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【技術情報】曲線座標

6.曲率


 ベクトルに対して共変微分を2度行った場合、一般に共変微分の順序によって結果が異なる。まず、ベクトルの反変成分について $x^i$、$x^j$ の順に共変微分を行う。
\begin{equation}
\begin{split}
D_j(D_iv^k)&=\frac{\partial}{\partial x^j}(D_iv^k)-\Gamma^m_{ji}(D_mv^k)+\Gamma^k_{jm}(D_iv^m) \\
&=\frac{\partial}{\partial x^j}\bigl(\frac{\partial v^k}{\partial x^i}+\Gamma^k_{il}v^l\bigr)
-\Gamma^m_{ji}\bigl(\frac{\partial v^k}{\partial x^m}+\Gamma^k_{ml}v^l\bigr)
+\Gamma^k_{jm}\bigl(\frac{\partial v^m}{\partial x^i}+\Gamma^m_{il}v^l\bigr) \\
&=\frac{\partial^2v^k}{\partial x^i\partial x^j}+\frac{\partial\Gamma^k_{il}}{\partial x^j}v^l+\Gamma^k_{il}\frac{\partial v^l}{\partial x^j}
-\Gamma^m_{ji}\bigl(\frac{\partial v^k}{\partial x^m}+\Gamma^k_{ml}v^l\bigr)+\Gamma^k_{jl}\frac{\partial v^l}{\partial x^i}+\Gamma^k_{jm}\Gamma^m_{il}v^l
\end{split} \notag
\end{equation}
この式の右辺は第1・4項及び第3・5項の和が添字 $i,j$ の入れ替えに対して対称であるから、添字 $i,j$ を入れ替えたものとの差をとると次の式が得られる。
\begin{equation}
\begin{split}
D_jD_iv^k-D_iD_jv^k&=\Bigl(\frac{\partial\Gamma^k_{il}}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma^k_{jl}}{\partial x^i}+\Gamma^k_{jm}\Gamma^m_{il}
-\Gamma^k_{im}\Gamma^m_{jl}\Bigr)v^l \\
&=v^l\Bigl(\frac{\partial\Gamma^k_{li}}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma^k_{lj}}{\partial x^i}+\Gamma^m_{li}\Gamma^k_{mj}
-\Gamma^m_{lj}\Gamma^k_{mi}\Bigr)
\end{split} \notag
\end{equation}
この式の左辺は3階のテンソルの成分であるから、右辺はベクトルと4階のテンソルの縮約と考えられる。そこで、
\begin{equation}
{R^k}_{lij}=\frac{\partial\Gamma^k_{li}}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma^k_{lj}}{\partial x^i}+\Gamma^m_{li}\Gamma^k_{mj}
-\Gamma^m_{lj}\Gamma^k_{mi} \tag*{$(6-1)$}
\end{equation}
とかくと、上式は次のようになる。
\begin{equation}
D_jD_iv^k-D_iD_jv^k=v^l{R^k}_{lij} \tag*{$(6-2)$}
\end{equation}
このテンソルは(5-8)式のカッコの中と一致するので(5-8)式は、
\begin{equation}
\Delta v^k={R^k}_{lij}v^ldx^idx^j \tag*{$(6-3)$}
\end{equation}
とかける。ただし、この式では移動の方向を表す添字 $ij$ については和をとらない。
 空間が平坦な場合は大域的なデカルト座標をとることができるので、この式の左辺はゼロとなる。なぜなら、デカルト座標ではベクトルの平行移動は経路によらないからである。したがって、このテンソルもゼロとなる。ある座標系でテンソルのすべての成分がゼロであれば、テンソルの変換によりすべての座標系でゼロとなる。(6-1)式で定義されるテンソル ${R^k}_{lij}$ は、リーマン・クリストッフェルの曲率テンソルとよばれる。定義より、
\begin{equation}
{R^k}_{lij}=-{R^k}_{lji} \tag*{$(6-4)$}
\end{equation}
である。ここで、このテンソルの他の対称性を調べるために次のように4つの成分をすべて共変成分にした表現に変える。
\begin{equation}
\begin{split}
R_{klij}&=g_{kt}{R^t}_{lij}=g_{kt}\Bigl(\frac{\partial\Gamma^t_{li}}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma^t_{lj}}{\partial x^i}
+\Gamma^m_{li}\Gamma^t_{mj}-\Gamma^m_{lj}\Gamma^t_{mi}\Bigr) \\
&=\frac{\partial\Gamma_{kli}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{kt}}{\partial x^j}\Gamma^t_{li}-\frac{\partial\Gamma_{klj}}{\partial x^i}
+\frac{\partial g_{kt}}{\partial x^i}\Gamma^t_{lj}+\Gamma^m_{li}\Gamma_{kmj}-\Gamma^m_{lj}\Gamma_{kmi}
\end{split} \notag
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
\Gamma_{ijk}=g_{il}\Gamma^l_{jk}=\frac{1}{2}\bigl(\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}
+\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}\bigr) \tag*{$(6-5)$}
\end{equation}
\begin{equation}
\Gamma_{ijk}+\Gamma{jik}=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k} \tag*{$(6-6)$}
\end{equation}
を使うと次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
R_{klij}&=\frac{\partial\Gamma_{klj}}{\partial x^j}-(\Gamma_{ktj}+\Gamma_{tkj})\Gamma^t_{li}-\frac{\partial\Gamma_{klj}}{\partial x^i}
+(\Gamma_{kti}+\Gamma_{tki})\Gamma^t_{lj}+\Gamma^m_{li}\Gamma_{kmj}-\Gamma^m_{lj}\Gamma_{kmi} \\
&=\frac{\partial\Gamma_{kli}}{\partial x^j}-\Gamma_{mkj}\Gamma^m_{li}-\frac{\partial\Gamma_{klj}}{\partial x^i}+\Gamma_{mki}\Gamma^m_{lj}
\end{split} \notag
\end{equation}
少し変形して整理すると次式が得られる。
\begin{equation}
R_{klij}=\frac{\partial\Gamma_{kli}}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma_{klj}}{\partial x^i}+\Gamma_{mki}\Gamma^m_{lj}
-\Gamma_{mkj}\Gamma^m_{li} \tag*{$(6-7)$}
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
\frac{\partial\Gamma_{kli}}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma_{klj}}{\partial x^i}
=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial^2g_{ki}}{\partial x^l\partial x^j}-\frac{\partial^2g_{li}}{\partial x^k\partial x^j}
-\frac{\partial^2g_{kj}}{\partial x^l\partial x^i}+\frac{\partial^2g_{lj}}{\partial x^k\partial x^i}\Bigr) \notag
\end{equation}
であるから、このテンソルは次の対称性を持つことがわかる。
\begin{equation}
R_{klij}=-R_{lkij} \tag*{$(6-8)$}
\end{equation}
\begin{equation}
R_{klij}=R_{ijkl} \tag*{$(6-9)$}
\end{equation}
また(6-1)式より次の関係も導かれる。
\begin{equation}
{R^k}_{lij}+{R^k}_{ijl}+{R^k}_{jli}=0 \tag*{$(6-10)$}
\end{equation}
次に、(6-1)式の添字 $kj$ について縮約した次のテンソルを考える。
\begin{equation}
R_{li}={R^k}_{lik}=\frac{\partial\Gamma^k_{li}}{\partial x^k}-\frac{\partial\Gamma^k_{lk}}{\partial x^i}+\Gamma^m_{li}\Gamma^k_{mk}
-\Gamma^m_{lk}\Gamma^k_{mi} \tag*{$(6-11)$}
\end{equation}
このテンソルはリッチのテンソルとよばれ、次に示すように対称テンソルである。この式の右辺第1・3・4項が添字 $l,i$ について対称であることは明らかなので、第2項の対称性について調べる。まず、
\begin{equation}
\begin{split}
\Gamma^k_{lk}&=\frac{1}{2}g^{kt}\bigl(\frac{\partial g_{tl}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{tk}}{\partial x^l}
-\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^t}\bigr) \\
&=\frac{1}{2}\bigl(-\frac{\partial g^{kt}}{\partial x^k}g_{tl}+g^{kt}\frac{\partial g_{tk}}{\partial x^l}
+\frac{\partial g^{kt}}{\partial x^t}g_{lk}\bigr) \\
&=\frac{1}{2}g^{kt}\frac{\partial g_{tk}}{\partial x^l}
\end{split} \notag
\end{equation}
である。ここで計量テンソルの行列式を $g$ とかくと、座標による微分は次のようにかける。
\begin{equation}
\frac{\partial g}{\partial x^l}=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\Delta_{ij}=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}gg^{ij} \notag
\end{equation}
ただし、$\Delta_{ij}$ は要素 $g_{ij}$ の余韻数であり、最後の変形はクラーメルの公式を使った。これを使うと上の式は、
\begin{equation}
\Gamma^k_{lk}=\frac{1}{2g}\frac{\partial g}{\partial x^l}=\frac{\partial}{\partial x^l}\mathrm{log}\sqrt{g} \tag*{$(6-12)$}
\end{equation}
となるので、(6-11)式の右辺第2項は次のようになる。
\begin{equation}
-\frac{\partial\Gamma^k_{lk}}{\partial x^i}=-\frac{\partial^2}{\partial x^i\partial x^l}\mathrm{log}\sqrt{g} \notag
\end{equation}
これよりリッチのテンソルが対称であることが示された。
 リッチのテンソルから次のスカラー曲率が定義できる。
\begin{equation}
R=g^{ij}g_{ji} \tag*{$(6-13)$}
\end{equation}
 例として半径 $a$ の球面においてこの曲率テンソルを計算する。球面座標の場合、(4-36)式より、
\begin{equation}
\begin{split}
&\Gamma^1_{22}=-\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\theta \\
&\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=\frac{\mathrm{cos}\theta}{\mathrm{sin}\theta}
\end{split} \notag
\end{equation}
であるから、
\begin{equation}
\begin{split}
&\Gamma_{122}=g_{11}\Gamma^1_{22}=-a^2\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\theta \\
&\Gamma_{212}=\Gamma_{221}=g_{22}\Gamma^2_{12}=a^2\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\theta
\end{split} \notag
\end{equation}
となる。これを使って、(6-7)式を計算する。(6-4)式、(6-8)、(6-9)式の対称性よりゼロでない成分は次のようになる。
\begin{equation}
R_{1212}=\frac{\partial\Gamma_{121}}{\partial x^2}-\frac{\partial\Gamma_{122}}{\partial x^1}+\Gamma_{m11}\Gamma^m_{22}
-\Gamma_{m12}\Gamma^m_{21}=-a^2\mathrm{sin}^2\theta \tag*{$(6-14)$}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{split}
&R^1_{212}=g^{11}R_{1212}=-\mathrm{sin}^2\theta \\
&R^2_{112}=g^{22}R_{2112}=1
\end{split} \tag*{$(6-15)$}
\end{equation}
これよりリッチノテンソルおよびスカラー曲率を計算すると次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
&R_{11}={R^1}_{111}+{R^2}_{112}=1 \\
&R_{22}={R^1}_{221}+{R^2}_{222}=\mathrm{sin}^2\theta
\end{split} \tag*{$(6-16)$}
\end{equation}
\begin{equation}
R=g^{ij}R_{ji}=\frac{1}{a^2}R_{11}+\frac{1}{a^2\mathrm{sin}^2\theta}R_{22}=\frac{2}{a^2} \tag*{$(6-17)$}
\end{equation}
この例からわかるように、球面は平坦な空間でなく曲率テンソルがゼロにならない。
 次に、曲率テンソルについてもう少し調べる。(6-2)式の両辺に $g_{mk}$ をかけて計量テンソルが共変微分と交換できることを使うと次の式が得られる。
\begin{equation}
D_jD_iv_m-D_iD_jv_m=v^lR_{mlij} \notag
\end{equation}
右辺に(6-8)式を使って $ml$ の添字の交換を行い、添字 $m$ を $k$ とかきなおすと次のようになる。
\begin{equation}
D_jD_iv_k-D_iD_jv_k=-v^lR_{lkij}=-v_l{R^l}_{kij} \tag*{$(6-18)$}
\end{equation}
二つのベクトル $\boldsymbol{u}$、$\boldsymbol{v}$ から作られたテンソルに共変微分を行うと、
\begin{equation}
\begin{split}
&D_jD_i(u_kv_l)=D_j\bigl((D_iv_k)v_l+u_k(D_iv_l)\bigr) \\
&=(D_jD_iu_k)v_l+(D_iu_k)(D_jv_l)+(D_ju_k)(D_iv_l)+u_k(D_jD_iv_l)
\end{split} \notag
\end{equation}
となる。これより微分の順番を変えたものを差し引くと次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
&D_jD_i(u_kv_l)-D_iD_j(u_kv_l) \\
&=(D_jD_iu_k-D_iD_ju_k)v_l+u_k(D_jD_iv_l-D_iD_jv_l) \\
&=-u_m{R^m}_{kij}v_l-u_kv_m{R^m}_{lij}
\end{split} \notag
\end{equation}
これよりテンソルに関して次の関係が成り立つ。
\begin{equation}
D_jD_it_{kl}-D_iD_jt_{kl}=-t_{ml}{R^m}_{kij}-t_{km}{R^m}_{lij} \tag*{$(6-19)$}
\end{equation}
ここで、テンソル $t$ とベクトルの共変微分、
\begin{equation}
t_{kl}=D_kv_l \notag
\end{equation}
をとり(6-19)式に代入して添字 $(k,i,j)$ について循環した式を作ると次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
&D_jD_iD_kv_l-D_iD_jD_kv_l=-(D_mv_l){R^m}_{kij}-(D_kv_m){R^m}_{lij} \\
&D_kD_jD_iv_l-D_jD_kD_iv_l=-(D_mv_l){R^m}_{ijk}-(D_iv_m){R^m}_{ljk} \\
&D_iD_kD_jv_l-D_kD_iD_jv_l=-(D_mv_l){R^m}_{jki}-(D_jv_m){R^m}_{lki}
\end{split} \notag
\end{equation}
この式を足し合わすと、左辺は(6-18)式を使って次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
&D_j(D_iD_kv_l-D_kD_iv_l)+D_k(D_jD_iv_l-D_iD_jv_l)+D_i(D_kD_jv_l-D_jD_kv_l) \\
&=-D_k(v_m{R^m}_{lij})-D_i(v_m{R^m}_{ljk})-D_j(v_m{R^m}_{lki})
\end{split} \notag
\end{equation}
一方、右辺は(6-10)式より第1項の和がゼロとなるから、
\begin{equation}
-(D_kv_m){R^m}_{lij}-(D_iv_m){R^m}_{ljk}-(D_jv_m){R^m}_{lki} \notag
\end{equation}
となる。これより、
\begin{equation}
v_m(D_k{R^m}_{lij}+D_i{R^m}_{ljk}+D_j{R^m}_{lki})=0 \notag
\end{equation}
となる。ここで $v_m$ は任意であるから次の関係が成立する。
\begin{equation}
D_k{R^m}_{lij}+D_i{R^m}_{ljk}+D_j{R^m}_{lki}=0 \tag*{$(6-20)$}
\end{equation}
これはビアンキの恒等式とよばれる。(6-20)式を添字 $mk$ について縮約すれば、
\begin{equation}
D_k{R^k}_{lij}+D_i{R^k}_{ljk}+D_j{R^k}_{lki}=0 \notag
\end{equation}
となる。(6-8)、(6-11)式より次のようになる。
\begin{equation}
D_k{R^k}_{lij}+D_iR_{lj}-D_jR_{li}=0 \notag
\end{equation}
さらに $g^{li}$ をかけて縮約すると、
\begin{equation}
D_k(g^{li}{R^k}_{lij})+D_i{R^i}_j-D_jR=0 \notag
\end{equation}
となるが、左辺第1項は、
\begin{equation}
D_k(g^{km}g^{li}R_{mlij})=D_k(g^{km}g^{li}R_{lmji})=D_k(g^{km}R_{mj}) \notag
\end{equation}
と変形できるので次のようになる。
\begin{equation}
2D_i{R^i}_j-D_jR=0 \notag
\end{equation}
添字を挙げて整理すれば次式が得られる。
\begin{equation}
D_i\Bigl(R^{ij}-\frac{1}{2}g^{ij}R\Bigr)=0 \tag*{$(6-21)$}
\end{equation}