これまで電磁場を表すのにベクトルポテンシャル $\boldsymbol{A}$ だけを使いスカラーポテンシャル $\phi$ は使っていませんでした。
これはスカラーポテンシャルをゼロにするゲージ条件を使っていたためです。
それではこのようなゲージ条件を使わずスカラーポテンシャルも使った場合はどうなるでしょうか。
この場合４．１節の最初に述べたように磁場に関する基礎方程式は（４．１－５）式です。
ここで改めて下に示します。
\begin{equation}
\sigma\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+\mathrm{rot}\boldsymbol{H}+\sigma\mathrm{grad}\phi=\boldsymbol{J} \tag*{$(4.4-1)$}
\end{equation}
ただしこのままでは未知数の数が方程式の数より多いので解くことができません。これはゲージの自由度がありゲージを固定しないとベクトルポテンシャル $\boldsymbol{A}$ とスカラーポテンシャル $\phi$ は一通りに決まらないからです。
そこでゲージ条件、例えばクーロンゲージ、
\begin{equation}
\mathrm{div}\boldsymbol{A}=0 \notag
\end{equation}
やローレンツゲージ、
\begin{equation}
\mathrm{div}\boldsymbol{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}=0 \notag
\end{equation}
を方程式に加えて解くことが考えられます。
$\boldsymbol{A}-\phi$ 法 ではこのようなゲージ条件を使うのではなく（４．４－１）式の両辺の発散をとった次の式を追加します。
\begin{equation}
\mathrm{div}\sigma\bigl(\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+\mathrm{grad}\phi\bigr)=\mathrm{div}\boldsymbol{J} \tag*{$(4.4-2)$}
\end{equation}
通常この式の右辺は入力電流がみたす物理的な条件よりゼロとなります。
ところでこの式は（４．４－１）式から得られた式なので（４．４－１）式と独立な式ではありません。したがってこの式を追加してもゲージの自由度を取り除くことはできず、不定性は残っています。
それでは $\boldsymbol{A}-\phi$ 法では何故このような式を追加して解くのでしょうか。
まず、この方法は３次元の解析に限定されていることです。２次元や軸対称問題の場合ベクトルポテンシャルは $z$ 成分や $\theta$ 成分を使う段階でゲージ条件が決まっておりスカラーポテンシャルを使う余地がないからです。
電磁場の有限要素法を使った３次元解析の場合辺要素法が使われています。
独立でない方程式をこのように連成して解く理由は、この辺要素法を使っていることに関係しています。
実は静磁場解析において辺要素法を使った場合節点要素法のように境界条件でゲージを固定することはできません。
ゲージを固定するには辺に対してゲージの自由度がなくなるように拘束条件を付ける必要があります。
辺要素法では連立法方程式を解くのに不完全前処理を行った共役勾配法である ICCG法 が使われています。静磁場解析の場合ゲージを固定する拘束条件を付けるより、ゲージを固定せず自由度を残したほうが ICCG 法の計算が速くなることが知られています。
これはこの連立方程式の解法 ICCG 法が冗長な方程式を追加して不定方程式にしたほうが早く答えが得られるということが知られているからです。
これより、$\boldsymbol{A}-\phi$ 法ではスカラーポテンシャルを追加して独立でない式とで冗長な方程式としています。
実際ベクトルポテンシャル $\boldsymbol{A}$ だけを使った $\boldsymbol{A}$ 法に比べて $\boldsymbol{A}-\phi$ 法の方が ICCG 法の計算がかなり早くなることが経験的に示されています。
辺要素法では辺にベクトルポテンシャルを持たせていますが、スカラーポテンシャルは節点要素のように節点に値を持たせます。
（４．４－２）式は（４．４－１）式がベクトル方程式だったのに対してスカラーの方程式なので任意のスカラー関数 $w$ を両辺にかけて解析領域 $V$ で体積分すると次のようになります。
\begin{equation}
\int_Vw\mathrm{div}\sigma\bigl(\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+\mathrm{grad}\phi\bigr)dV=\int_Vw\mathrm{div}\boldsymbol{J}dV \notag
\end{equation}
この式の左辺は次のように変形できます。
\begin{equation}
\begin{split}
&\int_V\mathrm{div}\bigl\{w\sigma(\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+\mathrm{grad}\phi\bigr)\bigr\}dV
-\int_V\mathrm{grad}w\cdot\sigma\bigl(\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+\mathrm{grad}\phi\bigr)dV \\
&=\int_S\bigl\{w\sigma(\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\phi\bigr)\bigr\}\cdot\boldsymbol{n}dS
-\int_V\boldsymbol{\nabla}w\cdot\sigma\bigl(\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\phi\bigr)dV
\end{split} \notag
\end{equation}
ここに $S$ は解析領域 $V$ の境界面で $\boldsymbol{n}$ はその面の外向きにとった単位法線ベクトルです。また右辺は、
\begin{equation}
\int_V\mathrm{div}(w\boldsymbol{J})dV-\int_V\mathrm{grad}w\cdot\boldsymbol{J}dV
=\int_Sw(\boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{n})dS-\int_V\boldsymbol{\nabla}w\cdot\boldsymbol{J}dV \notag
\end{equation}
となります。ここで $\mathrm{grad}$ を$ \boldsymbol{\nabla}$ とかきなおしています。
これより次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
&\int_V\boldsymbol{\nabla}w\cdot\sigma\bigl(\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\phi\bigr)dV \\
&=\int_V\boldsymbol{\nabla}w\cdot\boldsymbol{J}dV-\int_Sw\bigl\{\boldsymbol{J-\sigma(\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\phi\bigr)}\bigr\}\cdot\boldsymbol{n}dS
\end{split} \notag
\end{equation}
この右辺の表面積分は電流の境界面に垂直成分の積分なので境界からの電流の流入流出がない場合はゼロとなります。またスカラーポテンシャルが決まっているディレクレ境界条件でもこの積分項はなくります。
これより次のようになります。
\begin{equation}
\int_V\boldsymbol{\nabla}w\cdot\sigma\bigl(\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\phi\bigr)dV
=\int_V\boldsymbol{\nabla}w\cdot\boldsymbol{J}dV \tag*{$(4.4-3)$}
\end{equation}
この式を空間的に離散化して要素行列を作るのですが、要素内でスカラーポテンシャルは節点要素のときの補間関数を使って次のように補間します。
\begin{equation}
\phi(\boldsymbol{x})=\sum_iN_i(\boldsymbol{x})\phi^i \notag
\end{equation}
ここに $i$ は要素内の節点番号で和は要素の持つ節点の数だけについてとります。これより $n$ 番目の要素行列を、
\begin{equation}
\begin{split}
&D_{\alpha i}=\int_{V_n}\boldsymbol{N}_\alpha\cdot\sigma\boldsymbol{\nabla}N_i dV \\
&D_{i\alpha}^T=\int_{V_n}\boldsymbol{\nabla}N_i\cdot\sigma\boldsymbol{N}_\alpha dV \\
&G_{ij}^{(n)}=\int_{V_n}\boldsymbol{\nabla}N_i\cdot\sigma\boldsymbol{\nabla}N_jdV \\
&I_i=\int_{V_n}\boldsymbol{\nabla}N_i\cdot\boldsymbol{J}dV
\end{split} \tag*{$(4.4-4)$}
\end{equation}
とおけば全体の行列方程式は次のようになります。
\begin{equation}
D^T\frac{d}{dt}A+G\phi=I \tag*{$(4.4-5)$}
\end{equation}
ただし行列の肩についている $T$ は転置行列を表しています。またこの式の左辺ではベクトルポテンシャルの列ベクトルに関する時間微分をとっています。
したがって時間ステップ内で $\theta$ を使った補間、
\begin{equation}
\begin{split}
A&=(1-\theta)A_n+\theta A_{n+1} \\
\phi&=(1-\theta)\phi_n+\theta\phi_{n+1} \\
I&=(1-\theta)I_n+\theta I_{n+1}
\end{split} \tag*{$(4.4-6)$}
\end{equation}
を使うとこの式は次のようにかけます。
\begin{equation}
\frac{1}{\Delta t}D^TA_{n+1}+\theta G\phi_{n+1}=I+\frac{1}{\Delta t}D^TA_n-(1-\theta)G\phi_n \tag*{$(4.4-7)$}
\end{equation}
次に(４．４－１)式ですが、両辺と任意のベクトル関数 $\boldsymbol{w}$ の内積をとって積分すると次のようになります。
\begin{equation}
\int_V\boldsymbol{w}\cdot\bigl(\sigma\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+\mathrm{rot}\boldsymbol{H}+\sigma\boldsymbol{\nabla}\phi\bigr)dV
=\int_V\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{J}dV \tag*{$(4.4-8)$}
\end{equation}
この式は $\boldsymbol{A}$ 法のときに比べて左辺に、
\begin{equation}
\int_V\boldsymbol{w}\cdot\sigma\boldsymbol{\nabla}\phi dV \notag
\end{equation}
が追加されていますがこれに対応する要素行列は(４．４－４）式の $D_{\alpha i}$ となります。
したがって全体行列は、線形の場合(４．３－１５)式にこれに対応する項を追加して、
\begin{equation}
\bigl(\frac{1}{\Delta t}C+\theta K\bigr)A_{n+1}+\theta D\phi_{n+1}
=F+\bigl\{\frac{1}{\Delta t}C-(1-\theta)K\bigr\}A_n-(1-\theta)D\phi_n \tag*{$(4.4-9)$}
\end{equation}
となります。
(４．４－７)式と連立させて書くと次のようになります。
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\Delta t}C+\theta K & \theta D \\
\frac{1}{\Delta t}D^T & \theta G
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
A_{n+1} \\
\phi_{n+1}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
F \\
I
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\Delta t}C-(1-\theta)K & -(1-\theta)D \\
\frac{1}{\Delta t}D^T & -(1-\theta)G
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
A_n \\
\phi_n
\end{bmatrix} \notag
\end{equation}
この左辺の行列は非対称行列なので下の式の両辺に $\Delta t\theta$ をかけると、
\begin{equation}
\begin{split}
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\Delta t}C+\theta K & \theta D \\
\theta D^T & \Delta t\theta^2 G
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
A_{n+1} \\
\phi_{n+1}
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
F \\
\Delta t\theta I
\end{bmatrix} \\
&+
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\Delta t}C-(1-\theta)K & -(1-\theta)D \\
\theta D^T & -\Delta t\theta(1-\theta)G
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
A_n \\
\phi_n
\end{bmatrix}
\end{split} \tag*{$(4.4-10)$}
\end{equation}
のように対称な連立方程式となります。
次に非線形の場合ですが(４．４－７)式が磁性体の磁化特性に依存しない式であることに注意すれば、(４．３－１６)式にスカラーポテンシャルの項を追加して次のような行列方程式になります。
\begin{equation}
\begin{split}
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\Delta t}C+\theta K^\ast & \theta D \\
\theta D^T & \Delta t\theta^2 G
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\Delta A \\
\Delta \phi
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
F \\
\Delta t\theta I
\end{bmatrix} \\
&+
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\Delta t}C-(1-\theta)K & -(1-\theta)D \\
\theta D^T & -\Delta t\theta(1-\theta)G
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
A_n \\
\phi_n
\end{bmatrix} \\
&-
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\Delta t}C+\theta K & \theta D \\
\theta D^T & \Delta t\theta^2 G
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
A_{n+1} \\
\phi_{n+1}
\end{bmatrix}
\end{split} \tag*{$(4.4-11)$}
\end{equation}