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【技術情報】曲線座標

3. 共変微分


 デカルト座標におけるスカラー場 $F(\boldsymbol{X})$ の微分を考える。この関数を曲線座標で表した場を $f(\boldsymbol{x})$ とすれば同じ点で、
\begin{equation}
F(X^1,X^2,\cdots,X^n)=f(x^1,x^2,\cdots,x^n)   \tag*{$(3-1)$}
\end{equation}
が成立する。この式をデカルト座標で微分すると次のようになる。
\begin{equation}
\frac{\partial F(\boldsymbol{X})}{\partial X^i}=\frac{\partial x^j}{\partial X^i}\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x^j} \tag*{$(3-2)$}
\end{equation}
この関係はベクトルの共変成分の関係(2-2)式と同じであるから、スカラー場を座標の反変成分で微分したものはベクトルの共変成分であることがわかる。次にベクトル場の微分を考える。デカルト座標におけるベクトルの反変成分を $V^i(\boldsymbol{X})$、曲線座標におけるこのベクトル場の反変成分を $v^i(\boldsymbol{x})$ とかくと、同じ場所で、
\begin{equation}
V^i(X^1,X^2,\cdots,X^n)=\frac{\partial X^i}{\partial x^j}v^j(x^1,x^2,\cdots,x^n) \tag*{$(3-3)$}
\end{equation}
であるから、この微分は次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{\partial V^i(\boldsymbol{X})}{\partial X^j}
&=\frac{\partial x^l}{\partial X^j}\frac{\partial}{\partial x^l}\Bigl(\frac{\partial X^i}{\partial x^k}v^k(\boldsymbol{x})\Bigr) \\
&=\frac{\partial x^l}{\partial X^j}\Bigl(\frac{\partial X^i}{\partial x^k}\frac{\partial v^k(\boldsymbol{x})}{\partial x^l}
+\frac{\partial^2X^i}{\partial x^l\partial x^k}v^k(\boldsymbol{x})\Bigr)
\end{split} \tag*{$(3-4)$}
\end{equation}
この右辺を変形すると次のようになる。
\begin{equation}
\frac{\partial x^l}{\partial X^j}\frac{\partial X^i}{\partial x^k}\Bigl(\frac{\partial v^k(\boldsymbol{x})}{\partial x^l}
+\frac{\partial x^k}{\partial X^n}\frac{\partial^2X^n}{\partial x^l\partial x^m}v^m(\boldsymbol{x})\Bigr) \notag
\end{equation}
この計算を続けるために計量テンソルの微分を求めておく。(2-10)式より、
\begin{equation}
\begin{split}
&\frac{\partial g_{tj}}{\partial x^k}=\frac{\partial^2X_l}{\partial x^t\partial x^k}\frac{\partial X^l}{\partial x^j}
+\frac{\partial X_l}{\partial x^t}\frac{\partial^2X^l}{\partial x^j\partial x^k} \\
&\frac{\partial g_{tk}}{\partial x^j}=\frac{\partial^2X_l}{\partial x^t\partial x^j}\frac{\partial X^l}{\partial x^k}
+\frac{\partial X_l}{\partial x^t}\frac{\partial^2X^l}{\partial x^k\partial x^j} \\
&\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^t}=\frac{\partial^2X_l}{\partial x^j\partial x^t}\frac{\partial X^l}{\partial x^k}
+\frac{\partial X_l}{\partial x^j}\frac{\partial^2X^l}{\partial x^k\partial x^t} \\
\end{split} \notag
\end{equation}
となるので次の式が成り立つ。
\begin{equation}
\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial g_{tj}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{tk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^t}\Bigr)
=\frac{\partial X_l}{\partial x^t}\frac{\partial^2X^l}{\partial x^j\partial x^k} \notag
\end{equation}
この式の両辺に $g^{it}$ をかけて $t$ について和をとると(2-13)式より次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{1}{2}g^{it}\Bigl(\frac{\partial g_{tj}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{tk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^t}\Bigr)
&=g^{it}\frac{\partial X_l}{\partial x^t}\frac{\partial^2X^l}{\partial x^j\partial x^k} \\
&=\frac{\partial x^i}{\partial X^m}\frac{\partial x^t}{\partial X_m}\frac{\partial X_l}{\partial x^t}\frac{\partial^2X^l}{\partial x^j\partial x^k} \\
&=\frac{\partial x^i}{\partial X^l}\frac{\partial^2X^l}{\partial x^j\partial x^k}
\end{split} \notag
\end{equation}
ここで次のクリストッフェルの記号を導入する。
\begin{equation}
\Gamma^i_{jk}=\frac{1}{2}g^{it}\Bigl(\frac{\partial g_{tj}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{tk}}{\partial x^j}
-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^t}\Bigr) \tag*{$(3-5)$}
\end{equation}
この記号は定義からわかるように下付きの添字 $jk$ について対称である。これらの式を使うと(3-4)式は次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{\partial V^i}{\partial X^j}&=\frac{\partial x^l}{\partial X^j}\frac{\partial X^i}{\partial x^k}\Bigl(\frac{\partial v^k}{\partial x^l}
+\frac{\partial x^k}{\partial X^n}\frac{\partial^2X^n}{\partial x^l\partial x^m}v^m\Bigr) \\
&=\frac{\partial x^l}{\partial X^j}\frac{\partial X^i}{\partial x^k}
\Bigl(\frac{\partial v^k}{\partial x^l}+\Gamma^k_{lm}v^m\Bigr)
\end{split} \tag*{$(3-6)$}
\end{equation}
いま、
\begin{equation}
D_lv^k=\frac{\partial v^k}{\partial x^l}+\Gamma^k_{lm}v^m \tag*{$(3-7)$}
\end{equation}
とかけば、これは2階のテンソルの共変反変成分であることがわかる。
 別の観点から曲線座標におけるベクトルの微分について考える。曲線座標の基底ベクトル(1-2)式を使うと、ベクトルは反変成分を使って次のように表される。
\begin{equation}
\boldsymbol{V}(\boldsymbol{x})=v^i(\boldsymbol{x})\boldsymbol{e}_i(\boldsymbol{x}) \notag
\end{equation}
この場所と無限小 $d\boldsymbol{x}$ はなれた位置にあるベクトルとの差を $d\boldsymbol{V}$ とかくと、上の式を使って次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
d\boldsymbol{V}&=v^i(\boldsymbol{x}+d\boldsymbol{x})\boldsymbol{e}_i(\boldsymbol{x}+d\boldsymbol{x})-v^i(\boldsymbol{x})\boldsymbol{e}_i(\boldsymbol{x}) \\
&=\Bigl(v^i+\frac{\partial v^i}{\partial x^j}dx^j\Bigr)\bigl(\boldsymbol{e}_i+\frac{\partial^2\boldsymbol{X}}{\partial x^i\partial x^k}dx^k\Bigr)-v^i\boldsymbol{e}_i \\
&=\frac{\partial v^i}{\partial x^j}dx^j\boldsymbol{e}_i+v^i\frac{\partial^2\boldsymbol{X}}{\partial x^i\partial x^k}dx^k \\
&=\Bigl(\frac{\partial v^i}{\partial x^j}\boldsymbol{e}_i+\frac{\partial^2\boldsymbol{X}}{\partial x^j\partial x^k}v^k\Bigr)dx^j \\
&=\Bigl(\frac{\partial v^i}{\partial x^j}+\frac{\partial x^i}{\partial X^l}\frac{\partial^2X^l}{\partial x^j\partial x^k}v^k\Bigr)
\frac{\partial\boldsymbol{X}}{\partial x^i}dx^j
\end{split} \notag
\end{equation}
これよりこのベクトルは次のようにかくことができる。
\begin{equation}
d\boldsymbol{V}=\Bigl(\frac{\partial v^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}v^k\Bigr)dx^j\boldsymbol{e}_i=D_jv^idx^j\boldsymbol{e}_i \tag*{$(3-8)$}
\end{equation}
これより曲線座標におけるベクトルの微分は(3-7)式で表されることがわかる。
 次に、デカルト座標におけるベクトル場の共変成分を $V_i(\boldsymbol{X})$、曲線座標におけるこのベクトル場の共変成分を $v_i(\boldsymbol{x})$ とかくと、(2-2)式より同じ場所で、
\begin{equation}
V_i(X^1,V^2,\cdots,X^n)=\frac{\partial x^j}{\partial X^i}v_j(x^1,x^2,\cdots,x^n) \tag*{$(3-9)$}
\end{equation}
であるから、この微分は次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{\partial V_i(\boldsymbol{X})}{\partial X^j}&=\frac{\partial}{\partial X^j}\Bigl(\frac{\partial x^k}{\partial X^i}v_k(\boldsymbol{x})\Bigr) \\
&=\frac{\partial x^k}{\partial X^i}\frac{\partial v_k(\boldsymbol{x})}{\partial X^j}+\frac{\partial^2x^n}{\partial X^i\partial X^j}v_n(\boldsymbol{x})
\end{split} \tag*{$(3-10)$}
\end{equation}
この式の右辺を変形すれば、すぐ下で示すように次のようになる。
\begin{equation}
\frac{\partial x^k}{\partial X^i}\frac{\partial x^l}{\partial X^j}\bigl(\frac{\partial v_k(\boldsymbol{x})}{\partial x^l}
-\frac{\partial x^n}{\partial X^m}\frac{\partial^2X^m}{\partial x^k\partial x^l}v_n(\boldsymbol{x})\bigr) \notag
\end{equation}
この括弧内の第一項は(3-10)式の右辺第一項と等しいことがすぐ分かるので第2項どうしの比較を行い、
\begin{equation}
-\frac{\partial x^k}{\partial X^i}\frac{\partial x^l}{\partial X^j}\frac{\partial x^n}{\partial X^m}\frac{\partial^2X^m}{\partial x^k\partial x^l}
=\frac{\partial^2x^n}{\partial X^i\partial X^j} \notag
\end{equation}
が成立すればこのように変形できることがわかる。この式の左辺を変形すると、
\begin{equation}
\begin{split}
&-\frac{\partial x^k}{\partial X^i}\frac{\partial x^n}{\partial X^m}\frac{\partial}{\partial X^j}\bigl(\frac{\partial X^m}{\partial x^k}\bigr) \\
&=-\frac{\partial}{\partial X^j}\bigl(\frac{\partial x^k}{\partial X^i}\frac{\partial x^n}{\partial X^m}\frac{\partial X^m}{\partial x^k}\bigr)
+\frac{\partial}{\partial X^j}\bigl(\frac{\partial x^k}{\partial X^i}\frac{\partial x^n}{\partial X^m}\bigr)\frac{\partial X^m}{\partial x^k} \\
&=-\frac{\partial^2x^n}{\partial X^i\partial X^j}+\frac{\partial^2x^k}{\partial X^i\partial X^j}\delta_k^n+\frac{\partial^2x^n}{\partial X^m\partial X^j}\delta_i^m \\
&=\frac{\partial^2x^n}{\partial X^i\partial X^j}
\end{split} \notag
\end{equation}
となり両辺は一致する。これより(3-10)式は次のようにかくことができる。
\begin{equation}
\frac{\partial V_i}{\partial X^j}=\frac{\partial x^k}{\partial X^i}\frac{\partial x^l}{\partial X^j}\bigl(\frac{\partial v_k(\boldsymbol{x})}{\partial x^l}
-\Gamma^n_{kl}v_n(\boldsymbol{x})\bigr) \tag*{$(3-11)$}
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
D_lv_k=\frac{\partial v_k}{\partial x^l}-\Gamma^n_{kl}v_n \tag*{$(3-12)$}
\end{equation}
とかけば、これは2階のテンソルの共変成分であることがわかる。(3-7)式、(3-12)式はどちらもベクトルの微分を表しており共変微分とよばれる。
 テンソルの共変微分を求めるために次の量を考える。
\begin{equation}
\begin{split}
&\bigl(D_ku^i\bigr)v^j=\Bigl(\frac{\partial u^i}{\partial x^k}+\Gamma^i_{kl}u^l\Bigr)v^j \\
&u^i\bigl(D_kv^j\bigr)=u^i\Bigl(\frac{\partial v^j}{\partial x^k}+\Gamma^j_{kl}v^l\Bigr)
\end{split} \notag
\end{equation}
これらはともに3階テンソルの、2階の反変1階の共変成分であるから、足し合わせた、
\begin{equation}
\bigl(D_ku^i\bigr)v^j+u^i\bigl(D_kv^j\bigr)=\frac{\partial}{\partial x^k}(u^iv^j)+\Gamma^i_{kl}u^lv^j+\Gamma^j_{kl}u^iv^l \notag
\end{equation}
も同じ変換性を持つテンソルの成分になる。そこで、ベクトルの成分の積についての共変微分を次のように定義する。
\begin{equation}
D_k(u^iv^j)=\bigl(D_ku^i\bigr)v^j+u^i\bigl(D_kv^j\bigr) \notag
\end{equation}
この式と上の式より次のようにかける。
\begin{equation}
D_k(u^iv^j)=\frac{\partial}{\partial x^k}(u^iv^j)+\Gamma^i_{kl}u^lv^j+\Gamma^j_{kl}u^iv^l \tag*{$(3-13)$}
\end{equation}
これより2階のテンソルの共変微分を次のように定義する。
\begin{equation}
D_kt^{ij}=\frac{\partial t^{ij}}{\partial x^k}+\Gamma^i_{kl}t^{lj}+\Gamma^j_{kl}t^{il} \tag*{$(3-14)$}
\end{equation}
同様にして、高階のテンソルの共変微分もベクトルの成分の積についての共変微分に関する規則、例えば、
\begin{equation}
D_l(a^ib^jc_k)=\bigl(D_la^i\bigr)b^jc_k+a^i\bigl(D_lb^j)c_k+a^ib^j\bigl(D_lc_k\bigr) \notag
\end{equation}
より、
\begin{equation}
D_l(a^ib^jc_k)=\frac{\partial}{\partial x^l}(a^ib^jc_k)+\Gamma^i_{lm}a^mb^jc_k+\Gamma^j_{lm}a^ib^mc_k-\Gamma^m_{lk}a^ib^jc_m \notag
\end{equation}
となるので、これに対応するテンソルの共変微分は次のようにかける。
\begin{equation}
D_l{t^{ij}}_k=\frac{\partial}{\partial x^l}{t^{ij}}_k+\Gamma^i_{lm}{t^{mj}}_k+\Gamma^j_{lm}{t^{im}}_k-\Gamma^m_{lk}{t^{ij}}_m \tag*{$(3-15)$}
\end{equation}
これより計量テンソルの共変微分を計算すると、
\begin{equation}
\begin{split}
D_kg_{ij}&=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}-\Gamma^l_{ki}g_{lj}-\Gamma^l_{kj}g_{il} \\
&=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}
-\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{ji}}{\partial x^k}-\frac{\partial g_{ki}}{\partial x^j}\Bigr)
-\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}-\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i}\Bigr) \\
&=0
\end{split} \notag
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{split}
D_kg^{ij}&=\frac{\partial g^{ij}}{\partial x^k}+\Gamma^i_{kl}g^{lj}+\Gamma^j_{kl}g^{il} \\
&=\frac{\partial g^{ij}}{\partial x^k}
+\frac{1}{2}g^{it}\Bigl(\frac{\partial g_{tl}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{tk}}{\partial x^l}-\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^t}\Bigr)g^{lj}
+\frac{1}{2}g^{jt}\Bigl(\frac{\partial g_{tl}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{tk}}{\partial x^l}-\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^t}\Bigr)g^{il} \\
&=\frac{\partial g^{ij}}{\partial x^k}
+\frac{1}{2}g^{it}\Bigl(\frac{\partial g_{tl}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{tk}}{\partial x^l}-\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^t}\Bigr)g^{lj}
+\frac{1}{2}g^{jl}\Bigl(\frac{\partial g_{lt}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^t}-\frac{\partial g_{kt}}{\partial x^l}\Bigr)g^{it} \\
&=\frac{\partial g^{ij}}{\partial x^k}+g^{it}\frac{\partial g_{tl}}{\partial x^k}g^{lj} \\
&=\frac{\partial g^{ij}}{\partial x^k}+g^{it}\frac{\partial}{\partial x^k}\bigl(g_{tl}g^{lj}\bigr)-g^{it}g_{tl}\frac{\partial g^{lj}}{\partial x^k} \\
&=\frac{\partial g^{ij}}{\partial x^k}+g^{it}\frac{\partial \delta_t^j}{\partial x^k}-\delta_l^i\frac{\partial g^{lj}}{\partial x^k} \\
&=0
\end{split} \notag
\end{equation}
となる。すなわち、
\begin{equation}
D_kg_{ij}=0 \tag*{$(3-16)$}
\end{equation}
\begin{equation}
D_kg^{ij}=0 \tag*{$(3-17)$}
\end{equation}
である。これより添字の上げ下げと共変微分は可換となる。