２次元や軸対称問題ではベクトルポテンシャルは一つの成分しか方程式に出てきませんでした。２次元問題では $A_z$ だけが方程式に現れ、他の $A_x$ や $A_y$ は(２．２－１)式の第３式、
\begin{equation}
\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}=0 \notag
\end{equation}
をみたせば何でもよかったのです。任意のスカラー関数を $\chi$ として、
\begin{equation}
\begin{split}
&A_x=\frac{\partial\chi}{\partial x} \\
&A_y=\frac{\partial\chi}{\partial y}
\end{split} \notag
\end{equation}
とおけば上の式をみたします。ベクトルポテンシャルにはこのような自由度があります。
ベクトルポテンシャルは磁束密度を表すために、
\begin{equation}
\boldsymbol{B}=\mathrm{rot}\boldsymbol{A} \notag
\end{equation}
として定義されましたが、次のベクトルポテンシャルも同じ磁束密度を表すことが分かります。
\begin{equation}
\boldsymbol{A}^\prime=\boldsymbol{A}+\mathrm{grad}\chi \tag*{$(2.4-1)$}
\end{equation}
ここに $\chi$ は先ほど出てきた任意のスカラー関数です。これはどのような $\chi$ に対しても、
\begin{equation}
\mathrm{rot}\mathrm{grad}\chi=0 \notag
\end{equation}
が成り立つからです。同じ磁束密度を表すベクトルポテンシャルは一つではなく(２．４－１)式によって変換することが出来ます。
この変換のことをゲージ変換とよんでいます。またベクトルポテンシャルが持つこのような自由度をゲージの自由度といいます。
このことから静磁場解析の方程式(２．１－５)式の解は一通りに決まらずゲージの自由度を持っています。ですからこの方程式を解くにはこの自由度を無くすような条件によりベクトルポテンシャルを制限する必要があります。このようにベクトルポテンシャルに与える条件のことをゲージ条件とよびこの条件を与えてゲージの自由度を無くすことをゲージの固定といいます。
よく使われるゲージ条件としては、クーロンゲージとよばれるものがあります。
\begin{equation}
\mathrm{div}\boldsymbol{A}=0 \tag*{$(2.4-2)$}
\end{equation}
(２．４－１)式の両辺の発散をとると、
\begin{equation}
\mathrm{div}\boldsymbol{A}^\prime=\mathrm{div}\boldsymbol{A}+\mathrm{div}\mathrm{grad}\chi \notag
\end{equation}
ですが、クーロンゲージをみたすようにこの値をゼロとおくとこの式は次のようにかけます。
この条件をみたさないベクトルポテンシャル $\boldsymbol{A}$ に対して、
\begin{equation}
\Delta\chi=-\mathrm{div}\boldsymbol{A} \notag
\end{equation}
を解き、この解である $\chi$ を使って(２．４－１)式のゲージ変換を行えば変換されたベクトルポテンシャル $\boldsymbol{A}^\prime$ はクーロンゲージをみたすことになります。上の方程式はポアソン方程式ですから無限遠点での境界条件、例えば $\chi=0$ を与えてやれば解くことが出来ます。
さて、このようなゲージの自由度を持つことを念頭に置いて基礎方程式(２．１－５)式、
\begin{equation}
\mathrm{rot}\frac{1}{\mu}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{J} \notag
\end{equation}
から有限要素法の定式化を行います。これまではスカラー関数を基礎方程式にかけて解析領域で積分していたのですが、この方程式はベクトルなので成分ごとに三つの方程式があります。そこで任意関数として三つの成分を持つベクトル関数 $\boldsymbol{w}$ を導入してこの方程式の両辺との内積をとり解析領域 $V$ で積分します。
\begin{equation}
\int_V\boldsymbol{w}\cdot\mathrm{rot}\frac{1}{\mu}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}dV=\int_V\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{J}dV \tag*{$(2.4-3)$}
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
\boldsymbol{H}=\frac{1}{\mu}\mathrm{rot}\boldsymbol{A} \notag
\end{equation}
を使うと左辺の積分内は次のように変形できます。
\begin{equation}
\boldsymbol{w}\cdot\mathrm{rot}\boldsymbol{H}=-\mathrm{div}[\boldsymbol{w}\times\boldsymbol{H}]+\mathrm{rot}\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{H} \notag
\end{equation}
これとガウスの発散定理を使うと上の式の左辺は次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
-\int_V\mathrm{div}[\boldsymbol{w}\times\boldsymbol{H}]dV+\int_V\mathrm{rot}\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{H}dV
&=-\int_S[\boldsymbol{w}\times\boldsymbol{H}]\cdot\boldsymbol{n}dS+\int_V\mathrm{rot}\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{H}dV \\
&=-\int_S\boldsymbol{w}\cdot[\boldsymbol{H}\times\boldsymbol{n}]dS+\int_V\mathrm{rot}\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{H}dV
\end{split} \notag
\end{equation}
ただし $S$ は解析領域 $V$ の境界面であり、$\boldsymbol{n}$ はその面に外向きにとった単位法線ベクトルです。
これより(２．４－３)式は次のようにかけます。
\begin{equation}
\int_V\mathrm{rot}\boldsymbol{w}\cdot\frac{1}{\mu}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}dV=\int_V\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{J}dV+\int_S\boldsymbol{w}\cdot[\boldsymbol{H}\times\boldsymbol{n}]dS \tag*{$(2.4-4)$}
\end{equation}
領域を有限要素に分割すれば、
\begin{equation}
\sum_n\int_{V_n}\mathrm{rot}\boldsymbol{w}\cdot\frac{1}{\mu}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}dV
=\sum_n\int_{V_n}\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{J}dV+\sum_n\int_{S_n}\boldsymbol{w}\cdot[\boldsymbol{H}\times\boldsymbol{n}]dS \tag*{$(2.4-5)$}
\end{equation}
となります。ただし境界での面積分は境界に接する要素の場合のみ行います。
要素内でベクトルポテンシャル $\boldsymbol{A}$ とベクトル関数 $\boldsymbol{w}$ を節点値から次のように補間します。
\begin{equation}
\begin{split}
&\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})=\sum_\alpha N_\alpha(\boldsymbol{x})\boldsymbol{A}^\alpha \\
&\boldsymbol{w}(\boldsymbol{x})=\sum_\alpha N_\alpha(\boldsymbol{x})\boldsymbol{w}^\alpha
\end{split} \tag*{$(2.4-6)$}
\end{equation}
これを上の式の左辺に代入し少し面倒くさい計算を行うと次の式となります。
\begin{equation}
\sum_n\sum_{\alpha\beta}\sum_{ij}w_i^{n\alpha}\int_{V_n}\bigl(\sum_k\frac{\partial N_\alpha}{\partial x_k}
\frac{1}{\mu}\frac{\partial N_\beta}{\partial x_k}\delta_{ij}
-\frac{\partial N_\alpha}{\partial x_j}\frac{1}{\mu}\frac{\partial N_\beta}{\partial x_i}\bigr)dVA_j^{n\beta} \notag
\end{equation}
ここに、
\begin{equation}
\begin{split}
\delta_{ij}&=1 \hspace{5mm} (i=j) \\
&=0 \hspace{5mm} (i\ne j)
\end{split} \tag*{$(2.4-7)$}
\end{equation}
はクロネッカのデルタです。また右辺は、
\begin{equation}
\sum_n\sum_\alpha\sum_i w_i^{n\alpha}\int_{V_n}N_\alpha J_idV+\sum_n\sum_\alpha\sum_i w_i^{n\alpha}\int_{V_n}N_\alpha[\boldsymbol{H}\times\boldsymbol{n}]_idS \notag
\end{equation}
となります。ここでベクトルポテンシャルやベクトル関数の肩についている添字 $n\alpha$ などは $n$ 番目の要素の $\alpha$ 番目の節点を表しています。
これより要素行列と要素ベクトルは次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
&K_{\alpha i,\beta j}^{(n)}=\int_{V_n}\bigl(\sum_k\frac{\partial N_\alpha}{\partial x_k}\frac{1}{\mu}\frac{\partial N_\beta}{\partial x_k}\delta_{ij}
-\frac{\partial N_\alpha}{\partial x_j}\frac{1}{\mu}\frac{\partial N_\beta}{\partial x_i}\bigr)dV \\
&F_{\alpha i}^{(n)}=\int_{V_n}N_\alpha J_idV+\int_{V_n}N_\alpha[\boldsymbol{H}\times\boldsymbol{n}]_idS
\end{split} \tag*{$(2.4-8)$}
\end{equation}
この要素行列と要素ベクトルを全体の係数行列とベクトルに足しこんで連立方程式を作成するのですが、最初に行ったようにこの方程式はゲージの自由度を含んでいるので不定方程式となってしまします。
この不定性を無くすにはゲージ条件を付ける必要があるのですが、例えばクーロンゲージ(２．４－２)式を適用することを考えます。
そのために要素内の補間関数を使い、全ての要素で、
\begin{equation}
\mathrm{div}\boldsymbol{A}=\sum_\alpha\sum_i\frac{\partial N_\alpha}{\partial x_i}A_i^\alpha=0 \notag
\end{equation}
が成立するような条件を付けます。このような条件を具体的にどのようにつけるかはここでは述べませんが、このような方程式を解くと精度が非常に悪くなることが分かています。
これは方程式を有限要素法で離散化した場合、もともとあったゲージの自由度が制限されてしまい勝手なゲージ条件を付けることが出来ないからです。
ちなみに有限要素法におけるゲージの自由度は境界条件によって取り除くことが出来ることが分かっています。