電流に働く力はローレンツ力により次のように計算できます。
\begin{equation}
\boldsymbol{F}=[\boldsymbol{J}\times\boldsymbol{B}] \tag*{$(7.1-1)$}
\end{equation}
ここに $\boldsymbol{J}$ は電流密度で、磁束密度から受ける単位体積当たりの力 $\boldsymbol{F}$ が求まります。
コイルに電流が流れている場合、コイルが磁場の中に置かれるとどのような力を受けるかとか、導体が変動磁場の中に置かれたとき内部に渦電流が発生しますが、この電流が外部磁場からどのような力を受けるかを知りたいときはこの式を使って力を知ることが出来ます。
電流が流れている領域全体の力が知りたい場合はこの領域 $V$ でこの力を体積積分することによって求めることが出来ます。
\begin{equation}
\boldsymbol{f}=\int_V[\boldsymbol{J}\times\boldsymbol{B}]dV \tag*{$(7.1-2)$}
\end{equation}
周波数応答解析の場合は次のような注意が必要です。この場合電流も磁束密度も一定の周波数で振動していますからフェザー表示を使った電流や磁束密度を上の式に代入することはできません。電流密度に実部と虚部を $(\boldsymbol{J}_R,\boldsymbol{J}_I)$ とかき同じように磁束密度を実部と虚部で $(\boldsymbol{B}_R,\boldsymbol{B}_I)$ と表すと
それぞれ次のような時間変化を行っています。
\begin{equation}
\begin{split}
&\boldsymbol{J}(t)=\boldsymbol{J}_R\mathrm{cos}\omega t-\boldsymbol{J}_I\mathrm{sin}\omega t \\
&\boldsymbol{B}(t)=\boldsymbol{B}_R\mathrm{cos}\omega t-\boldsymbol{B}_I\mathrm{sin}\omega t
\end{split} \notag
\end{equation}
ここに $\omega$ は角周波数です。これよりローレンツ力は次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
\boldsymbol{F}(t)&=[(\boldsymbol{J}_R\mathrm{cos}\omega t-\boldsymbol{J}_I\mathrm{sin}\omega t)\times(\boldsymbol{B}_R\mathrm{cos}\omega t-\boldsymbol{B}_I\mathrm{sin}\omega t)] \\
&=[\boldsymbol{J}_R\times\boldsymbol{B}_R]\mathrm{cos}^2\omega t-([\boldsymbol{J}_R\times\boldsymbol{B}_I]+[\boldsymbol{J}_I\times\boldsymbol{B}_R])\mathrm{sin}\omega t\mathrm{cos}\omega t
+[\boldsymbol{J}_I\times\boldsymbol{B}_I]\mathrm{sin}^2\omega t
\end{split} \notag
\end{equation}
これを一周期 $T$ について時間積分すると、
\begin{equation}
\begin{split}
&\int_0^T\mathrm{cos}^2\omega tdt=\int_0^T\mathrm{sin}^2\omega tdt=\frac{T}{2} \\
&\int_0^T\mathrm{sin}\omega t\mathrm{cos}\omega tdt=0
\end{split} \notag
\end{equation}
なので次のようになります。
\begin{equation}
\int_0^T\boldsymbol{F}(t)dt=\frac{T}{2}\bigl([\boldsymbol{J}_R\times\boldsymbol{B}_R]+[\boldsymbol{J}_I\times\boldsymbol{B}_I]\bigr) \notag
\end{equation}
これより単位時間当たりの平均の電磁力が次のように計算できます。
\begin{equation}
<\boldsymbol{F}>=\frac{1}{2}\bigl([\boldsymbol{J}_R\times\boldsymbol{B}_R]+[\boldsymbol{J}_I\times\boldsymbol{B}_I]\bigr) \tag*{$(7.1-3)$}
\end{equation}