静磁場に関するアンペールの法則、
\begin{equation}
\mathrm{rot}\boldsymbol{H}=\boldsymbol{J} \tag*{$(6.1-1)$}
\end{equation}
は、
\begin{equation}
\boldsymbol{H}=\frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{B}-\boldsymbol{M} \notag
\end{equation}
なので電流と磁化が分かってれば解析的に解くことが出来ます。
実際上の式にこの式を代入して変形すれば次のようになります。
\begin{equation}
\mathrm{rot}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}=\mu_0(\boldsymbol{J}+\mathrm{rot}\boldsymbol{M}) \notag
\end{equation}
左辺は、
\begin{equation}
\mathrm{rot}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}=\mathrm{grad}\mathrm{div}\boldsymbol{A}-\Delta\boldsymbol{A} \notag
\end{equation}
となりますが、ここでクーロンゲージ、
\begin{equation}
\mathrm{div}\boldsymbol{A}=0 \tag*{$(6.1-2)$}
\end{equation}
をとればアンペールの法則は次のようにかけます。
\begin{equation}
\Delta\boldsymbol{A}=-\mu_0(\boldsymbol{J}+\mathrm{rot}\boldsymbol{M}) \tag*{$(6.1-3)$}
\end{equation}
無限遠でベクトルポテンシャルがゼロとなる境界条件の場合、この方程式の解は次のようになります。
\begin{equation}
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}_p)=\int_V\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\boldsymbol{J}+\mathrm{rot}\boldsymbol{M}}{|\boldsymbol{x}_p-\boldsymbol{x}|}dV \tag*{$(6.1-4)$}
\end{equation}
ここに積分は電流が存在する領域 $V$ についての体積積分です。
これより磁束密度は、
\begin{equation}
\begin{split}
\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x}_p)&=\mathrm{rot}_p\int_V\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\boldsymbol{J}+\mathrm{rot}\boldsymbol{M}}{|\boldsymbol{x}_p-\boldsymbol{x}|}dV \\
&=\int_V\frac{\mu_0}{4\pi}\mathrm{rot}_p\bigl(\frac{\boldsymbol{J}+\mathrm{rot}\boldsymbol{M}}{|\boldsymbol{x}_p-\boldsymbol{x}|}\bigr)dV \\
\end{split} \notag
\end{equation}
ここに $\mathrm{rot}_p$ は変数 $\boldsymbol{x}_p$ による回転で、積分変数 $\boldsymbol{x}$ とは独立なので積分の中に入れることができます。
ここに、
\begin{equation}
\begin{split}
\mathrm{rot}_p\frac{\boldsymbol{J}+\mathrm{rot}\boldsymbol{M}}{|\boldsymbol{x}_p-\boldsymbol{x}|}&=\boldsymbol{\nabla}_p\frac{1}{|\boldsymbol{x}_p-\boldsymbol{x}|}\times(\boldsymbol{J}+\mathrm{rot}\boldsymbol{M}) \\
&=-\boldsymbol{\nabla}\frac{1}{|\boldsymbol{x}_p-\boldsymbol{x}|}\times(\boldsymbol{J}+\mathrm{rot}\boldsymbol{M})
\end{split} \notag
\end{equation}
と変形できるので磁束密度は次のようになります。
\begin{equation}
\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x}_p)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\bigl[(\boldsymbol{J}+\mathrm{rot}\boldsymbol{M})\times\boldsymbol{\nabla}\frac{1}{|\boldsymbol{x}_p-\boldsymbol{x}|}\bigr]dV \tag*{$(6.1-5)$}
\end{equation}
このように電流と磁化が分かっていると、解析的に（６．１－５）式によってベクトルポテンシャルや磁束密度の空間分布を求めることができます。
しかしこれを具体的に計算するためにはもう少し変形する必要があります。これ以降は(６．１－５）式をどのようにして解析計算ができるようにするかを示すためのもので結構計算が続きます。ですからそれにこだわらなければ飛ばしていただいて結構です。
まず電流や磁化のある領域を、その中でこれらの値が一定であるとみなせるような小領域つまりブロックに分割します。
この場合は隣り合ったブロックどうしの境界で有限要素法のような節点の整合性などを考える必要はありません。
一つ一つのブロックが独立したものとして考えることが出来ます。
このようにして分割されたブロックが電流を持つ場合を考えます。この場合この電流が点 $\boldsymbol{x}_p$ に作る磁束密度は次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x}_p)&=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\bigl[\boldsymbol{J}\times\boldsymbol{\nabla}\frac{1}{|\boldsymbol{x}_p-\boldsymbol{x}|}\bigr]dV \\
&=\frac{\mu_0}{4\pi}\bigl[\boldsymbol{J}\times\int_V\boldsymbol{\nabla}\frac{1}{|\boldsymbol{x}_p-\boldsymbol{x}|}dV\bigr]
\end{split} \notag
\end{equation}
この積分はこのブロックの境界面 $S$ における面積分に変換できます。
\begin{equation}
\int_V\boldsymbol{\nabla}\frac{1}{|\boldsymbol{x}_p-\boldsymbol{x}|}dV=\int_S\frac{\boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{x}_p-\boldsymbol{x}|}dS \notag
\end{equation}
ただし、$\boldsymbol{n}$ は境界面 $S$ の外向きにとった単位法線ベクトルです。さらにこの境界面がいくつかの平面から構成されている場合はこの積分はこれらの面についての積分の和として表わすことが出来ます。
\begin{equation}
\sum_\alpha\boldsymbol{n}_\alpha\int_{S_\alpha}\frac{1}{R}dS \notag
\end{equation}
ただし $\alpha$ はこのブロックの境界面の面番号で、同じ面番号の面積分では法線ベクトル $\boldsymbol{n}_\alpha$ は一定となるので積分の外に出しています。
また、
\begin{equation}
R=|\boldsymbol{x}_p-\boldsymbol{x}| \tag*{$(6.1-6)$}
\end{equation}
としました。これより磁束密度は次のようにかけます。
\begin{equation}
\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x}_p)=\sum_\alpha\frac{\mu_0}{4\pi}[\boldsymbol{J}\times\boldsymbol{n}_\alpha]\int_{S_\alpha}\frac{1}{R}dS \tag*{$(6.1-7)$}
\end{equation}
平面上の積分、
\begin{equation}
I=\int_S\frac{1}{R}dS \tag*{$(6.1-8)$}
\end{equation}
は解析的な積分ができるので上の積分も解析的に積分ができます。
次に一定の磁化を持つブロックについて考えます。この場合磁束密度は(６．１－５)式より次のように表されます。
\begin{equation}
\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x}_p)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\bigl[\mathrm{rot}\boldsymbol{M}\times\boldsymbol{\nabla}\frac{1}{R}\bigr]dV \tag*{$(6.1-9)$}
\end{equation}
この積分の中はベクトル量なので成分でかいて次のように変形できます。
\begin{equation}
[\mathrm{rot}\boldsymbol{M}\times\boldsymbol{\nabla}\frac{1}{R}\bigr]_i
=\sum_{jk}e_{ijk}(\mathrm{rot}\boldsymbol{M})_j\frac{\partial}{\partial x_k}\bigl(\frac{1}{R}\bigr) \notag
\end{equation}
ここで $e_{ijk}$ はレビ・チビタの記号とよばれるもので、
\begin{equation}
\begin{split}
e_{ijk}&=+1 \hspace{15mm} (i,j,k が 1,2,3の偶置換の場合） \\
&=-1 \hspace{15mm} (i,j,k が 1,2,3の奇置換の場合） \\
&= \hspace{3mm}0 \hspace{15mm} (それ以外の場合)
\end{split} \tag*{$(6.1-10)$}
\end{equation}
です。左辺をさらにこの記号を使って変形すると次のようになります。
\begin{equation}
\sum_{jk}e_{ijk}\bigl(\sum_{lm}e_{jlm}\frac{\partial M_m}{\partial x_l}\bigr)\frac{\partial}{\partial x_k}\bigl(\frac{1}{R}\bigr)
=\sum_{k}\sum_{lm}(\sum_je_{jki}e_{jlm})\frac{\partial M_m}{\partial x_l}\frac{\partial}{\partial x_k}\bigl(\frac{1}{R}\bigr) \notag
\end{equation}
さらにレビ・チビタの縮約公式、
\begin{equation}
\sum_ie_{ijk}e_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl} \tag*{$(6.1-11)$}
\end{equation}
を使うと次のように変形できます。
\begin{equation}
\sum_{k}\sum_{lm}(\delta_{kl}\delta_{im}-\delta_{km}\delta_{il})\frac{\partial M_m}{\partial x_l}\frac{\partial}{\partial x_k}\bigl(\frac{1}{R}\bigr)
=\sum_k\bigl(\frac{\partial M_i}{\partial x_k}-\frac{\partial M_k}{\partial x_i}\bigr)\frac{\partial}{\partial x_k}\bigl(\frac{1}{R}\bigr) \notag
\end{equation}
もう少し変形を続けます。添字の記号を $k$ から $j$ にかきなおして、
\begin{equation}
\begin{split}
&\sum_j\frac{\partial M_i}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_j}\bigl(\frac{1}{R}\bigr)
-\sum_j\frac{\partial M_j}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_j}\bigl(\frac{1}{R}\bigr) \\
&=\sum_j\frac{\partial}{\partial x_j}\bigl\{M_i\frac{\partial}{\partial x_j}\bigl(\frac{1}{R}\bigr)
-\frac{\partial M_j}{\partial x_i}\frac{1}{R}\bigr\}-M_i\Delta\bigl(\frac{1}{R}\bigr)
+\sum_j\frac{\partial^2M_j}{\partial x_i\partial x_j}\frac{1}{R}
\end{split} \notag
\end{equation}
これを(６．１－９)式に代入するとこの式の右辺第１項は面積分に変換できます。積分領域はブロックの境界を含み積分領域の境界では磁化がゼロであることを考慮するとこの項はゼロとなります。したがって(６．１－９)式は次のようになります。
\begin{equation}
\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x}_p)=-\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\boldsymbol{M}\Delta\bigl(\frac{1}{R}\bigr)dV
+\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\boldsymbol{\nabla}\bigl(\mathrm{div}\boldsymbol{M}\bigr)\frac{1}{R}dV \notag
\end{equation}
ここでディラックのデルタ関数を使うと、
\begin{equation}
\Delta\frac{1}{4\pi|\boldsymbol{x}_p-\boldsymbol{x}|}=-\delta(\boldsymbol{x}_p-\boldsymbol{x}) \notag
\end{equation}
と表されることに注意すると上の式は次のようになります。
\begin{equation}
\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x}_p)=\mu_0\boldsymbol{M}(\boldsymbol{x}_p)+\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\boldsymbol{\nabla}\bigl(\mathrm{div}\boldsymbol{M}\bigr)\frac{1}{R}dV \notag
\end{equation}
この式の右辺第２項はもう一度部分積分をして表面で磁化がゼロであることを使うと次のように変形できます。
\begin{equation}
-\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\mathrm{div}\boldsymbol{M}\boldsymbol{\nabla}\bigl(\frac{1}{R}\bigr)dV
=-\boldsymbol{\nabla}_p\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V(-\mathrm{div}\boldsymbol{M})\frac{1}{R}dV \notag
\end{equation}
この式はちょうど $-\mathrm{div}\boldsymbol{M}$ が磁荷として磁場を作るという磁荷に関するクーロンの法則と同じ形をしています。
この式は磁化が一定であるとすれば次のようにも変形できます。
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\sum_jM_j\frac{\partial}{\partial x_j}\boldsymbol{\nabla}\bigl(\frac{1}{R}\bigr)dV
&=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\sum_j\frac{\partial}{\partial x_j}\bigl\{M_j\boldsymbol{\nabla}\bigl(\frac{1}{R}\bigr)\bigr\}dV \\
&=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_S(\boldsymbol{M}\cdot\boldsymbol{n})\boldsymbol{\nabla}\bigl(\frac{1}{R}\bigr)dS
\end{split} \notag
\end{equation}
これより磁束密度は次のようになります。
\begin{equation}
\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x}_p)=\mu_0\boldsymbol{M}(\boldsymbol{x}_p)+\frac{\mu_0}{4\pi}\int_S(\boldsymbol{M}\cdot\boldsymbol{n})\boldsymbol{\nabla}\bigl(\frac{1}{R}\bigr)dS \tag*{$(6.1-12)$}
\end{equation}
境界面がいくつかの平面から構成されているときはこの面積分はこれらの平面に関する積分の和として表されるので右辺第２項は次のようにかけます。
\begin{equation}
\sum_\alpha\frac{\mu_0}{4\pi}(\boldsymbol{M}\cdot\boldsymbol{n})\int_{S_\alpha}\boldsymbol{\nabla}\bigl(\frac{1}{R}\bigr)dS
=-\sum_\alpha\frac{\mu_0}{4\pi}(\boldsymbol{M}\cdot\boldsymbol{n})\boldsymbol{\nabla}_p\int_{S_\alpha}\frac{1}{R}dS \notag
\end{equation}
これより磁束密度は次のように表すことが出来ます。
\begin{equation}
\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x}_p)=\mu_0\boldsymbol{M}(\boldsymbol{x}_p)-\sum_\alpha\frac{\mu_0}{4\pi}(\boldsymbol{M}\cdot\boldsymbol{n}_\alpha)\boldsymbol{\nabla}_pI_\alpha \tag*{$(6.1-13)$}
\end{equation}
ここに、
\begin{equation}
I_\alpha=\int_{S_\alpha}\frac{1}{R}dS \tag*{$(6.1-14)$}
\end{equation}
ですが、この積分は解析的に行うことが出来ます。
これより磁場は次のように表現されます。
\begin{equation}
\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x}_p)=-\sum_\alpha\frac{1}{4\pi}(\boldsymbol{M}\cdot\boldsymbol{n}_\alpha)\boldsymbol{\nabla}_pI_\alpha \tag*{$(6.1-15)$}
\end{equation}