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【技術情報】曲線座標

4-1. 具体的な曲線座標系(円筒座標系)


 円筒座標系はデカルト座標と次の関係がある。
\begin{equation}
\begin{split}
&X^1=r\mathrm{cos}\theta \\
&X^2=r\mathrm{sin}\theta \\
&X^3=z
\end{split} \tag*{$(4-1)$}
\end{equation}
この式を微分すると次の関係が得られる。
\begin{equation}
\begin{split}
&dX^1=\mathrm{cos}\theta dr-r\mathrm{sin}\theta d\theta \\
&dX^2=\mathrm{sin}\theta dr+r\mathrm{cos}\theta d\theta \\
&dX^3=dz
\end{split} \tag*{$(4-2)$}
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
\begin{split}
&x^1=r \\
&x^2=\theta \\
&x^3=z
\end{split} \tag*{$(4-3)$}
\end{equation}
とおくと(4-2)式より次の式が成立する。
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
dX^1 \\
dX^2 \\
dX^3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathrm{cos}\theta & -r\mathrm{sin}\theta & 0 \\
\mathrm{sin}\theta & r\mathrm{cos}\theta & 0 \\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
dx^1 \\
dx^2 \\
dx^3
\end{bmatrix} \tag*{$(4-4)$}
\end{equation}
\begin{equation}
\hspace{10mm}
\begin{bmatrix}
dx^1 \\
dx^2 \\
dx^3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathrm{cos}\theta & \mathrm{sin}\theta & 0 \\
-r^{-1}\mathrm{sin}\theta & r^{-1}\mathrm{cos}\theta & 0 \\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
dX^1 \\
dX^2 \\
dX^3
\end{bmatrix} \tag*{$(4-5)$}
\end{equation}
これより、
\begin{equation}
ds^2=dX_idX^i=dr^2+r^2d\theta^2+dz^2 \notag
\end{equation}
となるので計量テンソルは次のようになる。
\begin{equation}
\bigl[g_{ij}\bigr]=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & r^2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\hspace{10mm}
\bigl[g^{ij}\bigr]=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & r^{-2} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \tag*{$(4-6)$}
\end{equation}
計量テンソルが分かれば(2-12)式よりベクトルの反変成分と共変成分の関係が求まる。
この場合次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
&v_1=v^1 \\
&v_2=r^2v^2 \\
&v_3=v^3
\end{split} \notag
\end{equation}
ただしこれらのベクトル成分は通常円筒座標を使ったときのベクトル成分とは異なっている。ここでいう通常のベクトル成分とは、着目している点において $r$ 方向すなわち動径方向と $\theta$ 方向(周方向)および $z$ 方向に直交基底ベクトルをおき、基底ベクトルの長さを $1$ としたときのベクトルの成分でりこれを物理成分とよんでいる。これに対してここで使っている基底ベクトル(1-2)(1-11)式は円筒座標系の場合直交基底となているが長さが $1$ ではない。$\boldsymbol{v}$ の物理成分を $(V_r,V_\theta,V_z)$ とおけば、
\begin{equation}
\begin{split}
&v_1=v^1=V_r \\
&v_2=r^2v^2=rV_\theta \\
&v_3=v^3=V_z
\end{split} \tag*{$(4-7)$}
\end{equation}
の関係がある。これより(3-5)式を計算するとゼロでない成分は次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
&\Gamma^1_{22}=-\frac{1}{2}\frac{\partial g_{22}}{\partial x^1}=-r \\
&\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=\frac{1}{r}
\end{split} \tag*{$(4-8)$}
\end{equation}
これから共変微分を計算すると次のようになる。スカラー場に関して、
\begin{equation}
\begin{split}
&D_1\phi=\frac{\partial\phi}{\partial x^1}=\frac{\partial\phi}{\partial r} \\
&D_2\phi=\frac{\partial\phi}{\partial x^2}=\frac{\partial\phi}{\partial\theta} \\
&D_3\phi=\frac{\partial\phi}{\partial x^3}=\frac{\partial\phi}{\partial z} \\
\end{split} \tag*{$(4-9)$}
\end{equation}
ベクトル場に関して、
\begin{equation}
\begin{split}
&D_1v^1=\frac{\partial v^1}{\partial x^1}=\frac{\partial V_r}{\partial r} \hspace{36mm}
D_1v_1=\frac{\partial v_1}{\partial x^1}=\frac{\partial V_r}{\partial r} \\
&D_2v^1=\frac{\partial v^1}{\partial x^2}+\Gamma^1_{22}v^2=\frac{\partial V_r}{\partial\theta}-V_\theta \hspace{15mm}
D_2v_1=\frac{\partial v_1}{\partial x^2}-\Gamma^2_{12}v_2=\frac{\partial V_r}{\partial\theta}-V_\theta \\
&D_3v^1=\frac{\partial v^1}{\partial x^3}=\frac{\partial V_r}{\partial z} \hspace{36mm}
D_3v_1=\frac{\partial v_1}{\partial x^3}=\frac{\partial V_r}{\partial z} \\
&D_1v^2=\frac{\partial v^2}{\partial x^1}+\Gamma^2_{12}v^2=\frac{\partial}{\partial r}\bigl(\frac{V_\theta}{r}\bigr)
+\frac{V_\theta}{r^2} \hspace{9mm}
D_1v_2=\frac{\partial v_2}{\partial x^1}-\Gamma^2_{12}v_2=\frac{\partial}{\partial r}\bigl(rV_\theta\bigr)-V_\theta \\
&D_2v^2=\frac{\partial v^2}{\partial x^2}+\Gamma^2_{21}v^1=\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(\frac{V_\theta}{r}\bigr)
+\frac{V_r}{r} \hspace{9mm}
D_2v_2=\frac{\partial v_2}{\partial x^2}-\Gamma^1_{22}v_1=\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(rV_\theta\bigr)+rV_r \\
&D_3v^2=\frac{\partial v^2}{\partial x^3}=\frac{1}{r}\frac{\partial V_\theta}{\partial z} \hspace{34mm}
D_3v_2=\frac{\partial v_2}{\partial x^3}=r\frac{\partial V_\theta}{\partial z} \\
&D_1v^3=\frac{\partial v^3}{\partial x^1}=\frac{\partial V_z}{\partial r} \hspace{36mm}
D_1v_3=\frac{\partial v_3}{\partial x^1}=\frac{\partial V_z}{\partial r} \\
&D_2v^3=\frac{\partial v^3}{\partial x^2}=\frac{\partial V_z}{\partial\theta} \hspace{36mm}
D_2v_3=\frac{\partial v_3}{\partial x^2}=\frac{\partial V_z}{\partial\theta} \\
&D_3v^3=\frac{\partial v^3}{\partial x^3}=\frac{\partial V_z}{\partial z} \hspace{36mm}
D_3v_3=\frac{\partial v_3}{\partial x^3}=\frac{\partial V_z}{\partial z}
\end{split} \notag
\end{equation}
である。これより次の関係が得られる。ベクトルの発散は、
\begin{equation}
\mathrm{div}\boldsymbol{V}=D_iv^i=\frac{\partial V_r}{\partial r}+\frac{V_r}{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial V_\theta}{\partial\theta}
+\frac{\partial V_z}{\partial z} \tag*{$(4-10)$}
\end{equation}
次にベクトルの回転を求める。デカルト座標におけるベクトルの回転は次のようにかける。
\begin{equation}
\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)^i=E^{ijk}\frac{\partial V_k}{\partial X^j} \tag*{$(4-11)$}
\end{equation}
ここで、$E_{ijk}$は3回の反変テンソルであり、$(i,j,k)$ が $(1,2,3)$ の偶置換の場合は $1$、奇置換の場合は $-1$、それ以外はゼロである。このテンソルは一般座標では次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
e^{ijk}&=\frac{\partial x^i}{\partial X^l}\frac{\partial x^j}{\partial X^m}\frac{\partial x^k}{\partial X^n}E^{lmn} \\
&=
\begin{vmatrix}
\frac{\partial x^i}{\partial X^1} & \frac{\partial x^j}{\partial X^1} & \frac{\partial x^k}{\partial X^1} \\
\frac{\partial x^i}{\partial X^2} & \frac{\partial x^j}{\partial X^2} & \frac{\partial x^k}{\partial X^2} \\
\frac{\partial x^i}{\partial X^3} & \frac{\partial x^j}{\partial X^3} & \frac{\partial x^k}{\partial X^3}
\end{vmatrix}
\end{split} \tag*{$(4-12)$}
\end{equation}
これより、$e^{ijk}$ は3階の反変テンソルであり、$(i,j,k)$ が $(1,2,3)$ の偶置換の場合は $J$、奇置換の場合は $-J$、それ以外はゼロである。ただし、$J$ は変換行列の行列式である。
\begin{equation}
J=
\begin{vmatrix}
\frac{\partial x^1}{\partial X^1} & \frac{\partial x^2}{\partial X^1} & \frac{\partial x^3}{\partial X^1} \\
\frac{\partial x^1}{\partial X^2} & \frac{\partial x^2}{\partial X^2} & \frac{\partial x^3}{\partial X^2} \\
\frac{\partial x^1}{\partial X^3} & \frac{\partial x^2}{\partial X^3} & \frac{\partial x^3}{\partial X^3}
\end{vmatrix} \tag*{$(4-13)$}
\end{equation}
(4-5)式より円筒座標の場合はこの値は次のようになる。
\begin{equation}
J=
\begin{vmatrix}
\mathrm{cos}\theta & \mathrm{sin}\theta & 0 \\
-r^{-1}\mathrm{sin}\theta & r^{-1}\mathrm{cos}\theta & 0 \\
0 & 0 & 1\\
\end{vmatrix}
=\frac{1}{r} \notag
\end{equation}
このテンソルの性質を使うと、
\begin{equation}
e^{ijk}D_jv_k=e^{ijk}\Bigl(\frac{\partial v_k}{\partial x^j}-\Gamma^l_{jk}v_l\Bigr)=e^{ijk}\frac{\partial v_k}{\partial x^j} \notag
\end{equation}
となるので一般座標におけるベクトルの回転は次のようになる。
\begin{equation}
\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)^i=e^{ijk}\frac{\partial v_k}{\partial x^j} \tag*{$(4-14)$}
\end{equation}
これより、
\begin{equation}
\begin{split}
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)^1=J(D_2v_3-D_3v_2)=\frac{1}{r}\frac{\partial V_z}{\partial\theta}-\frac{\partial V_\theta}{\partial z} \\
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)^2=J(D_3v_1-D_1v_3)=\frac{1}{r}\bigl(\frac{\partial V_r}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial r}\bigr) \\
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)^3=J(D_1v_2-D_2v_1)=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}(rV_\theta)-\frac{1}{r}\frac{\partial V_r}{\partial\theta} \\
\end{split} \tag*{$(4-15)$}
\end{equation}
となる。物理成分でかくと次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)_r=\frac{1}{r}\frac{\partial V_z}{\partial\theta}-\frac{\partial V_\theta}{\partial z} \\
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)_\theta=\frac{\partial V_r}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial r} \\
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)_z=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rV_\theta)-\frac{1}{r}\frac{\partial V_r}{\partial\theta} \\
\end{split} \tag*{$(4-16)$}
\end{equation}
スカラー場のラプラシアンは次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
D_i\bigl(g^{ij}D_j\phi\bigr)&=\frac{\partial}{\partial x^i}\Bigl(g^{ij}\frac{\partial\phi}{\partial x^j}\Bigr)
+\Gamma^i_{ik}g^{kj}\frac{\partial\phi}{\partial x^j} \\
&=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r\frac{\partial\phi}{\partial r}\bigr)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial\theta^2}
+\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}
\end{split} \tag*{$(4-17)$}
\end{equation}