この記事のポイント（3行要約）

• ■ 誘導加熱の原理：
  交流磁場によって金属内部に発生する「渦電流」と、その抵抗による発熱（ジュール熱）を利用した非接触加熱の仕組みを解説。
• ■ 解析の重要点：
  高精度なシミュレーションには、表面に電流が集中する「表皮効果」を考慮した適切なメッシュ分割（最低2〜3層）が不可欠。
• ■ 高度な連成解析：
  温度変化による磁性変化を考慮した「強連成解析」により、歯車の焼き入れなど実務に即した複雑な熱挙動の予測が可能。

1. 誘導加熱の基本原理（電磁誘導）

誘導加熱は電磁現象を利用した加熱方式です。身近な例としては、省エネや安全性(火を使わない)の観点から、
IHクッキングヒーターが家庭で使われています。また、誘導炉のように、産業用にも広く利用されています。
技術情報　”解析あれこれ”　第1回目では誘導加熱を取り上げたいと思います。

下図のように、一様で、時間的に一定の磁場中に設置されたコイルを考えます。

図１．一様磁場中のコイル

特に何も起こらず、コイルに電流が流れることはありません。
(磁場を与えてから十分に時間が経っている場合)

次に、磁場を交流のように変動させますと、コイルに起電力$v$が生じます。

コイルを貫く磁束を$\Phi$としますと、起電力は
\begin{equation}
v = -\frac{d\Phi}{dt}
\end{equation}

となります。

コイルを貫く磁束が時間変化することによって、起電力が発生します。

磁場の時間的な変動によって、起電力が生じる現象をファラデーの法則といいます。

コイルは抵抗を持った導体なので、起電力により電圧がかかると、コイルに電流が流れます。

図２．時間に変動する磁場中のコイル

今度は磁場の発生源としてのコイルを考え、コイルの近くに金属板を配置します。

図３．金属板と励磁コイル

コイルには交流電源を接続し、時間的に変動する磁場を発生させます。
今度は金属板を貫く磁束が時間変化することによって、起電力が生じ、電流が流れます。
この電流を渦電流と呼びます。

電流が流れますと、抵抗を持つ金属板は発熱します。

金属板とコイルとは離れているのに、金属板を加熱することができます。このような方法で加熱することを誘導加熱といいます。

IH調理器や誘導炉などのように積極的に加熱したい場合もあれば、反対に、変圧器の鉄心のように、発熱させたくない場合もあります。

2. 表皮効果と表皮厚さの計算

誘導加熱の特徴として、金属板に流れる渦電流は表面に集中します。これを表皮効果と呼びます。

表面の渦電流が1/eに減少する表面からの距離を表皮厚さといいます。

表皮厚さ$\delta$は以下の式で計算することができます。
\begin{equation}
\delta = \frac{1}{\sqrt{\pi f \sigma \mu}}
\end{equation}
$f$：周波数、$\sigma$：電気伝導率、$\mu$：透磁率
（$\mu=\mu_r \times \mu_0$、$\mu_0$：真空の透磁率、$\mu_r$：比透磁率）

イメージとしては、下図のようになります。

図４．表皮効果

周波数：高
電気伝導率：大
比透磁率：大
に、なればなるほど表皮厚さは薄くなります。

磁界シミュレーションにおいて、急激に変化する表皮厚さを表現するには、少なくとも、厚さ方向に２~３分割のメッシュ分割が必要です。

3. 解析例：渦電流と発熱密度の分布

ここで、簡単ですが、解析例を示します。
金属板の直下にコイルを配置し、交流の電流を流します。解析では４分の１モデルとしました。

図５．解析例 モデル概要

次にコイル側から見た金属板の渦電流密度、発熱密度の結果を示します。

図６．解析結果 渦電流密度[A/m²] 絶対値

図７．解析結果 発熱密度[W/m³]

金属板表面に、渦電流や発熱密度が集中していることがわかります。

上記の例では、渦電流が流れる対象として、コイルに対向する金属板を考えましたが、磁場の発生源であるコイルにも渦電流が流れています。

ここでは簡単に交流電源に接続された円筒導体の渦電流を考えます。

図８．1次側導体の渦電流

円筒導体(直径10mm)に流れる渦電流密度のシミュレーション結果を以下に示します。渦電流が導体の表面に集中していることがわかります。

これも表皮効果と呼ばれています。電流が表面に集中して流れるので、電流密度が不均一となり、直流の場合と比較して、交流の場合は抵抗が大きくなることを意味しています。

図９．円筒導体の渦電流密度分布 絶対値

このように導体に電流を流すバスバーのシミュレーションも可能です。

上記では、誘導加熱によって生じる発熱が計算できることをご紹介致しました。
今度は、発熱密度を使いますと、温度の計算が可能になります。いわゆる連成解析です。
詳しい解析条件、結果は解析事例をご覧ください。(下記リンクより)

● 解析事例１：電縫管

図１０．誘導加熱解析　　詳細はこちら->

●解析事例２：鉄板

図１１．鉄板の誘導加熱解析　　 詳細はこちら->

4. 磁場と熱の連成解析（弱連成・強連成）

磁場-熱の連成解析の解析の流れは下図のようになります。最初の磁場解析で得られた発熱密度が常に与えられています。
一方向のみの解析を弱連成解析といいます。

図１２．弱連成の解析の流れ

キュリー点のように、磁気特性が温度に依存する場合があります。このような場合は、温度が変化すると、
磁気特性も変える必要があります。そのときは、磁場解析を再度実施する必要があります。
図１３に示す双方向の解析を強連成解析といいます。

図１３．強連成の解析の流れ

強連成解析(双方向)の解析事例として、歯車の焼き入れを示します。
指定の温度で比透磁率が小さくなる条件を使用しています。
そのため、発熱量も低下する結果となっています。
詳しい解析条件、結果は解析事例をご覧ください。(下記リンクより)

●解析事例３：歯車の焼き入れ

図１４．歯車の焼き入れ　強連成解析の事例
詳細はこちら->

コイルの中を導体が移動しながら、加熱されるような解析も可能です。

●解析事例４：円筒導体

図１５．円筒導体の誘導加熱解析の事例
解析結果はこちら->

磁界シミュレーションでは、
磁場分布
渦電流分布
発熱密度分布
発熱量
インダクタンス
など
を計算することができます。

磁場解析で計算された発熱密度を熱伝導解析の入力条件として使用すれば定常状態の温度分布や温度の上昇速度などが計算できます。

被加熱体の形状、物性値、コイルの径、電流値、巻き数やコイルと被加熱体の距離などを変更して、
コンピュータ上で様々な条件を予め試すことができます。是非ご活用いただければと思います。

5. 誘導加熱解析ソフト　PHOTO-EDDYjω & THERMO

●使用したソフトウェア
■PHOTO-EDDYjω & THERMO
PHOTO-Seriesは、誘導加熱解析で必須の、比透磁率の温度依存性、電気伝導率の温度依存性などの機能を標準搭載しています。さらに、ワークやコイルの移動が伴う解析に適しており、移動による加熱ムラや温度分布の変化を精密にシミュレーションすることが可能です。

周波数応答動磁場解析ソフトウェア PHOTO-EDDYjω
詳細はこちら->
熱伝導解析ソフトウェア：PHOTO−THERMO
詳細はこちら->
連成システム
詳細はこちら->

6. 磁場解析の基本方程式

最後に、簡単ですが、磁場解析の基本方程式に触れたいと思います。
変位電流が無視できる低周波の場合の磁場解析の基本方程式は磁場の強さ$\mathbf{H}$、入力の電流密度$\mathbf{J}_0$、電気伝導率$\sigma$、電場$\mathbf{E}$としますと、
\begin{equation}
\mathrm{rot} \, \mathbf{H} = \mathbf{J}_0 + \sigma \mathbf{E}
\end{equation}

です。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{B} &= \mu \mathbf{H} \\
\mathbf{B} &= \mathrm{rot} \, \mathbf{A} \\
\mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}
\end{aligned}
\end{equation}

上の３つの式を使用し、周波数応答解析で考えますと、
\begin{equation}
\mathrm{rot} \left( \frac{1}{\mu} \mathrm{rot} \, \mathbf{A} \right) = \mathbf{J}_0 – j \omega \sigma \mathbf{A}
\end{equation}

となります。(参考：光台通信 その１．周波数応答解析（複素解析）について-> )
未知数のベクトルポテンシャル$\mathbf{A}$が計算できれば、磁束密度$\mathbf{B}$や電場$\mathbf{E}$を求めることができます。

さらに、
\begin{equation}
W = \sigma |\mathbf{E}|^2
\end{equation}

から、発熱密度$W$を得ることができます。

7. 誘導加熱解析事例集 ＆ お問合せ

●誘導加熱解析事例集

誘導加熱解析の事例を集めた事例集をご用意致しました。

お申し込み ->

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磁場解析の全プロセス：全6回の重要ポイント解説

• ■ ステップ1：解析条件と材料の定義（第1回、第2回）
  
  磁場の源となる電流入力（電流密度・電圧等）の適切な選択と、解析精度を左右する非線形材料（B-Hカーブ）の正しい定義方法を学びます。
  
• ■ ステップ2：モデルの最適化と計算準備（第3回、第4回、第5回）
  
  計算精度に直結するメッシュ分割のコツ、対称性（1/2や1/4モデル）による効率化、そして空間を定義する境界条件（磁気壁・電気壁）の設定を網羅します。
  
• ■ ステップ3：解析実行と結果の妥当性評価（第6回）
  
  ソルバーを実行し、得られた磁束密度分布などの解析結果が物理的に妥当であるかを検証し、実務に活かすための評価プロセスを習得します。
  

本ページは、どんなソフトを使うとしても、これだけは押さえておきたい磁場解析の基本的な考え方をwebで解説する磁場解析入門講座です。
これだけは十分でありませんが、磁場解析へのはじめの一歩として、ご覧ください。
また、本講座はソフトウェアの使い方ではございませんのでご注意ください。
ソフトウェアの種類によっては自動化されていて、明示的でない可能性があります。
これから磁場解析を始める方も、始めたい方も、是非この機会にご覧になり、磁場解析導入のきっかけとしてもらえますとありがたいです。
本講座の構成は以下の通りです。途中の回からご覧になる場合は、下記の項目をクリックして、移動してください。
第１回 電流・磁石の入力-
第２回 材料特性-
第３回 メッシュ分割-
第４回 解析領域と対称性-
第５回 境界条件-
第６回 実行と結果-

第1回 電流・磁石の入力

磁場解析は言葉の通り、磁場、それに伴う物理量を計算します。手計算が可能であれば、良いのですが、一般的な問題では、なかなかそれも難しいところです。
そこで、磁場解析が役に立つことになります。

初めに、磁場を作るもの、磁場の発生源を考えます。

１． 電流
２． 磁石
３． 磁性体
４． 渦電流

が挙げられます。

では、一つ一つ見ていきたいと思います。

図１−１．電流が作る磁場

電流が流れると電流の周囲に磁場が作られます。

図１−２．磁石が作る磁場

磁石を空間中に置くと、N極からS極に向かう磁場を想像することができます。

図１−３．磁性体が作る磁場

磁性体も磁場を作ります。

図１−４．渦電流が作る磁場

導体に変動する磁場を与えると導体に電流が流れます。これを渦電流と呼び、電流と同じように磁場を作ります。

磁場解析では電流と磁石は入力条件として与え、磁性体と渦電流が作る磁場は結果的に求まります。全体としての空間の磁場は“電流”と“磁石”が作る磁場と結果として得られる“磁性体”と“渦電流”が作る磁場の重ね合わせた形で得られます。

磁場を発生させる“ソース”(入力条件)としては、
電流密度[A/m²]
電流値[A]
電圧値[V]
のいずれかを入力(荷重条件)します。

基本的に電流入力はコイルを流れる電流そのものを指定します。

コイルが素線で構成され、巻き数がある場合にはどうすれば良いのでしょうか？
このような場合、素線１本当たりの電流値[A]×巻き数[Turns]を総電流とし、この値を使用します。
このとき、素線１本ずつをモデル化(メッシュ作成)するのではなく、“塊”として、扱います。この“塊”に総電流[A/Turns]を設定することになります。

電流密度はベクトルで表現されるため、コイル内部の場所に応じて異なる値を入力する必要があり、形状が複雑になると入力が面倒になります。

電流入力の場合はコイルの断面に電流値を設定するだけなので、設定が簡単です。ソフトウェア上では見えませんが、プログラム内部で計算された電流密度※が使用されています。
※Maxwellの方程式が電流密度で記述されているためです。電流値そのものを使う手法もあります。

電圧入力は誘起電圧を考慮※し、結果的にコイルに流れる電流値が決まる場合に使用します。回路と連成させる場合もこれに該当します。
※電流入力においても、誘起電圧を考慮する手法はあります。

磁石は磁化ベクトルを成分で入力します。

磁性体が作る磁場は、物性値、形状に依存し、渦電流が作る磁場はそれらに加えて、変動する磁場の周波数に依存します。

●ポイント
コイル：電流値(もしくは電流密度)入力
電圧入力
磁石　：磁化ベクトルを入力

「第2回 材料特性」->

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今回は磁場解析で必要な物性値をご紹介します。“磁場”解析ですので、材料の磁気特性、また電気特性を考える必要があります。

まず磁気特性について分類します。

１．比透磁率
２．B-H曲線
３．ヒステリシス
４．異方性


これらすべてを入力する必要はありません。解析内容に応じて、選択する必要があります。

磁場が変動する場合は渦電流が流れるため、電気特性が必要になります。

５．電気伝導率
６．異方性


磁気・電気特性が温度に依存する場合もあります。

では、磁気特性から考えます。

まず、磁場の強さH[A/m]と磁束密度B[T]との関係式は

と表すことができます。ここで、μは透磁率です。

さらに、

と表すことができ、μ_rは比透磁率、μ₀は真空の透磁率です。

１．比透磁率

磁性体の周囲の磁場が小さければ、比透磁率を数値で入力して解析することができます。いわゆる線形解析になります。μrを入力します。
線形解析では、磁場を発生させる電流を大きくすると磁束密度も比例して大きくなります。大きな電流を流す場合、ありえない大きさの磁束密度になることもあり、そのような解析結果が得られた場合は条件を見直す必要があります。
また、等方性が前提となっています。

図２−１．線形と非線形解析

２．B-H曲線

大きな電流を流す場合には磁束密度が飽和するような条件、初期磁化曲線を入力しなくてはなりません。
このような解析を非線形解析と呼んでいます。初期磁化曲線をBとHの点列を使って、入力します。
本来、軟磁性体もヒステリシスを持ちますが、保磁力が小さいので、ここは近似して、初期磁化曲線で考えることにします。
この方法でも良い結果が得られます。こちらも、等方性が前提です。

図２−２．非線形特性(折れ線で表現)

B-H曲線をデータとして取り込むには図２−２のように、折れ線で表現し、
“節”に当たるところにおける磁束密度に対する磁場の強さの組みで表現した点列を用います。

非線形計算ではニュートンラフソン法が用いられることが多く、反復して計算するため線形解析に比べて、
計算時間が長くなります。

３．ヒステリシス

ヒステリシスは過去の状態によって、磁場が異なる現象です。
図２−１(a)のように、磁場の強さと磁束密度は1対で表現されているため、ある磁場の強さあれば、磁束密度が決まりますが、
図２−３のようにヒステリシスの場合は、一つの磁場の強さHにおいても、過去の状態によって、取りうる磁束密度Bが異なります。
ヒステリシスを磁場解析に適用する方法は種々考案されています。
(株)フォトンでは自由エネルギーを使用した手法を開発・搭載しています。
詳細はこちら->

図２−３．ヒステリシス曲線(例)

４．異方性

一般に透磁率はテンソルで表現されます。BとHが平行でない場合が表現できます。成分で書きますと以下のような表記になります。
この成分を入力します。

次は電気特性です。電流密度J[A/²]と電場[V/m]との関係式は

と表すことができます。ここで、σは電気伝導率です。

５．電気伝導率

磁場が時間的に変動する場合に、導体が解析対象に含まれると、渦電流が流れますので、電気特性として、電気伝導率を入力する必要があります。
単位は[S/m]です。静磁場解析では渦電流が流れませんので、使用しません。電流が変動しても、
絶縁体のように電気伝導率が小さい場合は無視することがあります。

６．異方性

電気伝導率も同様に、テンソルで表現されます。こちらもJとEが平行でない場合も表現できます。
この成分を入力します。

ここでは、基本的な項目についてご紹介致しました。
電気機器に使われる磁気材料を加工(切断など)したときに生じる加工ひずみや、焼嵌めがなされている場合には磁気特性が劣化します。
より厳密な解析を望まれる場合はこのようなことも加味しておく必要があります。

解析条件を決める際に、「磁性体かどうか」、「磁場が時間的に変動するかどうか」、「導体かどうか」、を前もって、把握してく必要があります。

●ポイント
磁気特性：比透磁率やB-H曲線を使う
電気特性：磁場が変動する場合は電気伝導率を使う

「第3回 メッシュ分割」->

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解析するためには、解析対象である実物をデータとしてコンピュータに取り込む必要があります。
有限要素解析では解析対象の寸法は座標をベースにして、小さい領域で分割します。
このように小さい領域で分割することをメッシュ分割といい、小さい領域をメッシュと呼んでいます。メッシュ分割をメッシュ切りと言ったりします。

メッシュ分割は磁場や渦電流の大きなところは細かく切る必要があり、精度を上げるためにはメッシュ分割が重要です。

また、構造解析とは異なり、磁場は解析対象の周囲の空気にも分布しますので、空気のメッシュも必要です。

特に、解析領域を分割したときの各ブロックをエレメントもしくは要素と呼びます。

図３−１．エレメント(要素)

エレメントの頂点をノードもしくは節点と呼んでいます。

図３−２．ノード(節点)

要素にはいくつか種類があります。代表的な5種類をご紹介いたします。

まず、2次元形状を分割するために使用される三角要素、四角要素があります。

図３−３．２次元要素

3次元形状では、四面体要素、五面体要素および六面体要素が挙げられます。

図３−４．３次元要素

例えば、下図のようなC型の電磁石を考えます。

図３−５．概要図

2次元解析と仮定し、四角要素で作成した要素分割図を以下に示します。

図３−６．メッシュ図

これで、寸法(座標)が考慮されたメッシュ作成ができました。
しかしながら、これだけでは、作成されたエレメントが磁性体なのか、それとも空気なのか判別ができません。
そこで、要素から材料特性を参照することにより、どの領域が、どの材料で作成されたかがわかります。
参照している材料によって、要素の色を変えて表示した図を以下に示します。
茶色の要素は磁性体の物性、緑色の要素はコイルを、残りの白色の要素は空気の物性を参照していることになります。

図３−７．メッシュ図

これで、要素は材料特性を参照することにより、どの材料で構成されているか判別ができます。

例えば、解析事例の磁気ヘッドのメッシュ図は下図のようになります。空気の要素が周囲にありますが、非表示としています。

図３−８．磁気ヘッドのメッシュ分割図

次に解析に適さない要素がありますので、いくつかご紹介致します。

特別な手法を使用しない限り、原則隣り合う要素は節点を共有しなくてはなりません。
下図のような２×２の要素を考えます。これは、隣り合う要素の節点が共有されており、正常な要素です。

図３−９．正常な要素(例)

下図は節点が共有されていない一例です。上側の２要素と下側の２要素がずれています。

図３−１０．不適切な要素(例)

下図は要素が重なっており、こちらも不適切な要素です。

図３−１１．不適切な要素(例)

また、要素の品質を調べる指標があります。一例として、下図のような要素の一辺が極端に短い偏平な要素を考えます。
要素の最短の辺の長さに対する最長の辺の比率をアスペクト比といいます。アスペクト比が大きい場合、収束性が悪化する傾向があります。

図３−１２．偏平な要素(例)

動磁場解析の場合、導体が存在すると、材料の表面の磁束密度や渦電流が急激に変化するため、分割数を増やす必要があります。

簡単な例で、数値実験を行います。

下図のように円筒磁性体の周囲にコイルを配置した電磁石を考えます。

図３−１３．概要図

このとき、表皮厚さは0.5[mm]程度です。
表皮厚さ0.5[mm]を1、2、3、4、5、20分割の6条件で解析し、渦電流密度[A/m²]と発熱量[W]を比較してみます。
表皮厚さより内側については6条件とも同じ分割幅です。解析モジュールはPHOTO-EDDYjωです。

下図は表皮厚さを2分割したときのメッシュ分割図です。軸対称形状のため、四角要素で作成しました。

図３−１４．メッシュ図の例(表皮厚さ２分割)

解析結果として、横軸を要素中心のx座標、縦軸を電流密度の絶対値としたグラフを示します。
図３−１４の赤線で囲まれた要素に着目しています。

図３−１５．分割数と電流密度

また各分割数における磁性体の発熱量は以下の通りの結果が得られました。

表３−１．分割数と発熱量

●ポイント
精度を上げるためにはメッシュ分割が重要
磁場や渦電流の変化が大きなところはメッシュを細かく切る
有限要素法による磁場解析では空気のメッシュが必要

「第4回 解析領域と対称性」->

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有限要素法による磁場解析は有限の領域でモデル化します。

“有限”のモデルの境界には境界条件が必要になります。

境界は今見たいところ(評価点)が、境界条件によって、影響を受けないところに設定しなくてはなりません。
あまり、狭すぎると結果に影響があり、広すぎるとモデル規模が大きくなり計算時間が長くなる傾向になります。

図４−１．磁場の広がりと有限要素法の解析領域

すべての解析対象について３次元解析を実施するのは得策とは言えません。
そこで、対称性を利用して、モデルを簡略化することを考え、効率的に解析を進めることが肝要です。

まず、考えたいのは、
２次元解析
軸対称解析
３次元解析
にするかどうかです。

計算時間は「３次元解析 ＞ ２次元、軸対称」の傾向になります。

３次元解析は文字通り、解析対象をそのまま3次元でモデル化します。

２次元解析は無限に長い物の断面を取り出して、モデル化します。

図４−２．２次元解析

とは言っても、実物は有限の長さなので、３次元的な影響がないか判断が必要です。
この判断ができれば、かなりの効率化が期待できます。
モーターの場合、長手方向(軸方向)はそれほど長くないですが、２次元解析でも、良い結果が得られます。

軸対称は円筒の解析領域の断面を取り出します。回転対称でなければなりません。

図４−３．軸対称解析

軸対称の磁場解析の場合、注意しなくてはならないのは、軸対称形状であっても、軸対称解析に適用できないケースがあります。
図４−４の(a)、(b)は共に形状が軸対称ですが、電流の向きが異なります。
図４−４(a)の電流の向きは軸方向、図４−４（b）の電流の向きは周方向です。軸対称解析で使用できる電流は周方向に限られます。
また、軸方向に流れる場合は３次元解析になります。

図４−４．軸対称解析に適さない場合

さらに、空間の対称性を利用すれば、さらに簡略化できます。

例として、四角い磁石と空気領域を考えます。ここでは、便宜的に２次元で考えます。

図４−５．概要図

対称性から４分の１モデルで十分となります。対称性を利用することで、新たな境界が出現しますが、適切な境界条件を設定すれば、問題ありません。

図４−６．４分の１モデル

上記の場合、解析規模は４分の１になり、その結果、計算時間も４分の１以下になります。

このように対称性を利用することで、かなりの効率化が期待できます。

●数値実験

この回の最初に有限要素法では有限の領域でモデル化を行うことを述べました。
コイルや磁性体などで構成された解析対象の周囲には空気領域を設けますが、空気領域の広さと解析結果がどの程度影響があるか数値実験によって、確認してみます。

解析の概要を下図に示します。形状は「第３回 メッシュ分割」の数値実験のモデルと同じですが、今回は静解析としました。

図４−７．数値実験用解析モデルの概要図

図４−８にメッシュ分割図を示します。境界位置が150mmの場合のものです。

図４−８．メッシュ図(モデル境界150mm)

図４−９は中心付近の拡大図です。

図４−９．メッシュ図の拡大図

計算点の要素中心は半径12mmとしています。

磁性体とコイルを囲むように計算点を配置しています。(5度おき)

図４−１０に境界位置が150mmのときの磁束密度のベクトルを示します。

図４−１０．磁束密度のベクトル図

同様にして、空気領域の広さを変更して、解析しました。計算点における磁束密度の径方向成分と空気領域の広さとの関係のグラフを図４−１１に示します。

図４−１１．空気領域の広さと磁束密度(径方向成分)

境界が60mm以降ではグラフが重なり、見づらいため、87.5度の要素(図４−１２)に着目したグラフを図４−１３に示します。

図４−１２．着目する要素

図４−１３．87.5度の計算要素に着目した境界位置と磁束密度

下表は図４−１３の数値データです。誤差は300mmを基準として、算出しています。

表４−１．数値データ

評価点の位置は12mmです。

このように空気領域が極端に狭いと影響を受けやすいことがわかります。
今回示しましたのは一例ですので、解析対象、評価点の位置や評価項目等によって、適切な空気領域が異なります。あまり狭くならないように注意が必要です。

●ポイント
対称性を利用すれば、効率良く解析ができる。
空気領域の広さが解析結果に影響を及ぼす。

「第5回 境界条件」->

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前回は有限領域で解析するために生じる外側の境界、また対称性を利用して解析領域を狭くしたときに生じる内部(断面)の境界をご紹介致しました。

これらの境界には境界条件を設定する必要があります。

境界条件はいくつか種類がありますが、磁場解析では代表的な2種類の境界条件をご紹介致します。

●対称境界条件

図５−１．対称境界条件

対称境界条件は境界(図５−１の点線)において、磁場が境界と“平行”になる境界条件です。

図５−１では例として磁石を考えていますが、N極が対向していますので、境界では境界と平行な磁場になります。

●反対称境界条件

図５−２．反対称境界条件

反対称境界条件は境界(図５−２の点線)において、磁場が境界と“垂直”になる境界条件です。

今度は磁石のS極とN極が対向していますので、境界における磁場は境界と垂直になっています。

前回、対称性を利用したモデルの簡略化において、新たに出現した境界についてご紹介致しました。(図４−６)

図４−６．４分の１モデル(再掲)

この場合、解析領域は、図４−６の斜線の領域になります。この斜線部を改めて、図５−３に示します。

図５−３．解析領域

磁化ベクトルの向きから、境界の磁場の向きを予想できます。

図５−４．磁場の向きの予想

磁場が境界に対して、平行であれば、対称境界条件、垂直であれば、反対称境界条件の関係を用いて考えます。

図５−４より磁場の向きは境界@で平行、境界Aで垂直と予想できますので、境界@は対称境界条件、境界Aは反対称境界条件となります。

●数値実験

実際に境界条件に着目した数値実験を行い、確認したいと思います。簡単のため、図５−５に示すような２次元の電磁石を考えます。

図５−５は１分の１モデルです。

図５−５．解析概要図

図５−６に１分の１モデルの磁束密度ベクトル図を示します。

図５−６．磁束密度[T] １分の１モデル

次にYZ面に対して、２分の１モデルを考えます。境界@では磁場が平行になりますので、対称境界条件を設定します。

図５−７．２分の１モデル

図５−８．磁束密度[T] ２分の１モデル

境界@において、境界に平行な磁束密度が見られ、妥当な結果と考えられます。ここで、境界@に反対称境界条件を設定してみます。

図５−９．磁束密度[T] ２分の１モデル　反対称境界条件

境界@に対して垂直の磁束密度ベクトルが得られます。図５−５の電流の向きの場合、想定した磁場の向きとは異なり、不適切な境界条件となります。

正しい境界条件が設定されているかどうか、ベクトル図を表示させて確認することが重要となります。

最後に４分の１モデルについて、境界@に対称境界条件、境界Aに反対称境界条件を設定した解析結果をご紹介致します。

図５−１０．磁束密度[T] ４分の１モデル

今回、ご紹介致しました境界条件の設定法はそのまま３次元解析でも有効です。

●ポイント
境界に対して、磁場が平行のとき：対称境界条件
境界に対して、磁場が垂直のとき：反対称境界条件

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この段階まで来ますと後は計算を実行するのみとなります。

有限要素法では最終的に連立方程式に帰着され、その連立方程式を解くことにより、結果が得られます。

Kは係数マトリクス、xは解ベクトル、fは右辺ベクトルです。係数マトリクスKは、未知数の数をNとしますとN×Nの大規模な行列になります。

連立方程式を解く方法は大きく分けて、直接法と反復法があります。直接法は所定の回数で解くことができる方法です。
一方の反復法は言葉の通り反復計算により、近似解が得られる方法で、少ない反復回数で解が得られ、メモリも節約できます。
反復法で良く使われる手法として、ICCG法があります。

ICCG法はIncomplete Cholesky Conjugate Gradient methodの略です。
CG法(共役勾配法：Conjugate Gradient method)の前処理に不完全コレスキー分解(Incomplete Cholesky decomposition)を行う方法です。
前処理を施すことで、CG法の反復回数を減らして、早く解が得られます。
具体的なICCG法のアルゴリズムにご興味のある方は文献[1]などをご参照ください。

特に有限要素法の場合の係数マトリクスはゼロの要素が多くを占めています。このようなマトリクスを疎行列といいます。

実際に図６−１の有限要素法モデルで計算された係数マトリクスの非ゼロ要素分布を図６−２に示します。

図６−１．有限要素法モデル(図４−９を再掲)

図６−２．非ゼロ要素分布

赤点が非ゼロ要素で、白い領域がゼロ要素を示しています。赤点が占める割合が小さく疎行列になっていることが確認できます。

このように疎行列であることから、行列全体に占める非ゼロ要素が少ないため、非ゼロ要素のみをメモリに保持することで、メモリが節約できます。

ある解析モデルを実行した際に表示される解析進行状況を図６−３に示します。
赤い線が横軸を横切ったとき、デフォルトのトレランスを満たし、収束したとします。場合によっては、厳しくすることもあります。

図６−３．解析進行状況

計算が途中で終了していないか、発散していないか解析進行状況で確認しておく必要があります。
収束していない場合などはベンダサポートや経験者に相談し、対処する必要があります。

非線形過渡解析の場合、実行を開始しますと、以下のような計算過程を進みます。
大雑把になりますが、計算過程を図６−４に示します。荷重条件や境界条件などは省略しています。

図６−４．計算過程

ある時刻の計算時のニュートンラフソン法(非線形計算の手法)のループごとにICCG法が動きますので、過渡解析、非線形解析では、解析のボリュームは大きくなります。

この計算過程を知っていますと、解析進行状況が把握しやすくなります。

これらの過程を経て、計算が収束すれば、解ベクトルxが計算されたことになります。
磁場解析の場合はこの解ベクトルは磁気ベクトルポテンシャル(A)です。磁束密度BとベクトルポテンシャルAは

の関係があり、また、渦電流Jは電気伝導率をσとしますと、

と表すことができますので、ベクトルポテンシャルがわかれば、磁束密度や渦電流が計算できます。

磁場解析で得られる結果としては、
磁束密度
磁場の強さ
磁化
渦電流密度
発熱密度
などがあり、これらはコンター図やベクトル図で分布を確認することができます。

また、
インダクタンス(磁気エネルギー)
電磁力
などは数値として出力されます。

磁束密度分布や渦電流密度分布についてはコンター図だけでなく、ベクトル図を表示させて、リーズナブルな結果になっているか確認が必要です。
磁束密度の流れを確認することで、メッシュや境界条件などの解析条件の不備を見つけることにつながります。
値の大きさも確認が必要です。磁束密度は常識的な大きさがありますので、あまりに大きい値の場合は条件やデータの見直しが必要になります。

●ポイント
解析進行状況から収束しているかどうか確認する。
ベクトル図で磁束密度や渦電流の流れを確認し、結果を吟味する。

●参考文献
[1]　朝倉現代物理学講座7　数値解析法　森 正武著　朝倉書店

これまで、６回に分けてご紹介致しました磁場解析入門講座は今回で終了致します。ここまでお読み頂きありがとうございました。
基本的な磁場解析のチュートリアルを実施される際に、
これらの知識がソフトウェアの操作と結びつき、理解が深まりますと大変ありがたいです。

また、実際にソフトウェアを操作して、磁場解析を体験して頂ける無料セミナーを開催しています。
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