静的な電磁場を求めたように今回は動的な電磁場を求めます。マックスウェルの方程式を、電磁ポテンシャルを使って表現すると、
\begin{equation}
\Delta\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=-\frac{1}{\epsilon_0}\rho \tag*{$(12-1)$}
\end{equation}
\begin{equation}
\Delta\boldsymbol{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\boldsymbol{A}}{\partial t^2}=-\mu_0\boldsymbol{J} \tag*{$(12-2)$}
\end{equation}
となります。ただしローレンツゲージを採用し $\rho$ には分極電荷、$\boldsymbol{J}$ には分極電流、磁化電流が含まれているものとします。ここで電磁ポテンシャルを次のようにフーリエ変換します。
\begin{equation}
\phi(\boldsymbol{x},t)=\int_{-\infty}^\infty\phi(\boldsymbol{x},\omega)\mathrm{exp}(j\omega t)d\omega \tag*{$(12-3)$}
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)=\int_{-\infty}^\infty\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},\omega)\mathrm{exp}(j\omega t)d\omega \tag*{$(12-4)$}
\end{equation}
同様に電荷や電流もフーリエ変換すると、
\begin{equation}
\rho(\boldsymbol{x},t)=\int_{-\infty}^\infty\rho(\boldsymbol{x},\omega)\mathrm{exp}(j\omega t)d\omega \tag*{$(12-5)$}
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x},t)=\int_{-\infty}^\infty\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x},\omega)\mathrm{exp}(j\omega t)d\omega \tag*{$(12-6)$}
\end{equation}
となります。（１２－１）（１２－２）式にこれらの式を代入すると次の式が得られます。
\begin{equation}
\bigl(\Delta+\frac{\omega^2}{c^2}\bigr)\phi(\boldsymbol{x},\omega)=-\frac{1}{\epsilon_0}\rho(\boldsymbol{x},\omega) \tag*{$(12-7)$}
\end{equation}
\begin{equation}
\bigl(\Delta+\frac{\omega^2}{c^2}\bigr)\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},\omega)=-\frac{1}{\epsilon_0}\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x},\omega) \tag*{$(12-8)$}
\end{equation}
（１２－７）式や（１２－８）式の成分は次のような形の方程式であることが分かります。
\begin{equation}
(\Delta+\lambda^2)f(\boldsymbol{x})=-g(\boldsymbol{x}) \tag*{$(12-9)$}
\end{equation}
ここで次の方程式をみたすグリーン関数 $G(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}^\prime)$ を導入します。
\begin{equation}
(\Delta+\lambda^2)G(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}^\prime)=-\delta(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^\prime) \tag*{$(12-10)$}
\end{equation}
ただし、
\begin{equation}
\delta(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^\prime)=\delta(x-x^\prime)\delta(y-y^\prime)\delta(z-z^\prime) \notag
\end{equation}
はディラックのデルタ関数です。この関数を使うと、
\begin{equation}
f(\boldsymbol{x}_p)=\int_Vf(\boldsymbol{x})\delta(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_p)dV \tag*{$(12-11)$}
\end{equation}
と表されます。ただし右辺の積分は点 $\boldsymbol{x}_p$ を含む領域 $V$ の体積積分で、この領域が点 $\boldsymbol{x}_p$ を含まない場合はこの式の左辺はゼロとなります。（１２－１０）式を使うとこの式は、
\begin{equation}
f(\boldsymbol{x}_p)=-\int_Vf(\boldsymbol{x})(\Delta+\lambda^2)G(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_p)dV \notag
\end{equation}
となります。右辺に部分積分を２回行って変形しガウスの発散定理を使うと次の方程式が得られます。
\begin{equation}
\begin{split}
f(\boldsymbol{x}_p)=&-\int_Sf(\boldsymbol{x})\bigl(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\nabla}G(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_p)\bigr)dS
+\int_S\bigl(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\nabla}f(\boldsymbol{x})\bigr)G(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_p)dS \\
&-\int_VG(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_p)(\Delta+\lambda^2)f(\boldsymbol{x})dV
\end{split} \notag
\end{equation}
ここに $S$ は領域 $V$ の境界面で、ベクトル $\boldsymbol{n}$ は境界面に外向きにとった単位法線ベクトルです。さらに（１２－９）式を使ってこの式の右辺をかきかえて項をならびかえると、
\begin{equation}
\begin{split}
f(\boldsymbol{x}_p)=&\int_Vg(\boldsymbol{x})G(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_p)dV \\
&+\int_S\bigl(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\nabla}f(\boldsymbol{x})\bigr)G(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_p)dS
-\int_Sf(\boldsymbol{x})\bigl(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\nabla}G(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_p)\bigr)dS
\end{split} \tag*{$(12-12)$}
\end{equation}
となります。（１２－７）、（１２－８）式の電磁ポテンシャルは次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
\phi(\boldsymbol{x}_p,\omega)&=\int_V\frac{1}{\epsilon_0}\rho(\boldsymbol{x},\omega)G_\omega(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_p)dV \\
&+\int_S\nabla_n\phi(\boldsymbol{x},\omega)G_\omega(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_p)dS
-\int_S\phi(\boldsymbol{x},\omega)\nabla_nG_\omega(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_p)dS
\end{split} \tag*{$(12-13)$}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{split}
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}_p,\omega)&=\int_V\mu_0\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x},\omega)G_\omega(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_p)dV \\
&+\int_S\nabla_n\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},\omega)G_\omega(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_p)dS
-\int_S\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},\omega)\nabla_nG_\omega(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_p)dS
\end{split} \tag*{$(12-14)$}
\end{equation}
（１２－１０）式をみたすグリーン関数は、
\begin{equation}
R=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_p| \notag
\end{equation}
とかけば、
\begin{equation}
G_\omega(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_p)=\frac{1}{4\pi}\frac{\mathrm{exp}\bigl(\pm j\frac{\omega}{c}R\bigr)}{R} \tag*{$(12-15)$}
\end{equation}
となることが知られています。これを使うと例えば、
\begin{equation}
\begin{split}
&\int_{-\infty}^{\infty}\rho(\boldsymbol{x},\omega)G_\omega(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_p)\mathrm{exp}(j\omega t)d\omega \\
&=\int_{-\infty}^\infty\Bigl[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\rho(\boldsymbol{x},t^\prime)\mathrm{exp}(-j\omega t^\prime)dt^\prime\Bigr]
\frac{1}{4\pi}\frac{\mathrm{exp}\bigl(\pm j\frac{\omega}{c}R\bigr)}{R}\mathrm{exp}(j\omega t)d\omega \\
&=\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{4\pi}\frac{\rho(\boldsymbol{x},t^\prime)}{R}\Bigl[\frac{1}{2\pi}
\int_{-\infty}^\infty\mathrm{exp}j\omega(t\pm\frac{R}{c}-t^\prime)d\omega\bigr]dt^\prime \\
&=\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{4\pi}\frac{\rho(\boldsymbol{x},t^\prime)}{R}\delta(t\pm\frac{R}{c}-t)dt^\prime \\
&=\frac{1}{4\pi}\frac{\rho(\boldsymbol{x},t\pm\frac{R}{c})}{R}
\end{split} \notag
\end{equation}
となりまた、
\begin{equation}
\begin{split}
&\int_{-\infty}^{\infty}\phi(\boldsymbol{x},\omega)\nabla_nG_\omega(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_p)\mathrm{exp}(j\omega t)d\omega \\
&=\int_{-\infty}^\infty\Bigl[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\phi(\boldsymbol{x},t^\prime)\mathrm{exp}(-j\omega t^\prime)dt^\prime\Bigr]
\nabla_n\frac{\mathrm{exp}\bigl(\pm j\frac{\omega}{c}R\bigr)}{4\pi R}\mathrm{exp}(j\omega t)d\omega \\
&=\int_{-\infty}^\infty\phi(\boldsymbol{x},t^\prime)\nabla_n\Bigl[\frac{1}{4\pi R}\frac{1}{2\pi}
\int_{-\infty}^\infty\mathrm{exp}j\omega(t\pm\frac{R}{c}-t^\prime)d\omega\bigr]dt^\prime \\
&=\int_{-\infty}^\infty\phi(\boldsymbol{x},t^\prime)\nabla_n\Bigl[\frac{1}{4\pi R}\delta(t\pm\frac{R}{c}-t)\Bigr]dt^\prime \\
&=\phi(\boldsymbol{x},t\pm\frac{R}{c})\nabla_n\frac{1}{4\pi R}
+\int_{-\infty}^\infty\frac{\phi(\boldsymbol{x},t^\prime)}{4\pi R}\nabla_n\delta(t\pm\frac{R}{c}-t^\prime)dt^\prime
\end{split} \notag
\end{equation}
となります。この右辺第２項は、
\begin{equation}
\theta=t^\prime-t\mp\frac{R}{c} \notag
\end{equation}
と変換して変形すると次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
\int_{-\infty}^\infty\frac{\phi(\boldsymbol{x},t^\prime)}{4\pi R}\frac{d}{d\theta}\delta(\theta)\nabla_nd\theta
&=-\int_{-\infty}^\infty\frac{d}{d\theta}\Bigl(\frac{\phi(\boldsymbol{x}^\prime)}{4\pi R}\nabla_n\theta\Bigr)\delta(\theta)d\theta \\
&=\pm\frac{1}{c}\frac{1}{4\pi R}\frac{\partial}{\partial t}\phi(\boldsymbol{x},t\pm\frac{R}{c})\nabla_nR
\end{split} \notag
\end{equation}
これを使うとフーリエ変換前の電磁ポテンシャルは次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
\phi(\boldsymbol{x}_p,t)&=\int_V\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\rho(\boldsymbol{x},t\pm\frac{R}{c})}{R}dV \\
&+\int_S\nabla_n\phi(\boldsymbol{x},t\pm\frac{R}{c})\frac{1}{4\pi R}dS
-\int_S\phi(\boldsymbol{x},t\pm\frac{R}{c})\nabla_n\frac{1}{4\pi R}dS \\
&\mp\int_S\frac{1}{c}\frac{1}{4\pi R}\frac{\partial}{\partial t}\phi(\boldsymbol{x},t\pm\frac{R}{c})\nabla_nRdS
\end{split} \tag*{$(12-16)$}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{split}
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}_p,t)&=\int_V\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x},t\pm\frac{R}{c})}{R}dV \\
&+\int_S\nabla_n\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t\pm\frac{R}{c})\frac{1}{4\pi R}dS
-\int_S\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t\pm\frac{R}{c})\nabla_n\frac{1}{4\pi R}dS \\
&\mp\int_S\frac{1}{c}\frac{1}{4\pi R}\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t\pm\frac{R}{c})\nabla_nRdS
\end{split} \tag*{$(12-17)$}
\end{equation}
ここで、$t\pm\frac{R}{c}$ となっていますが、$t+\frac{R}{c}$ の場合を先進ポテンシャルとよび、未来の値によって電磁場が決まることを意味し、$t-\frac{R}{c}$ の場合を遅延ポテンシャルとよび、過去の値によって電磁場が決定することを意味しています。したがって、今後は遅延ポテンシャルを使うことにします。さらにこれらの式を、
\begin{equation}
\nabla_n\frac{1}{R}=-\frac{1}{R^2}\nabla_nR=-\frac{1}{R^2}\frac{(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R} \notag
\end{equation}
を使ってかきなおすと次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
\phi(\boldsymbol{x}_p,t)&=\int_V\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\rho(\boldsymbol{x},t-\frac{R}{c})}{R}dV \\
&+\int_S\frac{1}{4\pi R}\Bigl[\nabla_n\phi+\frac{(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R}\bigl(\frac{\phi}{R}
+\frac{1}{c}\frac{\partial\phi}{\partial t}\bigr)\Bigr]dS
\end{split} \tag*{$(12-18)$}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{split}
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}_p,t)&=\int_V\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x},t-\frac{R}{c})}{R}dV \\
&+\int_S\frac{1}{4\pi R}\Bigl[\nabla_n\boldsymbol{A}+\frac{(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R}\bigl(\frac{\boldsymbol{A}}{R}
+\frac{1}{c}\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\bigr)\Bigr]dS
\end{split} \tag*{$(12-19)$}
\end{equation}
ただし面積分内の電磁ポテンシャルは時刻 $t-\frac{R}{c}$ のときの値です。表面積分が消える場合は、
\begin{equation}
\phi(\boldsymbol{x}_p,t)=\int_V\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\rho(\boldsymbol{x},t-\frac{R}{c})}{R}dV \tag*{$(12-20)$}
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}_p,t)=\int_V\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x},t-\frac{R}{c})}{R}dV \tag*{$(12-21)$}
\end{equation}
となりますが、積分にあらわれる電磁場の源である電荷密度や電流密度の時刻が電磁波の伝搬する時間だけ過去のものとなっていることを除けば、静的な電磁場と同じ式で表されることが分かります。