2. ベクトルとテンソル

　曲線座標におけるベクトルの反変成分及び共変成分は、デカルト座標における成分と（１－４）式と（１－９）式を使うと次の関係にある。
\begin{equation}
V^i=\sum_jv^j(\boldsymbol{e}_j)^i=\sum_j\frac{\partial X^i}{\partial x^j}v^j \tag*{$(2-1)$}
\end{equation}
\begin{equation}
V_i=\sum_jv_j(\boldsymbol{e}^j)_i=\sum_j\frac{\partial x^j}{\partial X^i}v_j \tag*{$(2-2)$}
\end{equation}
これらの式は両座標系におけるベクトルの成分の関係を表している。
　ここで新たな曲線座標系を考え、今までの座標系で $x$ と表されていた座標の成分が $x^\prime$ と表されるものとする。この座標系におけるベクトル $\boldsymbol{V}$ の反変成分と共変成分はデカルト座標における成分の関係（２－１）（２－２）式と同じく、
\begin{equation}
V^i=\frac{\partial X^i}{\partial {x^\prime}^j}{v^\prime}^j \tag*{$(2-3)$}
\end{equation}
\begin{equation}
V_i=\frac{\partial {x^\prime}^j}{\partial X^i}{v^\prime}_j \tag*{$(2-4)$}
\end{equation}
の関係がある。ただし、これらの式では一つの項に同じ添字が２回現れた場合、その添字について $1$ から $n$ までの和をとるアインシュタインの規約を使った。今後この規約を使うことにする。
　（２－１）式と（２－３）式より次の式が得られる。
\begin{equation}
\frac{\partial X^k}{\partial {x^\prime}^l}{v^\prime}^l=\frac{\partial X^k}{\partial x^j}v^j \notag
\end{equation}
この両辺に $\frac{\partial{x^\prime}^i}{\partial X^k}$ をかけて $k$ について和をとれば、左辺は次のようになる。
\begin{equation}
\frac{\partial{x^\prime}^i}{\partial X^k}\frac{\partial X^k}{\partial {x^\prime}^l}{v^\prime}^l=\delta_l^i{v^\prime}^l={v^\prime}^i \notag
\end{equation}
また右辺は、
\begin{equation}
\frac{\partial{x^\prime}^i}{\partial X^k}\frac{\partial X^k}{\partial x^j}v^j=\frac{\partial{x^\prime}^i}{\partial x^j}v^j \notag
\end{equation}
となるから、これらの曲線座標系におけるベクトルの反変成分の関係は次のようになる。
\begin{equation}
{v^\prime}^i=\frac{\partial{x^\prime}^i}{\partial x^j}v^j \tag*{$(2-5)$}
\end{equation}
同様に共変成分については、（２－２）式と（２－４）式より次の関係が得られる。
\begin{equation}
{v^\prime}_i=\frac{\partial x^j}{\partial{x^\prime}^i}v_j \tag*{$(2-6)$}
\end{equation}
これらの式ははデカルト座標と曲線座標の、ベクトルの成分どうしの関係（２－１）（２－２）式の一般化と考えることもできる。
　これはまた次のように考えることもできる。いま一つの添字で表される数の組で表現されている量があり、これらの数の組が座標変換で（２－５）（２－６）式のように変換する場合、この量はベクトルである。これを拡張して、二つの添字を持つ数の組が次のように変換する場合２階のテンソルと定義する。
\begin{equation}
{t^\prime}^{ij}=\frac{\partial{x^\prime}^i}{\partial x^l}\frac{\partial{x^\prime}^j}{\partial x^m}t^{lm} \tag*{$(2-7)$}
\end{equation}
\begin{equation}
{t^\prime}_{ij}=\frac{\partial x^l}{\partial{x^\prime}^i}\frac{\partial x^m}{\partial{x^\prime}^j}t_{lm} \tag*{$(2-8)$}
\end{equation}
これらはこのテンソルの２階の反変成分と２回の共変成分である。同様に高階のテンソルを定義することができる。たとえば、
\begin{equation}
{{t^\prime}_{ij\cdots k}}^{lm}=\frac{\partial x^o}{\partial{x^\prime}^i}\frac{\partial x^p}{\partial{x^\prime}^j}\cdots
\frac{\partial x^q}{\partial{x^\prime}^k}\frac{\partial{x^\prime}^l}{\partial x^r}\frac{\partial{x^\prime}^m}{\partial x^s}{t_{op\cdots q}}^{rs} \notag
\end{equation}
などである。
　テンソルの成分がこの例のように反変成分と共変成分の両方を持っている場合、これらの添字に関して和をとることによって階数が２だけ低いテンソルを作ることができる。上の例では左辺の添字 $m$ を $i$ として $i$ について和をとると次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
{{t^\prime}_{ij\cdots k}}^{li}&=\frac{\partial x^o}{\partial{x^\prime}^i}\frac{\partial x^p}{\partial{x^\prime}^j}\cdots
\frac{\partial x^q}{\partial{x^\prime}^k}\frac{\partial{x^\prime}^l}{\partial x^r}\frac{\partial{x^\prime}^i}{\partial x^s}{t_{op\cdots q}}^{rs} \\
&=\delta_s^o\frac{\partial x^p}{\partial{x^\prime}^j}\cdots\frac{\partial x^q}{\partial{x^\prime}^k}\frac{\partial{x^\prime}^l}{\partial x^r}
{t_{op\cdots q}}^{rs} \\
&=\frac{\partial x^p}{\partial{x^\prime}^j}\cdots\frac{\partial x^q}{\partial{x^\prime}^k}\frac{\partial{x^\prime}^l}{\partial x^r}{t_{op\cdots q}}^{ro}
\end{split} \notag
\end{equation}
この変換性よりテンソルの階数が２だけ小さくなったことがわかる。このような操作をテンソルの縮約という。
　ここで、無限小離れた点を結ぶベクトルを $d\boldsymbol{x}$ とし、このベクトルの長さを $ds$ とする。このとき $ds$ はこのベクトルのデカルト座標における成分と曲線座標における成分を使って次のように表すことができる。
\begin{equation}
ds^2=dX_kdX^k=\frac{\partial X_k}{\partial x^i}\frac{\partial X^k}{\partial x^j}dx^idx^j \tag*{$(2-9)$}
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
g_{ij}=\frac{\partial X_k}{\partial x^i}\frac{\partial X^k}{\partial x^j} \tag*{$(2-10)$}
\end{equation}
と定義すると（２－９）式は次のようにかける。
\begin{equation}
ds^2=g_{ij}dx^idx^j \tag*{$(2-11)$}
\end{equation}
この $g_{ij}$ は次に示すように２階のテンソルの共変成分であり、添字 $ij$ について対称である。このテンソルのことを計量テンソルという。これがテンソルの共変成分であるためには（２－８）式の関係をみたす必要がある。そのためにこの式の右辺にこのテンソルを適用して（２－１０）式を代入して変形すると次のようになる。
\begin{equation}
\frac{\partial x^l}{\partial{x^\prime}^i}\frac{\partial x^m}{\partial{x^\prime}^j}g_{lm}
=\frac{\partial x^l}{\partial{x^\prime}^i}\frac{\partial x^m}{\partial{x^\prime}^j}\frac{\partial X_k}{\partial x^l}\frac{\partial X^k}{\partial x^m}
=\frac{\partial X_k}{\partial{x^\prime}^i}\frac{\partial X^k}{\partial{x^\prime}^j}={g^\prime}_{ij} \notag
\end{equation}
となり（２－８）式をみたしていることが分かる。ここで（１－２）式を使うと、
\begin{equation}
g_{ij}=\frac{\partial X_k}{\partial x^i}\frac{\partial X^k}{\partial x^j}=(\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{e}_j) \notag
\end{equation}
とかけるので、この計量テンソルを使うと（１－７）式より次のようにベクトルの反変成分を共変成分に変換することができる。
\begin{equation}
v_i=g_{ij}v^j \tag*{$(2-12)$}
\end{equation}
ここで次の２階のテンソルを定義する。
\begin{equation}
h^{ij}=\frac{\partial x^i}{\partial X_k}\frac{\partial x^j}{\partial X^k} \tag*{$(2-13)$}
\end{equation}
これより、
\begin{equation}
h^{ik}g_{kj}=\frac{\partial x^i}{\partial X_l}\frac{\partial x^k}{\partial X^l}\frac{\partial X_m}{\partial x^k}\frac{\partial X^m}{\partial x^j}
=\delta^i_j \notag
\end{equation}
となるので、（２－１２）式より、
\begin{equation}
h^{ij}v_j=h^{ij}g_{jk}v^k=v^i \notag
\end{equation}
となり、このテンソルはベクトルの共変成分を反変成分に変換することがわかる。これを使うと（２－１１）式より次のようになる。
\begin{equation}
ds^2=g_{ij}dx^idx^j=dx^jdx_j=h^{ij}dx_idx_j \notag
\end{equation}
これより $h^{ij}$ は計量テンソルの反変成分と考えることができる。ちなみに共変成分を（２－１２）式によって計算すると、
\begin{equation}
h_{ij}=g_{il}g_{jm}h^{lm}=g_{il}\delta_j^l=g_{ij} \notag
\end{equation}
となる。したがって、計量テンソルはベクトルやテンソルの反変成分と共変成分との関係を与えることがわかる。今後 $h^{ij}$ を $g^{ij}$ とかく。