前回までに物質中の一般的な電磁場の基礎方程式、すなわちマックスウェルの方程式が得られました。今回はこの方程式を使って第２章で述べた電荷や電流が電磁場から受ける力を、誘電体や磁性体などの物質が含まれる場合にも拡張することを考えます。
電荷 $q$ 及び電流 $\boldsymbol{i}$ の受ける力は、第２章でも述べたように次のローレンツ力で計算できます。
\begin{equation}
\boldsymbol{f}=q\boldsymbol{E}+\boldsymbol{i}\times\boldsymbol{B} \tag*{$(7-1)$}
\end{equation}
これより、単位体積当たりの電荷密度を $\rho$、単位面積を通過する電流密度を $\boldsymbol{J}$ とすれば領域 $V$ 内の電荷と電流に働く力の合計は次の式で計算できます。
\begin{equation}
\boldsymbol{F}=\int_V\bigl(\rho\boldsymbol{E}+\boldsymbol{J}\times\boldsymbol{B}\bigr)dV \tag*{$(7-2)$}
\end{equation}
この式は電荷や電流に働く力ですから、これを使って誘電体や磁性体に働く力を計算することはできません。それでは、このような力を求めるにはどのようにすればよいのでしょうか。第５章で述べたように、電場の中で誘電体内部には次のような分極電荷、
\begin{equation}
\rho_p=-\mathrm{div}\boldsymbol{P} \tag*{$(7-3)$}
\end{equation}
が発生します。この電荷にも電場による力が働くのでしょうか。誘電体を電場の中に置くと、全体としては電荷の総和はゼロのままですが電場の力によってこれらの電荷の位置が変化しますので、電荷が打ち消しあわない微小領域が生じ、その結果物質内部や表面に電荷が発生します。これは誘電体内部をミクロに見た時の分極電荷が発生するメカニズムですが、このことから分極電荷に関しても次のような力が働くことがわかります。
\begin{equation}
\boldsymbol{F}=\int_V\rho_p\boldsymbol{E}dV \tag*{$(7-4)$}
\end{equation}
また、第６章で誘電体が分極するときに次の分極電流が流れることを述べました。
\begin{equation}
\boldsymbol{J}_p=\frac{\partial\boldsymbol{P}}{\partial t} \tag*{$(7-5)$}
\end{equation}
この電流もミクロに見ると電荷の移動を伴った電流ですから、ローレンツ力、
\begin{equation}
\boldsymbol{F}=\int_V\boldsymbol{J}_p\times\boldsymbol{B}dV \tag*{$(7-6)$}
\end{equation}
の力を受けることがわかります。
次に磁性体について考えます。磁性体の場合は誘電体のようにミクロな電荷の存在は考えませんでした。ただし、次の磁化電流によって磁性体の磁気特性が決まることを述べました。
\begin{equation}
\boldsymbol{J}_M=\mathrm{rot}\boldsymbol{M} \tag*{$(7-7)$}
\end{equation}
この磁化電流も通常の電流とまったく同じように磁場を作りますから、電荷や電流に力を及ぼします。したがって、磁化電流も電荷や電流から反作用として力を受けることがわかります。これは磁化電流が電磁場によって力を受けているといいなおすことができます。この力は作用反作用の法則から通常の電流が電磁場から受ける力とまったく同じように表されなければならないことになります。すなわち磁化電流の受ける力は、
\begin{equation}
\boldsymbol{F}=\int_V\boldsymbol{J}_M\times\boldsymbol{B}dV \tag*{$(7-8)$}
\end{equation}
となります。
これより誘電体や磁性体が電磁場から受ける力は、分極電荷や分極電流、そして磁化電流を通常の電荷や電流と同様に考えて計算できることになります。したがって、誘電体や磁性体も含めた場合の電磁力は（７－２）式の中の電荷 $\rho$ を $\rho+\rho_p$ に、電流密度 $\boldsymbol{J}$ を $\boldsymbol{J}+\boldsymbol{J}_p+\boldsymbol{J}_M$ とかきなおした次の式で表現することができます。
\begin{equation}
\begin{split}
\boldsymbol{F}&=\int_V\bigl[(\rho+\rho_p)\boldsymbol{E}+(\boldsymbol{J}+\boldsymbol{J}_p+\boldsymbol{J}_M)\times\boldsymbol{B}\bigr]dV \\
&=\int_V\bigl[(\rho-\mathrm{div}\boldsymbol{P})\boldsymbol{E}+(\boldsymbol{J}+\mathrm{rot}\boldsymbol{M}
+\frac{\partial\boldsymbol{P}}{\partial t})\times\boldsymbol{B}\bigr]dV
\end{split} \tag*{$(7-9)$}
\end{equation}
ところで、物質中のマックスウェルの方程式、
\begin{equation}
\begin{split}
&\mathrm{div}(\epsilon_0\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P})=\rho \\
&\mathrm{rot}\bigl(\frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{B}-\boldsymbol{M}\bigr)=\boldsymbol{J}+\frac{\partial}{\partial t}\epsilon_0\boldsymbol{E}
+\frac{\partial\boldsymbol{P}}{\partial t}
\end{split} \notag
\end{equation}
より得られる関係式、
\begin{equation}
\begin{split}
&\rho-\mathrm{div}\boldsymbol{P}=\mathrm{div}\epsilon_0\boldsymbol{E} \\
&\boldsymbol{J}+\mathrm{rot}\boldsymbol{M}+\frac{\partial\boldsymbol{P}}{\partial t}
=\mathrm{rot}\frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{B}-\frac{\partial}{\partial t}\epsilon_0\boldsymbol{E}
\end{split} \notag
\end{equation}
を使うと（７－９）式は次のように変形されます。
\begin{equation}
\begin{split}
\boldsymbol{F}=&\int_V\bigl[\mathrm{div}\epsilon_0\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{E}+\bigl(\mathrm{rot}\frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{B}
-\frac{\partial}{\partial t}\epsilon_0\boldsymbol{E}\bigr)\times\boldsymbol{B}\bigr]dV \\
=&-\int_V\frac{\partial}{\partial t}[\epsilon_0\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}]dV
+\int_V[\epsilon_0\boldsymbol{E}\times\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}]dV \\
&+\int_V\bigl(\mathrm{div}\epsilon_0\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{E}+[\mathrm{rot}\frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{B}]\bigr)dV
\end{split} \notag
\end{equation}
マックスウェルの方程式、
\begin{equation}
\mathrm{rot}\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} \notag
\end{equation}
を使うと上の式は、
\begin{equation}
\begin{split}
\boldsymbol{F}=&-\int_V\frac{\partial}{\partial t}[\epsilon_0\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}]dV
-\int_V[\epsilon_0\boldsymbol{E}\times\mathrm{rot}\boldsymbol{E}]dV \\
&+\int_V\bigl(\mathrm{div}\epsilon_0\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{E}+[\mathrm{rot}\frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{B}]\bigr)dV
\end{split} \notag
\end{equation}
となります。この式をさらに変形すると次の成分式が得られます。
\begin{equation}
\begin{split}
F_i=&-\frac{\partial}{\partial t}\int_V[\epsilon_0\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}]_idV \\
&+\int_V\frac{\partial}{\partial x_j}\bigl(\epsilon_0E_iE_j-\frac{\epsilon_0}{2}E^2\delta_{ij}+\frac{1}{\mu_0}B_iB_j
-\frac{1}{2\mu_0}B^2\delta_{ij}\bigr)dV
\end{split} \tag*{$(7-10)$}
\end{equation}
ここに、$\delta_{ij}$ はクロネッカのデルタであり、
\begin{equation}
\begin{split}
&\delta_{ij}=1 \hspace{5mm} (i=j) \\
&\delta_{ij}=0 \hspace{5mm} (i\ne j)
\end{split} \notag
\end{equation}
が成り立ちます。また同じ添字が同じ項に２回現れた場合はその添字について１から３までの和をとると約束します。この約束は、アインシュタインの規約とよばれ、例えば次のようになります。
\begin{equation}
A_iB_i\equiv\sum_{i=1}^3A_iB_i \notag
\end{equation}
ここで次のテンソルを定義します。
\begin{equation}
T_{ij}=\epsilon_0E_iE_j-\frac{\epsilon_0}{2}E^2\delta_{ij}+\frac{1}{\mu_0}B_iB_j-\frac{1}{2\mu_0}B^2\delta_{ij} \tag*{$(7-11)$}
\end{equation}
これより（７－１０）式は、
\begin{equation}
F_i=-\frac{\partial}{\partial t}\int_V[\epsilon_0\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}]_idV+\int_V\frac{\partial T_{ij}}{\partial x_j}dV \tag*{$(7-12)$}
\end{equation}
となります。この式はガウスの発散定理を使って次のようにもかけます。
\begin{equation}
F_i=-\frac{\partial}{\partial t}\int_V[\epsilon_0\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}]_idV+\int_ST_{ij}n_jdS \tag*{$(7-13)$}
\end{equation}
ただし、$S$ は領域 $V$ の境界面であり、$\boldsymbol{n}$ は領域 $V$ から外向きにとった $S$ の単位法線ベクトルです。
これで誘電体や磁性体も含めた電磁力の計算方法が得られました。ここで定義されたテンソル $T_{ij}$ は、マックスウェルの応力テンソルとよばれています。応力テンソルとよばれる理由は、（７－１２）式の右辺第２項が応力が物体に与える力と同じ形をしているからです。それでは（７－１２）式や（７－１３）式の右辺第１項はどのような力に対応しているのでしょうか。この力は、
\begin{equation}
\boldsymbol{p}=[\epsilon_0\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}] \tag*{$(7-14)$}
\end{equation}
を電磁場の単位体積当たりの運動量と解釈すれば、電磁場の運動量が誘電体や磁性体の影響によって時間的に変化することによりこれらの物質が受ける反作用と考えることができます。低周波ではこの力は通常無視することができます。
そこで、これらの式の第２項のマックスウェルの応力による力についてもう少し調べることにします。（７－１３）式で電磁場の運動量変化に起因する第１項を無視すれば（７－１１）式より、
\begin{equation}
\begin{split}
F_i&=\int_ST_{ij}n_jdS \\
&=\int_S\bigl(\epsilon_0E_iE_j-\frac{\epsilon_0}{2}E^2\delta_{ij}+\frac{1}{\mu_0}B_iB_j-\frac{1}{2\mu_0}B^2\delta_{ij}\bigr)n_jdS \\
&=\int_S\bigl(\epsilon_0E_i(\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{n})-\frac{\epsilon_0}{2}E^2n_i+\frac{1}{\mu_0}B_i(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{n})-\frac{1}{2\mu_0}B^2n_i\bigr)dS
\end{split} \notag
\end{equation}
となります。ここで局所座標の成分でこの力を表すことを考えるために、境界面内の単位ベクトルを、$\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$ とし、
\begin{equation}
\boldsymbol{e}_3\equiv\boldsymbol{n}=[\boldsymbol{e}_1\times\boldsymbol{e}_2] \tag*{$(7-15)$}
\end{equation}
とかけば、この力は次のようにかけます。
\begin{equation}
\begin{split}
&F_1=\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{e}_1=\int_S\bigl(\epsilon_0(\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{e}_1)(\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{e}_3)+\frac{1}{\mu_0}(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{e}_1)(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{e}_3)\bigr)dS \\
&F_2=\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{e}_2=\int_S\bigl(\epsilon_0(\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{e}_2)(\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{e}_3)+\frac{1}{\mu_0}(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{e}_2)(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{e}_3)\bigr)dS \\
&F_3=\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{e}_3=\int_S\bigl(\epsilon_0(\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{e}_3)^2-\frac{\epsilon_0}{2}E^2+\frac{1}{\mu_0}(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{e}_3)^2-\frac{1}{2\mu_0}B^2\bigr)dS
\end{split} \tag*{$(7-16)$}
\end{equation}
この力をもう少し直感的にとらえられるようにここで次のような特別な場合について考えます。まず、電場及び磁場が法線方向を向いている場合は、
\begin{equation}
\begin{split}
&F_1=F_2=0 \\
&F_3=\int_S\bigl(\frac{\epsilon_0}{2}E^2+\frac{1}{2\mu_0}B^2\bigr)dS
\end{split} \notag
\end{equation}
となります。また電場及び磁場が法線方向と垂直な方向にある場合は次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
&F_1=F_2=0 \\
&F_3=-\int_S\bigl(\frac{\epsilon_0}{2}E^2+\frac{1}{2\mu_0}B^2\bigr)dS
\end{split} \notag
\end{equation}
これより面に垂直な電磁場は面を吸引する方向に、また面に平行な電磁場は面を反発するような力を与えることが分かります。
今回は物質に対して電磁場がどのような力を与えるかについてみてきましたが、次回は電磁場の運動量やエネルギーがどのように保存されるかを調べます。