３次元の問題でも対象とする形状や磁場が軸対称である場合は２次元的な扱いができます。
静磁場の基礎方程式(２．１－５)式を円筒座標で表すことから始めます。
円筒座標は今まで使ってきた座標 $(x,y,z)$ と次の関係にあります。
\begin{equation}
\begin{split}
&x=r\mathrm{cos}\theta \\
&y=r\mathrm{sin}\theta \\
&z=z
\end{split} \tag*{$(2.3-1)$}
\end{equation}
この座標系によるベクトル $\boldsymbol{v}$ の回転は次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
&(\mathrm{rot}\boldsymbol{v})_r=\frac{1}{r}\frac{\partial v_z}{\partial\theta}-\frac{\partial v_\theta}{\partial z} \\
&(\mathrm{rot}\boldsymbol{v})_\theta=\frac{\partial v_r}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial r} \\
&(\mathrm{rot}\boldsymbol{v})_z=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rv_\theta)-\frac{1}{r}\frac{\partial v_r}{\partial\theta}
\end{split} \tag*{$(2.3-2)$}
\end{equation}
軸対称の場合角度 $\theta$ によって変化しないのでこれによる微分はゼロとなります。これより磁束密度はベクトルポテンシャルによって次のように表されます。
\begin{equation}
\begin{split}
&B_r=-\frac{\partial A_\theta}{\partial z} \\
&B_\theta=\frac{\partial A_r}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r}=0 \\
&B_z=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_\theta)
\end{split} \tag*{$(2.3-3)$}
\end{equation}
これより静磁場方程式(２．１－５)式の左辺は、
\begin{equation}
\begin{split}
&(\mathrm{rot}\frac{1}{\mu}\boldsymbol{B})_r=-\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\frac{1}{\mu}B_\theta\bigr)=0 \\
&(\mathrm{rot}\frac{1}{\mu}\boldsymbol{B})_\theta=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\frac{1}{\mu}B_r\bigr)-\frac{\partial}{\partial r}\bigl(\frac{1}{\mu}B_z\bigr)
=-\frac{\partial}{\partial r}\bigl(\frac{1}{\mu}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_\theta)\bigr)
-\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\frac{1}{\mu}\frac{\partial A_\theta}{\partial z}\bigr) \\
&(\mathrm{rot}\frac{1}{\mu}\boldsymbol{B})_z=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial z}(rB_\theta)=0
\end{split} \notag
\end{equation}
となります。これより軸対称の基礎方程式は次のようにかくことが出来ます。
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial r}\bigl(\frac{1}{\mu}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r A_\theta)\bigr)
+\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\frac{1}{\mu}\frac{\partial A_\theta}{\partial z}\bigr)=-J_\theta \tag*{$(2.3-4)$}
\end{equation}
この方程式の両辺に任意関数 $w(r,z)$ をかけて解析領域 $S$ で積分します。
\begin{equation}
\int_Sw(r,z)\bigl[\frac{\partial}{\partial r}\bigl(\frac{1}{\mu}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r A_\theta)\bigr)
+\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\frac{1}{\mu}\frac{\partial A_\theta}{\partial z}\bigr)\bigr]dS=-\int_Sw(r,z)J_\theta dS \tag*{$(2.3-5)$}
\end{equation}
この積分は円筒座標系での $(r,z)$ 面での積分なので、
\begin{equation}
dS=rdrdz \notag
\end{equation}
です。これより左辺を変形すると、
\begin{equation}
\begin{split}
&\int_Sw\bigl[\frac{\partial}{\partial r}\bigl(\frac{1}{\mu}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r A_\theta)\bigr)
+\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\frac{1}{\mu}\frac{\partial A_\theta}{\partial z}\bigr)\bigr]rdrdz \\
&=\int_S\bigl[\frac{\partial}{\partial r}\bigl(rw\frac{1}{\mu}\frac{1}{r}\frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r}\bigr)
+\frac{\partial}{\partial z}\bigl(rw\frac{1}{\mu}\frac{\partial A_\theta}{\partial z}\bigr)\bigr]drdz
-\int_S\bigl[\frac{\partial(rw)}{\partial r}\frac{1}{\mu}\frac{1}{r}\frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r}
+\frac{\partial(rw)}{\partial z}\frac{1}{\mu}\frac{\partial A_\theta}{\partial z}\bigr]drdz
\end{split} \notag
\end{equation}
となります。さらにガウスの発散定理を使って変形すると次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
&\oint\bigl[\bigl(rw\frac{1}{\mu}\frac{1}{r}\frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r}\bigr)n_r
+\bigl(rw\frac{1}{\mu}\frac{\partial A_\theta}{\partial z}\bigr)n_z\bigr]dl
-\int_S\bigl[\frac{\partial(rw)}{\partial r}\frac{1}{\mu}\frac{1}{r}\frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r}
+\frac{\partial(rw)}{\partial z}\frac{1}{\mu}\frac{\partial A_\theta}{\partial z}\bigr]drdz \\
&=\oint rw[\boldsymbol{H}\times\boldsymbol{n}]_\theta dl
-\int_S\bigl[\bigl(\frac{1}{r}\frac{\partial(rw)}{\partial r}\bigr)\frac{1}{\mu}\bigl(\frac{1}{r}\frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r}\bigr)
+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{1}{\mu}\frac{\partial A_\theta}{\partial z}\bigr]rdrdz
\end{split} \notag
\end{equation}
これより(２．３－５）式は次のようになります。
\begin{equation}
\int_S\bigl[\bigl(\frac{1}{r}\frac{\partial(rw)}{\partial r}\bigr)\frac{1}{\mu}\bigl(\frac{1}{r}\frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r}\bigr)
+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{1}{\mu}\frac{\partial A_\theta}{\partial z}\bigr]rdrdz
=\int_SwJ_\theta rdrdz+\oint w[\boldsymbol{H}\times\boldsymbol{n}]_\theta rdl \tag*{$(2.3-6)$}
\end{equation}
要素内の $A_\theta$ 成分と関数 $w$ は節点値から次のように補間関数されます。
\begin{equation}
\begin{split}
&A_\theta(r,z)=\sum_\alpha N_\alpha(\xi_1,\xi_2)A_\theta^\alpha \\
&w(r,z)=\sum_\alpha N_\alpha(\xi_1,\xi_2)w^\alpha
\end{split} \tag*{$(2.3-7)$}
\end{equation}
ここでは円筒座標と同じ文字になるのを避けるために標準座標を $(\xi_1,\xi_2)$ のように表しています。
この補間を使うと(２．３－６)式の左辺の $r$ での微分項は次のように変形できます。
\begin{equation}
\begin{split}
&\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rw)=\frac{\partial w}{\partial r}+\frac{w}{r}
=\sum_\alpha\bigl(\frac{\partial N_\alpha}{\partial r}+\frac{N_\alpha}{r})w^\alpha \\
&\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_\theta)=\frac{\partial A_\theta}{\partial r}+\frac{A_\theta}{r}
=\sum_\alpha\bigl(\frac{\partial N_\alpha}{\partial r}+\frac{N_\alpha}{r})A_\theta^\alpha
\end{split} \notag
\end{equation}
これらの補間関数を使うと要素行列と要素ベクトルは次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
&K_{\alpha\beta}^{(n)}=\int_{S_n}\bigl[\bigl(\frac{\partial N_\alpha}{\partial r}+\frac{N_\alpha}{r}\bigr)\frac{1}{\mu}
\bigl(\frac{\partial N_\beta}{\partial r}+\frac{N_\beta}{r}\bigr)
+\frac{\partial N_\alpha}{\partial z}\frac{1}{\mu}\frac{\partial N_\beta}{\partial z}\bigr)\bigr]rdrdz \\
&F_\alpha^{(n)}=\int_{S_n}N_\alpha J_\theta rdrdz+\int_{l_n}N_\alpha[\boldsymbol{H}\times\boldsymbol{n}]_\theta rdl
\end{split} \tag*{$(2.3-8)$}
\end{equation}
ただし要素ベクトルの右辺第２項は自然境界がこの要素に含まれる場合のものです。
ここではベクトルポテンシャルの $\theta$ 成分 $A_\theta$ を節点値として考えたのですが、$rA_\theta$ を節点値として扱う方法もあります。
どちらを使っても精度的には特に優劣がつかないようなのでここでは節点値を $A_\theta$ としました。