{equation}
のようにかき、このパラメータを動かして、
\begin{equation}
\delta\int_p^qds=0 \tag*{$(5-13)$}
\end{equation}
をみたすようにする。（２－１１）式より、
\begin{equation}
ds^2=g_{ij}dx^idx^j \notag
\end{equation}
であるから両辺の変分をとると次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
2ds\delta(ds)&=\delta(g_{ij})dx^idx^j+g_{ij}\delta(dx^i)dx^j+g_{ij}dx^i\delta(dx^j) \\
&=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\delta(x^k)dx^idx^j+2g_{ij}\delta(dx^i)dx^j
\end{split} \tag*{$(5-14)$}
\end{equation}
変分はパラメータ $\alpha$ による変分であるから、
\begin{equation}
\delta x^i=\frac{\partial x^i}{\partial\alpha}\delta\alpha \notag
\end{equation}
である。これより（５－１４）式の右辺は次のように変形できる。
\begin{equation}
\Bigl(\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\frac{\partial x^k}{\partial\alpha}dx^idx^j
+2g_{ij}\frac{\partial dx^i}{\partial\alpha}dx^j\Bigr)\delta\alpha \notag
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
\frac{\partial dx^i}{\partial\alpha}=d\bigl(\frac{\partial x^i}{\partial\alpha}\bigr) \notag
\end{equation}
であるから、さらに次のように変形できる。
\begin{equation}
\Bigl(\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\frac{\partial x^k}{\partial\alpha}dx^idx^j
+2g_{ij}d\bigl(\frac{\partial x^i}{\partial\alpha}\bigr)dx^j\Bigr)\delta\alpha \notag
\end{equation}
これより（５－１４）式から次の式が成り立つ。
\begin{equation}
\delta(ds)=\Bigl[\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\frac{dx^i}{ds}\frac{dx^j}{ds}
\frac{\partial x^k}{\partial\alpha}+g_{ij}\frac{d}{ds}\bigl(\frac{\partial x^i}{\partial\alpha}\bigr)\frac{dx^j}{ds}\Bigr]\delta\alpha ds \notag
\end{equation}
したがって、（５－１３）式の左辺は、点 $p$ と点 $q$ で $\alpha$ による変分がゼロになることより部分積分を使って変形すると、
\begin{equation}
\begin{split}
\delta\int_p^qds
&=\int_p^q\Bigl[\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\frac{dx^i}{ds}\frac{dx^j}{ds}\frac{\partial x^k}{\partial\alpha}
+g_{ij}\frac{d}{ds}\bigl(\frac{\partial x^i}{\partial\alpha}\bigr)\frac{dx^j}{ds}\Bigr]\delta\alpha ds \\
&=\int_p^q\Bigl(\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\frac{dx^i}{ds}\frac{dx^j}{ds}\frac{\partial x^k}{\partial\alpha}
-g_{ij}\frac{\partial x^i}{\partial\alpha}\frac{d^2x^j}{ds^2}
-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\frac{dx^j}{ds}\frac{dx^k}{ds}\frac{\partial x^i}{\partial\alpha}\Bigr)\delta\alpha ds \\
&=-\int_p^q\Bigl[g_{kj}\frac{d^2x^j}{ds^2}+\frac{1}{2}\bigl(\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i}
+\frac{\partial g_{ki}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\bigr)
\frac{dx^i}{ds}\frac{dx^j}{ds}\Bigr]\delta x^kds
\end{split} \notag
\end{equation}
となるので、次の式が成立する。
\begin{equation}
g_{kj}\frac{d^2x^j}{ds^2}+\frac{1}{2}\bigl(\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i}
+\frac{\partial g_{ki}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\bigr)
\frac{dx^i}{ds}\frac{dx^j}{ds}=0 \notag
\end{equation}
この式に $g^{lk}$ をかけると、
\begin{equation}
\frac{d^2x^l}{ds^2}+\Gamma^l_{ij}\frac{dx^i}{ds}\frac{dx^j}{ds}=0 \notag
\end{equation}
であるが、これは測地線方程式（５－１１）式である。したがって、測地線は２点を結ぶ最短距離を結ぶことがわかる。
　測地線の具体的な例として半径 $a$ の球面における測地線を求める。球面のゼロでないクリストッフェルの記号は（４－３６）式であるから、（４－３３）式を考慮すると測地線の方程式は次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
&\frac{d^2\theta}{ds^2}-\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\theta\bigl(\frac{d\varphi}{ds}\bigr)^2=0 \\
&\frac{d^2\varphi}{ds^2}+2\frac{\mathrm{cos}\theta}{\mathrm{sin}\theta}\frac{d\theta}{ds}\frac{d\varphi}{ds}=0
\end{split} \tag*{$(5-15)$}
\end{equation}
下の式の両辺に $d\varphi/ds$ をかけて変形すれば次のようになる。
\begin{equation}
\frac{1}{2}\frac{d}{ds}\bigl(\frac{d\varphi}{ds}\bigr)^2
=-2\frac{\mathrm{cos}\theta}{\mathrm{sin}\theta}\frac{d\theta}{ds}\bigl(\frac{d\varphi}{ds}\bigr)^2
=-\frac{1}{\mathrm{sin}^2\theta}\frac{d}{ds}(\mathrm{sin}^2\theta)\bigl(\frac{d\varphi}{ds}\bigr)^2 \notag
\end{equation}
さらに変形して、
\begin{equation}
\frac{1}{\bigl(\frac{d\varphi}{ds}\bigr)^2}\frac{d}{ds}\bigl(\frac{d\varphi}{ds}\bigr)^2
=-\frac{2}{\mathrm{sin}^2\theta}\frac{d}{ds}(\mathrm{sin}^2\theta) \notag
\end{equation}
となるので、この式の両辺を $s$ で積分すると次のようになる。
\begin{equation}
\mathrm{log}\bigl(\frac{d\varphi}{ds}\bigr)^2=-2\mathrm{log}(\mathrm{sin}^2\theta)+const. \notag
\end{equation}
ただし、右辺第２項は積分定数である。これより、$A$ を定数として次の式が成立する。
\begin{equation}
\frac{d\varphi}{ds}=A\frac{1}{\mathrm{sin}^2\theta} \tag*{$(5-16)$}
\end{equation}
この式を（５－１５）式の上の式に代入すると次のようになる。
\begin{equation}
\frac{d^2\theta}{ds^2}=A^2\frac{\mathrm{cos}\theta}{\mathrm{sin}^3\theta} \notag
\end{equation}
両辺に $d\theta/ds$ をかけて変形すれば次のようになる。
\begin{equation}
\frac{1}{2}\frac{d}{ds}\bigl(\frac{d\theta}{ds}\bigr)^2=A^2\frac{\mathrm{cos}\theta}{\mathrm{sin}^3\theta}\frac{d\theta}{ds}
=-\frac{A^2}{2}\frac{d}{ds}\bigl(\frac{1}{\mathrm{sin}^2\theta}\bigr) \notag
\end{equation}
両辺を積分して変形すれば次式が得られる。
\begin{equation}
\bigl(\frac{d\theta}{ds}\bigr)^2=-A^2\frac{1}{\mathrm{sin}^2\theta}+const. \notag
\end{equation}
ただし、右辺第２項は積分定数であるが、この式は右辺が負になることはないので、測地線の角度が、
\begin{equation}
\mathrm{sin}\theta_0\le\mathrm{sin}\theta\ge\mathrm{sin}(\pi-\theta_0) \notag
\end{equation}
をみたす角度 $\theta_0$ により決まり、次のようになる。
\begin{equation}
\bigl(\frac{d\theta}{ds}\bigr)^2=A^2\bigl[\frac{1}{\mathrm{sin}^2\theta_0}-\frac{1}{\mathrm{sin}^2\theta}\bigr] \tag*{$(5-17)$}
\end{equation}
この方程式に（５－１６）式を使うと次式が得られる。
\begin{equation}
\bigl(\frac{d\theta}{d\varphi}\bigr)^2=\frac{\mathrm{sin}^4\theta}{\mathrm{sin}^2\theta_0}-\mathrm{sin}^2\theta \tag*{$(5-18)$}
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
u=\frac{\mathrm{cos}\theta}{\mathrm{sin}\theta} \notag
\end{equation}
とおけば上の式は次のようにかける。
\begin{equation}
\bigl(\frac{du}{d\varphi}\bigr)^2=\frac{1}{\mathrm{sin}^2\theta_0}-\frac{1}{\mathrm{sin}^2\theta}
=\mathrm{cot}^2\theta_0-u^2 \notag
\end{equation}
これより、
\begin{equation}
\frac{du}{d\varphi}=\pm\sqrt{\mathrm{cot}^2\theta_0-u^2} \notag
\end{equation}
右辺は負の符号をとり両辺を積分すると、
\begin{equation}
\int\frac{du}{\sqrt{\mathrm{cot}^2\theta_0-u^2}}=-\int d\varphi \notag
\end{equation}
となるので積分を実行して、
\begin{equation}
\frac{u}{\mathrm{cot}\theta_0}=-\mathrm{sin}(\varphi-\varphi_0) \notag
\end{equation}
である。したがって次式が得られる。ただし $\varphi_0$ は積分定数である。
\begin{equation}
\begin{split}
\mathrm{cot}\theta&=-\mathrm{cot}\theta_0\mathrm{sin}(\varphi-\varphi_0) \\
&=\mathrm{cot}\theta_0\mathrm{sin}\varphi_0\mathrm{cos}\varphi-\mathrm{cot}\theta_0\mathrm{cos}\varphi_0\mathrm{sin}\varphi
\end{split} \tag*{$(5-19)$}
\end{equation}
この式は球面上の大円を表していることが次のようにしてわかる。半径 $a$ の球面上の座標は、
\begin{equation}
\begin{split}
&x=a\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\varphi \\
&y=a\mathrm{sin}\theta\mathrm{sin}\varphi \\
&z=a\mathrm{cos}\theta
\end{split} \notag
\end{equation}
である。大円は原点を通る平面上にあるが、この方程式は $A$、$B$ を定数として、
\begin{equation}
z=Ax+By \notag
\end{equation}
とかける。これより大円の方程式は、
\begin{equation}
\mathrm{cot}\theta=A\mathrm{cos}\varphi+B\mathrm{sin}\varphi \tag*{$(5-20)$}
\end{equation}
となる。したがって、（５－１９）式は大円の方程式である。