4-3. 具体的な曲線座標系（球面座標系）

　半径 $R$ の球の表面である２次元空間を考える。球面上の座標 $(\theta,\varphi)$ は球の中心に原点を持つデカルト座標と次の関係がある。
\begin{equation}
\begin{split}
&X^1=R\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\varphi \\
&X^2=R\mathrm{sin}\theta\mathrm{sin}\varphi \\
&X^3=R\mathrm{cos}\theta
\end{split} \tag*{$(4-31)$}
\end{equation}
この式を微分すると次の関係が得られる。
\begin{equation}
\begin{split}
&dX^1=R\mathrm{cos}\theta\mathrm{cos}\varphi d\theta-R\mathrm{sin}\theta\mathrm{sin}\varphi d\varphi \\
&dX^2=R\mathrm{cos}\theta\mathrm{sin}\varphi d\theta+R\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\varphi d\varphi \\
&dX^3=-R\mathrm{sin}\theta d\theta
\end{split} \tag*{$(4-32)$}
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
\begin{split}
&x^1=\theta \\
&x^2=\varphi
\end{split} \tag*{$(4-33)$}
\end{equation}
とおく。これより、
\begin{equation}
ds^2=R^2d\theta^2+R^2\mathrm{sin}^2\theta d\varphi^2 \notag
\end{equation}
となるので計量テンソルは次のようになる。
\begin{equation}
\bigl[g_{ij}\bigr]=
\begin{bmatrix}
R^2 & 0 \\
0 & R^2\mathrm{sin}^2\theta
\end{bmatrix}
\hspace{10mm}
\bigl[g^{ij}\bigr]=
\begin{bmatrix}
R^{-2} & 0 \\
0 & R^{-2}\mathrm{sin}^{-2}\theta
\end{bmatrix} \tag*{$(4-34)$}
\end{equation}
$\boldsymbol{v}$ の物理成分を $(V_\theta,V_\varphi)$ とおけば、
\begin{equation}
\begin{split}
&v_1=R^2v^1=RV_\theta \\
&v_2=R^2\mathrm{sin}^2v^2=R\mathrm{sin}\theta V_\varphi
\end{split} \tag*{$(4-35)$}
\end{equation}
の関係がある。これより（３－５）式を計算するとゼロでない成分は次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
&\Gamma^1_{22}=-\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\theta \\
&\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=\frac{\mathrm{cos}\theta}{\mathrm{sin}\theta}
\end{split} \tag*{$(4-36)$}
\end{equation}
これから共変微分を計算すると次のようになる。スカラー場に関して、
\begin{equation}
\begin{split}
&D_1\phi=\frac{\partial\phi}{\partial x^1}=\frac{\partial\phi}{\partial\theta} \\
&D_2\phi=\frac{\partial\phi}{\partial x^2}=\frac{\partial\phi}{\partial\varphi} \\
\end{split} \tag*{$(4-37)$}
\end{equation}
ベクトル場に関して、
\begin{equation}
\begin{split}
&D_1v^1=\frac{\partial v^1}{\partial x^1}=\frac{1}{R}\frac{\partial V_\theta}{\partial\theta} \hspace{44mm}
D_1v_1=\frac{\partial v_1}{\partial x^1}=R\frac{\partial V_\theta}{\partial\theta} \\
&D_2v^1=\frac{\partial v^1}{\partial x^2}+\Gamma^1_{22}v^2=\frac{1}{R}\frac{\partial V_\theta}{\partial\varphi}-\frac{\mathrm{cos}\theta}{R}V_\varphi \hspace{15mm}
D_2v_1=\frac{\partial v_1}{\partial x^2}-\Gamma^2_{12}v_2=R\frac{\partial V_\theta}{\partial\varphi}-R\mathrm{cos}\theta V_\varphi \\
&D_1v^2=\frac{\partial v^2}{\partial x^1}+\Gamma^2_{12}v^2=\frac{1}{R\mathrm{sin}\theta}\bigl(\frac{\partial V_\varphi}{\partial\theta}
+\frac{\mathrm{cos}\theta}{\mathrm{sin}\theta}V_\varphi\bigr) \hspace{6mm}
D_1v_2=\frac{\partial v_2}{\partial x^1}-\Gamma^2_{12}v_2=R\mathrm{sin}\theta\bigl(\frac{\partial V_\varphi}{\partial\theta}
-\frac{\mathrm{cos}\theta}{\mathrm{sin}\theta}V_\varphi\bigr) \\
&D_2v^2=\frac{\partial v^2}{\partial x^2}+\Gamma^2_{21}v^1=\frac{1}{R\mathrm{sin}\theta}\bigl(\mathrm{cos}\theta V_\theta
+\frac{\partial V_\varphi}{\partial\varphi}\bigr) \hspace{7mm}
D_2v_2=\frac{\partial v_2}{\partial x^2}-\Gamma^1_{22}v_1=R\mathrm{sin}\theta\bigl(\mathrm{cos}\theta V_\theta+\frac{\partial V_\varphi}{\partial\varphi}\bigr)
\end{split} \notag
\end{equation}
である。これより次の関係が得られる。ベクトルの発散は、
\begin{equation}
\begin{split}
\mathrm{div}\boldsymbol{V}=D_iv^i&=\frac{1}{R}\frac{\partial V_\theta}{\partial\theta}
+\frac{1}{R\mathrm{sin}\theta}\bigl(\mathrm{cos}\theta V_\theta+\frac{\partial V_\varphi}{\partial\varphi}\bigr) \\
&=\frac{1}{R\mathrm{sin}\theta}\bigl(\frac{\partial}{\partial\theta}(\mathrm{sin}\theta V_\theta)+\frac{\partial V_\varphi}{\partial\varphi}\bigr)
\end{split} \tag*{$(4-38)$}
\end{equation}
スカラー場のラプラシアンは次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
D_i\bigl(g^{ij}D_j\phi\bigr)&=\frac{\partial}{\partial x^i}\Bigl(g^{ij}\frac{\partial\phi}{\partial x^j}\Bigr)
+\Gamma^i_{ik}g^{kj}\frac{\partial\phi}{\partial x^j} \\
&=\frac{1}{R^2\mathrm{sin}^2\theta}\Bigl(\mathrm{sin}\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(\mathrm{sin}\theta\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\bigr)
+\frac{\partial^2\phi}{\partial\varphi^2}\Bigr)
\end{split} \tag*{$(4-39)$}
\end{equation}