4-2. 具体的な曲線座標系（極座標系）

　極座標系はデカルト座標と次の関係がある。
\begin{equation}
\begin{split}
&X^1=r\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\varphi \\
&X^2=r\mathrm{sin}\theta\mathrm{sin}\varphi \\
&X^3=r\mathrm{cos}\theta
\end{split} \tag*{$(4-18)$}
\end{equation}
この式を微分すると次の関係が得られる。
\begin{equation}
\begin{split}
&dX^1=\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\varphi dr+r\mathrm{cos}\theta\mathrm{cos}\varphi d\theta-r\mathrm{sin}\theta\mathrm{sin}\varphi d\varphi \\
&dX^2=\mathrm{sin}\theta\mathrm{sin}\varphi dr+r\mathrm{cos}\theta\mathrm{sin}\varphi d\theta+r\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\varphi d\varphi \\
&dX^3=\mathrm{cos}\theta dr-r\mathrm{sin}\theta d\theta
\end{split} \tag*{$(4-19)$}
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
\begin{split}
&x^1=r \\
&x^2=\theta \\
&x^3=\varphi
\end{split} \tag*{$(4-20)$}
\end{equation}
とおくと（４－１９）式より次の式が成立する。
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
dX^1 \\
dX^2 \\
dX^3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\varphi & r\mathrm{cos}\theta\mathrm{cos}\varphi & -r\mathrm{sin}\theta\mathrm{sin}\varphi \\
\mathrm{sin}\theta\mathrm{sin}\varphi & r\mathrm{cos}\theta\mathrm{sin}\varphi & r\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\varphi \\
\mathrm{cos}\theta & -r\mathrm{sin}\theta & 0\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
dx^1 \\
dx^2 \\
dx^3
\end{bmatrix} \tag*{$(4-21)$}
\end{equation}
\begin{equation}
\hspace{10mm}
\begin{bmatrix}
dx^1 \\
dx^2 \\
dx^3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\varphi & \mathrm{sin}\theta\mathrm{sin}\varphi & \mathrm{cos}\theta \\
r^{-1}\mathrm{cos}\theta\mathrm{cos}\varphi & r^{-1}\mathrm{cos}\theta\mathrm{sin}\varphi & -r^{-1}\mathrm{sin}\theta \\
-r^{-1}\frac{\mathrm{sin}\varphi}{\mathrm{sin}\theta} & r^{-1}\frac{\mathrm{cos}\varphi}{\mathrm{sin}\theta} & 0\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
dX^1 \\
dX^2 \\
dX^3
\end{bmatrix} \tag*{$(4-22)$}
\end{equation}
変換行列の行列式は次のようになる。
\begin{equation}
J=\frac{1}{r^2\mathrm{sin}\theta} \notag
\end{equation}
これより、
\begin{equation}
ds^2=dr^2+r^2d\theta^2+r^2\mathrm{sin}^2\theta d\varphi^2 \notag
\end{equation}
となるので計量テンソルは次のようになる。
\begin{equation}
\bigl[g_{ij}\bigr]=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & r^2 & 0 \\
0 & 0 & r^2\mathrm{sin}^2\theta
\end{bmatrix}
\hspace{10mm}
\bigl[g^{ij}\bigr]=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & r^{-2} & 0 \\
0 & 0 & r^{-2}\mathrm{sin}^{-2}\theta
\end{bmatrix} \tag*{$(4-23)$}
\end{equation}
$\boldsymbol{v}$ の物理成分を $(V_r,V_\theta,V_\varphi)$ とおけば、
\begin{equation}
\begin{split}
&v_1=v^1=V_r \\
&v_2=r^2v^2=rV_\theta \\
&v_3=r^2\mathrm{sin}^2v^3=r\mathrm{sin}\theta V_\varphi
\end{split} \tag*{$(4-24)$}
\end{equation}
の関係がある。これより（３－５）式を計算するとゼロでない成分は次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
&\Gamma^1_{22}=-\frac{1}{2}\frac{\partial g_{22}}{\partial x^1}=-r \hspace{10mm} \Gamma^1_{33}=-r\mathrm{sin}^2\theta \\
&\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=\frac{1}{r} \hspace{20mm} \Gamma^2_{33}=-\frac{1}{r}\mathrm{sin}^2\theta \\
&\Gamma^3_{13}=\Gamma^3_{31}=\frac{1}{r} \hspace{20mm} \Gamma^3_{23}=\Gamma^3_{32}=\frac{\mathrm{cos}\theta}{\mathrm{sin}\theta}
\end{split} \tag*{$(4-25)$}
\end{equation}
これから共変微分を計算すると次のようになる。スカラー場に関して、
\begin{equation}
\begin{split}
&D_1\phi=\frac{\partial\phi}{\partial x^1}=\frac{\partial\phi}{\partial r} \\
&D_2\phi=\frac{\partial\phi}{\partial x^2}=\frac{\partial\phi}{\partial\theta} \\
&D_3\phi=\frac{\partial\phi}{\partial x^3}=\frac{\partial\phi}{\partial\varphi} \\
\end{split} \tag*{$(4-26)$}
\end{equation}
ベクトル場に関して、
\begin{equation}
\begin{split}
&D_1v^1=\frac{\partial v^1}{\partial x^1}=\frac{\partial V_r}{\partial r} \hspace{46mm}
D_1v_1=\frac{\partial v_1}{\partial x^1}=\frac{\partial V_r}{\partial r} \\
&D_2v^1=\frac{\partial v^1}{\partial x^2}+\Gamma^1_{22}v^2=\frac{\partial V_r}{\partial\theta}-V_\theta \hspace{25mm}
D_2v_1=\frac{\partial v_1}{\partial x^2}-\Gamma^2_{12}v_2=\frac{\partial V_r}{\partial\theta}-V_\theta \\
&D_3v^1=\frac{\partial v^1}{\partial x^3}+\Gamma^1_{33}v^2=\frac{\partial V_r}{\partial\varphi}-\mathrm{sin}\theta V_\varphi \hspace{19mm}
D_3v_1=\frac{\partial v_1}{\partial x^3}-\Gamma^3_{13}v_3=\frac{\partial V_r}{\partial\varphi}-\mathrm{sin}\theta V_\varphi \\
&D_1v^2=\frac{\partial v^2}{\partial x^1}+\Gamma^2_{12}v^2=\frac{\partial}{\partial r}\bigl(\frac{V_\theta}{r}\bigr)
+\frac{V_\theta}{r^2} \hspace{19mm}
D_1v_2=\frac{\partial v_2}{\partial x^1}-\Gamma^2_{12}v_2=\frac{\partial}{\partial r}\bigl(rV_\theta\bigr)-V_\theta \\
&D_2v^2=\frac{\partial v^2}{\partial x^2}+\Gamma^2_{21}v^1=\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(\frac{V_\theta}{r}\bigr)
+\frac{V_r}{r} \hspace{19mm}
D_2v_2=\frac{\partial v_2}{\partial x^2}-\Gamma^1_{22}v_1=\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(rV_\theta\bigr)+rV_r \\
&D_3v^2=\frac{\partial v^2}{\partial x^3}+\Gamma^2_{33}v^3=\frac{1}{r}\frac{\partial V_\theta}{\partial\varphi}-\frac{\mathrm{sin}\theta}{r^2}V_\varphi \hspace{16mm}
D_3v_2=\frac{\partial v_2}{\partial x^3}-\Gamma^3_{23}v_3=r\frac{\partial V_\theta}{\partial\varphi}-r\mathrm{cos}\theta V_\varphi \\
&D_1v^3=\frac{\partial v^3}{\partial x^1}+\Gamma^3_{13}v^3=\frac{\partial}{\partial r}\bigl(\frac{V_\varphi}{r\mathrm{sin}\theta}\bigr)
+\frac{V_\varphi}{r^2\mathrm{sin}\theta} \hspace{10mm}
D_1v_3=\frac{\partial v_3}{\partial x^1}-\Gamma^3_{13}v_3=\frac{\partial}{\partial r}(r\mathrm{sin}\theta V_\varphi)-\mathrm{sin}\theta V_\varphi \\
&D_2v^3=\frac{\partial v^3}{\partial x^2}+\Gamma^3_{23}v^3=\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(\frac{V_\varphi}{r\mathrm{sin}\theta}\bigr)
+\frac{\mathrm{cos}\theta}{r\mathrm{sin}^2\theta}V_\varphi \hspace{6mm}
D_2v_3=\frac{\partial v_3}{\partial x^2}-\Gamma^3_{23}v_3=\frac{\partial}{\partial\theta}(r\mathrm{sin}\theta V_\varphi)-r\mathrm{cos}\theta V_\varphi \\
&D_3v^3=\frac{\partial v^3}{\partial x^3}+\Gamma^3_{31}v^1+\Gamma^3_{32}v^2=\frac{\partial}{\partial\varphi}\bigl(\frac{V_\varphi}{r\mathrm{sin}\theta}\bigr)
+\frac{V_r}{r}+\frac{\mathrm{cos}\theta}{r\mathrm{sin}\theta}V_\theta \\
&D_3v_3=\frac{\partial v_3}{\partial x^3}-\Gamma^1_{33}v_1-\Gamma^2_{33}v_2=\frac{\partial}{\partial\varphi}(r\mathrm{sin}\theta V_\varphi)
+r\mathrm{sin}^2\theta V_r+\mathrm{sin}^2\theta V_\varphi
\end{split} \notag
\end{equation}
である。これより次の関係が得られる。ベクトルの発散は、
\begin{equation}
\mathrm{div}\boldsymbol{V}=D_iv^i=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2V_r)
+\frac{1}{r\mathrm{sin}\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\mathrm{sin}\theta V_\theta)
+\frac{1}{r\mathrm{sin}\theta}\frac{\partial V_\varphi}{\partial\varphi} \tag*{$(4-27)$}
\end{equation}
ベクトルの回転は、
\begin{equation}
\begin{split}
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)^1=J(D_2v_3-D_3v_2)=\frac{1}{r\mathrm{sin}\theta}\Bigl(\frac{\partial}{\partial\theta}(\mathrm{sin}\theta V_\varphi)
-\frac{\partial V_\theta}{\partial\varphi}\Bigr) \\
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)^2=J(D_3v_1-D_1v_3)=\frac{1}{r^2\mathrm{sin}\theta}\Bigl(\frac{\partial V_r}{\partial\varphi}
-\frac{\partial}{\partial r}(r\mathrm{sin}\theta V_\varphi)\Bigr) \\
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)^3=J(D_1v_2-D_2v_1)=\frac{1}{r^2\mathrm{sin}\theta}\Bigl(\frac{\partial}{\partial r}(rV_\theta)
-\frac{\partial V_r}{\partial\theta}\Bigr) \\
\end{split} \tag*{$(4-28)$}
\end{equation}
となる。物理成分でかくと次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)_r=\frac{1}{r\mathrm{sin}\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\mathrm{sin}\theta V_\varphi)
-\frac{1}{r\mathrm{sin}\theta}\frac{\partial V_\theta}{\partial\varphi} \\
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)_\theta=\frac{1}{r\mathrm{sin}\theta}\frac{\partial V_r}{\partial\varphi}
-\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rV_\varphi) \\
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)_z=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rV_\theta)-\frac{1}{r}\frac{\partial V_r}{\partial\theta} \\
\end{split} \tag*{$(4-29)$}
\end{equation}
スカラー場のラプラシアンは次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
D_i\bigl(g^{ij}D_j\phi\bigr)&=\frac{\partial}{\partial x^i}\Bigl(g^{ij}\frac{\partial\phi}{\partial x^j}\Bigr)
+\Gamma^i_{ik}g^{kj}\frac{\partial\phi}{\partial x^j} \\
&=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^2\frac{\partial\phi}{\partial r}\bigr)
+\frac{1}{r^2\mathrm{sin}\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(\mathrm{sin}\theta\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\bigr)
+\frac{1}{r^2\mathrm{sin}^2\theta}\frac{\partial^2\phi}{\partial\varphi^2}
\end{split} \tag*{$(4-30)$}
\end{equation}