曲線座標 - 電磁場解析シミュレーションの株式会社フォトン

1. デカルト座標と曲線座標

loop — Mon, 18 Jan 2021 08:28:23 +0000

　$n$ 次元空間におけるデカルト座標を、$X_i(i=1,2,\cdots,n)$、一般の曲線座標を $x_i$ とかき、
\begin{equation}
X_i=X_i(x_1,x_2,\cdots,x_n) \tag*{$(1-1)$}
\end{equation}
という関係にある場合、曲線座標 $x_i$ に沿った基底ベクトル $\boldsymbol{e}_i$ は次のようにかくことができる。
\begin{equation}
\boldsymbol{e}_i=\frac{\partial\boldsymbol{X}}{\partial x_i} \tag*{$(1-2)$}
\end{equation}
ただし、$\boldsymbol{X}$ は成分 $(X_1,X_1,\cdots,X_n)$ を持つ位置ベクトルである。ここで $\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$、$\cdots$、$\boldsymbol{e}_n$、はそれぞれ直交しているとは限らない。一般的にこれらのベクトルが一次独立でない場合もあるが、ここではすべての座標においてこのベクトルの組が独立になるような座標系を考える。
　デカルト座標における座標成分に沿った基底ベクトルを $\boldsymbol{E}_1$、$\boldsymbol{E}_2$、$\cdots$、$\boldsymbol{E}_n$ とかくと、ベクトル $\boldsymbol{V}$ は、
\begin{equation}
\boldsymbol{V}=\sum_iV_i\boldsymbol{E}_i \tag*{$(1-3)$}
\end{equation}
とかける。このベクトルは（１－２）式の $\boldsymbol{e}_i$ を使って次のように表すことができる。
\begin{equation}
\boldsymbol{V}=\sum_iv^i\boldsymbol{e}_i \tag*{$(1-4)$}
\end{equation}
このとき $v^1$、$v^2$、$\cdots$、$v^n$ をこの座標系におけるベクトル $\boldsymbol{V}$ の反変成分とよび直交座標系における成分と区別する。位置ベクトル $\boldsymbol{X}$ から無限小離れた位置 $\boldsymbol{X}+d\boldsymbol{X}$ に向かうベクトルは（１－１）（１－２）式より次のようにかける。
\begin{equation}
d\boldsymbol{X}=\sum_i\frac{\partial\boldsymbol{X}}{\partial x_i}dx_i=\sum_idx_i\boldsymbol{e}_i \notag
\end{equation}
この式をみると $dx_i$ はベクトル $d\boldsymbol{X}$ の反変成分とみることができる。したがって座標成分も今後（１－４）式のように $(x^1,x^2,\cdots,x^n)$ のように添字を上につけることにする。新しい表記でこの式は、
\begin{equation}
d\boldsymbol{X}=\sum_idx^i\boldsymbol{e}_i \tag*{$(1-5)$}
\end{equation}
となる。（１－４）式の両辺と $\boldsymbol{e}_i$ の内積をとれば次のようになる。
\begin{equation}
\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{e}_i=\bigl(\sum_jv^j\boldsymbol{e}_j\bigr)\cdot\boldsymbol{e}_i=\sum_jv^j(\boldsymbol{e}_j\cdot\boldsymbol{e}_i) \notag
\end{equation}
直交座標系においては右辺はクロネッカのデルタ $\delta_{ji}$ を使って、
\begin{equation}
\sum_jv^j\delta_{ji}=v^i \notag
\end{equation}
となりベクトル $\boldsymbol{V}$ の反変成分と一致するが一般的には一致しない。そこでこれをベクトル $\boldsymbol{V}$ の共変成分と定義する。すなわち、
\begin{equation}
v_i\equiv\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{e}_i \tag*{$(1-6)$}
\end{equation}
である。反変成分との関係は上の式から次のようになる。
\begin{equation}
v_i=\sum_j(\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{e}_j)v^j \tag*{$(1-7)$}
\end{equation}
ベクトル $\boldsymbol{U}$ と $\boldsymbol{V}$ の内積は（１－４）式を使うと、
\begin{equation}
(\boldsymbol{U}\cdot\boldsymbol{V})=\sum_iu^i\boldsymbol{e}_i\cdot\sum_jv^j\boldsymbol{e}_j=\sum_{ij}(\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{e}_j)u^iv^j \notag
\end{equation}
となるが、（１－７）式より次のようにかける。
\begin{equation}
(\boldsymbol{U}\cdot\boldsymbol{V})=\sum_iu_iv^i=\sum_iu^iv_i \tag*{$(1-8)$}
\end{equation}
ここでベクトルを共変成分であらわすために、次の関係をみたすベクトル $\boldsymbol{e}^i$ を考える。
\begin{equation}
\boldsymbol{V}=\sum_iv_i\boldsymbol{e}^i \tag*{$(1-9)$}
\end{equation}
（１－６）式にこの式を代入すると次のようになる。
\begin{equation}
v_i=\sum_jv_j(\boldsymbol{e}^j\cdot\boldsymbol{e}_i) \notag
\end{equation}
この式が常に成り立つには次の関係が成立する必要がある。
\begin{equation}
(\boldsymbol{e}^j\cdot\boldsymbol{e}_i)=\delta^j_i \tag*{$(1-10)$}
\end{equation}
ただしクロネッカの添字も左辺の添字の上下に合わせて表示することにする。（１－２）式を使うと、
\begin{equation}
\boldsymbol{e}^i=\frac{\partial x^i}{\partial\boldsymbol{X}}　　\tag*{$(1-11)$}
\end{equation}
とかける。ただしベクトルでの微分は成分がベクトルの成分による微分を表している。これより（１－１０）式が成立することを確かめることができる。
\begin{equation}
(\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{e}^j)=\sum_k\frac{\partial X_k}{\partial x^i}\frac{\partial x^j}{\partial X_k}=\delta_i^j \notag
\end{equation}
デカルト座標では反変成分と共変成分は一致するので、
\begin{equation}
\begin{split}
&X_i=X^i \\
&\boldsymbol{E}_i=\boldsymbol{E}^i
\end{split} \notag
\end{equation}
である。

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2. ベクトルとテンソル

loop — Mon, 18 Jan 2021 08:27:42 +0000

　曲線座標におけるベクトルの反変成分及び共変成分は、デカルト座標における成分と（１－４）式と（１－９）式を使うと次の関係にある。
\begin{equation}
V^i=\sum_jv^j(\boldsymbol{e}_j)^i=\sum_j\frac{\partial X^i}{\partial x^j}v^j \tag*{$(2-1)$}
\end{equation}
\begin{equation}
V_i=\sum_jv_j(\boldsymbol{e}^j)_i=\sum_j\frac{\partial x^j}{\partial X^i}v_j \tag*{$(2-2)$}
\end{equation}
これらの式は両座標系におけるベクトルの成分の関係を表している。
　ここで新たな曲線座標系を考え、今までの座標系で $x$ と表されていた座標の成分が $x^\prime$ と表されるものとする。この座標系におけるベクトル $\boldsymbol{V}$ の反変成分と共変成分はデカルト座標における成分の関係（２－１）（２－２）式と同じく、
\begin{equation}
V^i=\frac{\partial X^i}{\partial {x^\prime}^j}{v^\prime}^j \tag*{$(2-3)$}
\end{equation}
\begin{equation}
V_i=\frac{\partial {x^\prime}^j}{\partial X^i}{v^\prime}_j \tag*{$(2-4)$}
\end{equation}
の関係がある。ただし、これらの式では一つの項に同じ添字が２回現れた場合、その添字について $1$ から $n$ までの和をとるアインシュタインの規約を使った。今後この規約を使うことにする。
　（２－１）式と（２－３）式より次の式が得られる。
\begin{equation}
\frac{\partial X^k}{\partial {x^\prime}^l}{v^\prime}^l=\frac{\partial X^k}{\partial x^j}v^j \notag
\end{equation}
この両辺に $\frac{\partial{x^\prime}^i}{\partial X^k}$ をかけて $k$ について和をとれば、左辺は次のようになる。
\begin{equation}
\frac{\partial{x^\prime}^i}{\partial X^k}\frac{\partial X^k}{\partial {x^\prime}^l}{v^\prime}^l=\delta_l^i{v^\prime}^l={v^\prime}^i \notag
\end{equation}
また右辺は、
\begin{equation}
\frac{\partial{x^\prime}^i}{\partial X^k}\frac{\partial X^k}{\partial x^j}v^j=\frac{\partial{x^\prime}^i}{\partial x^j}v^j \notag
\end{equation}
となるから、これらの曲線座標系におけるベクトルの反変成分の関係は次のようになる。
\begin{equation}
{v^\prime}^i=\frac{\partial{x^\prime}^i}{\partial x^j}v^j \tag*{$(2-5)$}
\end{equation}
同様に共変成分については、（２－２）式と（２－４）式より次の関係が得られる。
\begin{equation}
{v^\prime}_i=\frac{\partial x^j}{\partial{x^\prime}^i}v_j \tag*{$(2-6)$}
\end{equation}
これらの式ははデカルト座標と曲線座標の、ベクトルの成分どうしの関係（２－１）（２－２）式の一般化と考えることもできる。
　これはまた次のように考えることもできる。いま一つの添字で表される数の組で表現されている量があり、これらの数の組が座標変換で（２－５）（２－６）式のように変換する場合、この量はベクトルである。これを拡張して、二つの添字を持つ数の組が次のように変換する場合２階のテンソルと定義する。
\begin{equation}
{t^\prime}^{ij}=\frac{\partial{x^\prime}^i}{\partial x^l}\frac{\partial{x^\prime}^j}{\partial x^m}t^{lm} \tag*{$(2-7)$}
\end{equation}
\begin{equation}
{t^\prime}_{ij}=\frac{\partial x^l}{\partial{x^\prime}^i}\frac{\partial x^m}{\partial{x^\prime}^j}t_{lm} \tag*{$(2-8)$}
\end{equation}
これらはこのテンソルの２階の反変成分と２回の共変成分である。同様に高階のテンソルを定義することができる。たとえば、
\begin{equation}
{{t^\prime}_{ij\cdots k}}^{lm}=\frac{\partial x^o}{\partial{x^\prime}^i}\frac{\partial x^p}{\partial{x^\prime}^j}\cdots
\frac{\partial x^q}{\partial{x^\prime}^k}\frac{\partial{x^\prime}^l}{\partial x^r}\frac{\partial{x^\prime}^m}{\partial x^s}{t_{op\cdots q}}^{rs} \notag
\end{equation}
などである。
　テンソルの成分がこの例のように反変成分と共変成分の両方を持っている場合、これらの添字に関して和をとることによって階数が２だけ低いテンソルを作ることができる。上の例では左辺の添字 $m$ を $i$ として $i$ について和をとると次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
{{t^\prime}_{ij\cdots k}}^{li}&=\frac{\partial x^o}{\partial{x^\prime}^i}\frac{\partial x^p}{\partial{x^\prime}^j}\cdots
\frac{\partial x^q}{\partial{x^\prime}^k}\frac{\partial{x^\prime}^l}{\partial x^r}\frac{\partial{x^\prime}^i}{\partial x^s}{t_{op\cdots q}}^{rs} \\
&=\delta_s^o\frac{\partial x^p}{\partial{x^\prime}^j}\cdots\frac{\partial x^q}{\partial{x^\prime}^k}\frac{\partial{x^\prime}^l}{\partial x^r}
{t_{op\cdots q}}^{rs} \\
&=\frac{\partial x^p}{\partial{x^\prime}^j}\cdots\frac{\partial x^q}{\partial{x^\prime}^k}\frac{\partial{x^\prime}^l}{\partial x^r}{t_{op\cdots q}}^{ro}
\end{split} \notag
\end{equation}
この変換性よりテンソルの階数が２だけ小さくなったことがわかる。このような操作をテンソルの縮約という。
　ここで、無限小離れた点を結ぶベクトルを $d\boldsymbol{x}$ とし、このベクトルの長さを $ds$ とする。このとき $ds$ はこのベクトルのデカルト座標における成分と曲線座標における成分を使って次のように表すことができる。
\begin{equation}
ds^2=dX_kdX^k=\frac{\partial X_k}{\partial x^i}\frac{\partial X^k}{\partial x^j}dx^idx^j \tag*{$(2-9)$}
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
g_{ij}=\frac{\partial X_k}{\partial x^i}\frac{\partial X^k}{\partial x^j} \tag*{$(2-10)$}
\end{equation}
と定義すると（２－９）式は次のようにかける。
\begin{equation}
ds^2=g_{ij}dx^idx^j \tag*{$(2-11)$}
\end{equation}
この $g_{ij}$ は次に示すように２階のテンソルの共変成分であり、添字 $ij$ について対称である。このテンソルのことを計量テンソルという。これがテンソルの共変成分であるためには（２－８）式の関係をみたす必要がある。そのためにこの式の右辺にこのテンソルを適用して（２－１０）式を代入して変形すると次のようになる。
\begin{equation}
\frac{\partial x^l}{\partial{x^\prime}^i}\frac{\partial x^m}{\partial{x^\prime}^j}g_{lm}
=\frac{\partial x^l}{\partial{x^\prime}^i}\frac{\partial x^m}{\partial{x^\prime}^j}\frac{\partial X_k}{\partial x^l}\frac{\partial X^k}{\partial x^m}
=\frac{\partial X_k}{\partial{x^\prime}^i}\frac{\partial X^k}{\partial{x^\prime}^j}={g^\prime}_{ij} \notag
\end{equation}
となり（２－８）式をみたしていることが分かる。ここで（１－２）式を使うと、
\begin{equation}
g_{ij}=\frac{\partial X_k}{\partial x^i}\frac{\partial X^k}{\partial x^j}=(\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{e}_j) \notag
\end{equation}
とかけるので、この計量テンソルを使うと（１－７）式より次のようにベクトルの反変成分を共変成分に変換することができる。
\begin{equation}
v_i=g_{ij}v^j \tag*{$(2-12)$}
\end{equation}
ここで次の２階のテンソルを定義する。
\begin{equation}
h^{ij}=\frac{\partial x^i}{\partial X_k}\frac{\partial x^j}{\partial X^k} \tag*{$(2-13)$}
\end{equation}
これより、
\begin{equation}
h^{ik}g_{kj}=\frac{\partial x^i}{\partial X_l}\frac{\partial x^k}{\partial X^l}\frac{\partial X_m}{\partial x^k}\frac{\partial X^m}{\partial x^j}
=\delta^i_j \notag
\end{equation}
となるので、（２－１２）式より、
\begin{equation}
h^{ij}v_j=h^{ij}g_{jk}v^k=v^i \notag
\end{equation}
となり、このテンソルはベクトルの共変成分を反変成分に変換することがわかる。これを使うと（２－１１）式より次のようになる。
\begin{equation}
ds^2=g_{ij}dx^idx^j=dx^jdx_j=h^{ij}dx_idx_j \notag
\end{equation}
これより $h^{ij}$ は計量テンソルの反変成分と考えることができる。ちなみに共変成分を（２－１２）式によって計算すると、
\begin{equation}
h_{ij}=g_{il}g_{jm}h^{lm}=g_{il}\delta_j^l=g_{ij} \notag
\end{equation}
となる。したがって、計量テンソルはベクトルやテンソルの反変成分と共変成分との関係を与えることがわかる。今後 $h^{ij}$ を $g^{ij}$ とかく。

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3. 共変微分

loop — Mon, 18 Jan 2021 08:26:57 +0000

　デカルト座標におけるスカラー場 $F(\boldsymbol{X})$ の微分を考える。この関数を曲線座標で表した場を $f(\boldsymbol{x})$ とすれば同じ点で、
\begin{equation}
F(X^1,X^2,\cdots,X^n)=f(x^1,x^2,\cdots,x^n)　　 \tag*{$(3-1)$}
\end{equation}
が成立する。この式をデカルト座標で微分すると次のようになる。
\begin{equation}
\frac{\partial F(\boldsymbol{X})}{\partial X^i}=\frac{\partial x^j}{\partial X^i}\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x^j} \tag*{$(3-2)$}
\end{equation}
この関係はベクトルの共変成分の関係（２－２）式と同じであるから、スカラー場を座標の反変成分で微分したものはベクトルの共変成分であることがわかる。次にベクトル場の微分を考える。デカルト座標におけるベクトルの反変成分を $V^i(\boldsymbol{X})$、曲線座標におけるこのベクトル場の反変成分を $v^i(\boldsymbol{x})$ とかくと、同じ場所で、
\begin{equation}
V^i(X^1,X^2,\cdots,X^n)=\frac{\partial X^i}{\partial x^j}v^j(x^1,x^2,\cdots,x^n) \tag*{$(3-3)$}
\end{equation}
であるから、この微分は次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{\partial V^i(\boldsymbol{X})}{\partial X^j}
&=\frac{\partial x^l}{\partial X^j}\frac{\partial}{\partial x^l}\Bigl(\frac{\partial X^i}{\partial x^k}v^k(\boldsymbol{x})\Bigr) \\
&=\frac{\partial x^l}{\partial X^j}\Bigl(\frac{\partial X^i}{\partial x^k}\frac{\partial v^k(\boldsymbol{x})}{\partial x^l}
+\frac{\partial^2X^i}{\partial x^l\partial x^k}v^k(\boldsymbol{x})\Bigr)
\end{split} \tag*{$(3-4)$}
\end{equation}
この右辺を変形すると次のようになる。
\begin{equation}
\frac{\partial x^l}{\partial X^j}\frac{\partial X^i}{\partial x^k}\Bigl(\frac{\partial v^k(\boldsymbol{x})}{\partial x^l}
+\frac{\partial x^k}{\partial X^n}\frac{\partial^2X^n}{\partial x^l\partial x^m}v^m(\boldsymbol{x})\Bigr) \notag
\end{equation}
この計算を続けるために計量テンソルの微分を求めておく。（２－１０）式より、
\begin{equation}
\begin{split}
&\frac{\partial g_{tj}}{\partial x^k}=\frac{\partial^2X_l}{\partial x^t\partial x^k}\frac{\partial X^l}{\partial x^j}
+\frac{\partial X_l}{\partial x^t}\frac{\partial^2X^l}{\partial x^j\partial x^k} \\
&\frac{\partial g_{tk}}{\partial x^j}=\frac{\partial^2X_l}{\partial x^t\partial x^j}\frac{\partial X^l}{\partial x^k}
+\frac{\partial X_l}{\partial x^t}\frac{\partial^2X^l}{\partial x^k\partial x^j} \\
&\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^t}=\frac{\partial^2X_l}{\partial x^j\partial x^t}\frac{\partial X^l}{\partial x^k}
+\frac{\partial X_l}{\partial x^j}\frac{\partial^2X^l}{\partial x^k\partial x^t} \\
\end{split} \notag
\end{equation}
となるので次の式が成り立つ。
\begin{equation}
\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial g_{tj}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{tk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^t}\Bigr)
=\frac{\partial X_l}{\partial x^t}\frac{\partial^2X^l}{\partial x^j\partial x^k} \notag
\end{equation}
この式の両辺に $g^{it}$ をかけて $t$ について和をとると（２－１３）式より次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{1}{2}g^{it}\Bigl(\frac{\partial g_{tj}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{tk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^t}\Bigr)
&=g^{it}\frac{\partial X_l}{\partial x^t}\frac{\partial^2X^l}{\partial x^j\partial x^k} \\
&=\frac{\partial x^i}{\partial X^m}\frac{\partial x^t}{\partial X_m}\frac{\partial X_l}{\partial x^t}\frac{\partial^2X^l}{\partial x^j\partial x^k} \\
&=\frac{\partial x^i}{\partial X^l}\frac{\partial^2X^l}{\partial x^j\partial x^k}
\end{split} \notag
\end{equation}
ここで次のクリストッフェルの記号を導入する。
\begin{equation}
\Gamma^i_{jk}=\frac{1}{2}g^{it}\Bigl(\frac{\partial g_{tj}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{tk}}{\partial x^j}
-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^t}\Bigr) \tag*{$(3-5)$}
\end{equation}
この記号は定義からわかるように下付きの添字 $jk$ について対称である。これらの式を使うと（３－４）式は次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{\partial V^i}{\partial X^j}&=\frac{\partial x^l}{\partial X^j}\frac{\partial X^i}{\partial x^k}\Bigl(\frac{\partial v^k}{\partial x^l}
+\frac{\partial x^k}{\partial X^n}\frac{\partial^2X^n}{\partial x^l\partial x^m}v^m\Bigr) \\
&=\frac{\partial x^l}{\partial X^j}\frac{\partial X^i}{\partial x^k}
\Bigl(\frac{\partial v^k}{\partial x^l}+\Gamma^k_{lm}v^m\Bigr)
\end{split} \tag*{$(3-6)$}
\end{equation}
いま、
\begin{equation}
D_lv^k=\frac{\partial v^k}{\partial x^l}+\Gamma^k_{lm}v^m \tag*{$(3-7)$}
\end{equation}
とかけば、これは２階のテンソルの共変反変成分であることがわかる。
　別の観点から曲線座標におけるベクトルの微分について考える。曲線座標の基底ベクトル（１－２）式を使うと、ベクトルは反変成分を使って次のように表される。
\begin{equation}
\boldsymbol{V}(\boldsymbol{x})=v^i(\boldsymbol{x})\boldsymbol{e}_i(\boldsymbol{x}) \notag
\end{equation}
この場所と無限小 $d\boldsymbol{x}$ はなれた位置にあるベクトルとの差を $d\boldsymbol{V}$ とかくと、上の式を使って次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
d\boldsymbol{V}&=v^i(\boldsymbol{x}+d\boldsymbol{x})\boldsymbol{e}_i(\boldsymbol{x}+d\boldsymbol{x})-v^i(\boldsymbol{x})\boldsymbol{e}_i(\boldsymbol{x}) \\
&=\Bigl(v^i+\frac{\partial v^i}{\partial x^j}dx^j\Bigr)\bigl(\boldsymbol{e}_i+\frac{\partial^2\boldsymbol{X}}{\partial x^i\partial x^k}dx^k\Bigr)-v^i\boldsymbol{e}_i \\
&=\frac{\partial v^i}{\partial x^j}dx^j\boldsymbol{e}_i+v^i\frac{\partial^2\boldsymbol{X}}{\partial x^i\partial x^k}dx^k \\
&=\Bigl(\frac{\partial v^i}{\partial x^j}\boldsymbol{e}_i+\frac{\partial^2\boldsymbol{X}}{\partial x^j\partial x^k}v^k\Bigr)dx^j \\
&=\Bigl(\frac{\partial v^i}{\partial x^j}+\frac{\partial x^i}{\partial X^l}\frac{\partial^2X^l}{\partial x^j\partial x^k}v^k\Bigr)
\frac{\partial\boldsymbol{X}}{\partial x^i}dx^j
\end{split} \notag
\end{equation}
これよりこのベクトルは次のようにかくことができる。
\begin{equation}
d\boldsymbol{V}=\Bigl(\frac{\partial v^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}v^k\Bigr)dx^j\boldsymbol{e}_i=D_jv^idx^j\boldsymbol{e}_i \tag*{$(3-8)$}
\end{equation}
これより曲線座標におけるベクトルの微分は（３－７）式で表されることがわかる。
　次に、デカルト座標におけるベクトル場の共変成分を $V_i(\boldsymbol{X})$、曲線座標におけるこのベクトル場の共変成分を $v_i(\boldsymbol{x})$ とかくと、（２－２）式より同じ場所で、
\begin{equation}
V_i(X^1,V^2,\cdots,X^n)=\frac{\partial x^j}{\partial X^i}v_j(x^1,x^2,\cdots,x^n) \tag*{$(3-9)$}
\end{equation}
であるから、この微分は次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{\partial V_i(\boldsymbol{X})}{\partial X^j}&=\frac{\partial}{\partial X^j}\Bigl(\frac{\partial x^k}{\partial X^i}v_k(\boldsymbol{x})\Bigr) \\
&=\frac{\partial x^k}{\partial X^i}\frac{\partial v_k(\boldsymbol{x})}{\partial X^j}+\frac{\partial^2x^n}{\partial X^i\partial X^j}v_n(\boldsymbol{x})
\end{split} \tag*{$(3-10)$}
\end{equation}
この式の右辺を変形すれば、すぐ下で示すように次のようになる。
\begin{equation}
\frac{\partial x^k}{\partial X^i}\frac{\partial x^l}{\partial X^j}\bigl(\frac{\partial v_k(\boldsymbol{x})}{\partial x^l}
-\frac{\partial x^n}{\partial X^m}\frac{\partial^2X^m}{\partial x^k\partial x^l}v_n(\boldsymbol{x})\bigr) \notag
\end{equation}
この括弧内の第一項は（３－１０）式の右辺第一項と等しいことがすぐ分かるので第２項どうしの比較を行い、
\begin{equation}
-\frac{\partial x^k}{\partial X^i}\frac{\partial x^l}{\partial X^j}\frac{\partial x^n}{\partial X^m}\frac{\partial^2X^m}{\partial x^k\partial x^l}
=\frac{\partial^2x^n}{\partial X^i\partial X^j} \notag
\end{equation}
が成立すればこのように変形できることがわかる。この式の左辺を変形すると、
\begin{equation}
\begin{split}
&-\frac{\partial x^k}{\partial X^i}\frac{\partial x^n}{\partial X^m}\frac{\partial}{\partial X^j}\bigl(\frac{\partial X^m}{\partial x^k}\bigr) \\
&=-\frac{\partial}{\partial X^j}\bigl(\frac{\partial x^k}{\partial X^i}\frac{\partial x^n}{\partial X^m}\frac{\partial X^m}{\partial x^k}\bigr)
+\frac{\partial}{\partial X^j}\bigl(\frac{\partial x^k}{\partial X^i}\frac{\partial x^n}{\partial X^m}\bigr)\frac{\partial X^m}{\partial x^k} \\
&=-\frac{\partial^2x^n}{\partial X^i\partial X^j}+\frac{\partial^2x^k}{\partial X^i\partial X^j}\delta_k^n+\frac{\partial^2x^n}{\partial X^m\partial X^j}\delta_i^m \\
&=\frac{\partial^2x^n}{\partial X^i\partial X^j}
\end{split} \notag
\end{equation}
となり両辺は一致する。これより（３－１０）式は次のようにかくことができる。
\begin{equation}
\frac{\partial V_i}{\partial X^j}=\frac{\partial x^k}{\partial X^i}\frac{\partial x^l}{\partial X^j}\bigl(\frac{\partial v_k(\boldsymbol{x})}{\partial x^l}
-\Gamma^n_{kl}v_n(\boldsymbol{x})\bigr) \tag*{$(3-11)$}
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
D_lv_k=\frac{\partial v_k}{\partial x^l}-\Gamma^n_{kl}v_n \tag*{$(3-12)$}
\end{equation}
とかけば、これは２階のテンソルの共変成分であることがわかる。（３－７）式、（３－１２）式はどちらもベクトルの微分を表しており共変微分とよばれる。
　テンソルの共変微分を求めるために次の量を考える。
\begin{equation}
\begin{split}
&\bigl(D_ku^i\bigr)v^j=\Bigl(\frac{\partial u^i}{\partial x^k}+\Gamma^i_{kl}u^l\Bigr)v^j \\
&u^i\bigl(D_kv^j\bigr)=u^i\Bigl(\frac{\partial v^j}{\partial x^k}+\Gamma^j_{kl}v^l\Bigr)
\end{split} \notag
\end{equation}
これらはともに３階テンソルの、２階の反変１階の共変成分であるから、足し合わせた、
\begin{equation}
\bigl(D_ku^i\bigr)v^j+u^i\bigl(D_kv^j\bigr)=\frac{\partial}{\partial x^k}(u^iv^j)+\Gamma^i_{kl}u^lv^j+\Gamma^j_{kl}u^iv^l \notag
\end{equation}
も同じ変換性を持つテンソルの成分になる。そこで、ベクトルの成分の積についての共変微分を次のように定義する。
\begin{equation}
D_k(u^iv^j)=\bigl(D_ku^i\bigr)v^j+u^i\bigl(D_kv^j\bigr) \notag
\end{equation}
この式と上の式より次のようにかける。
\begin{equation}
D_k(u^iv^j)=\frac{\partial}{\partial x^k}(u^iv^j)+\Gamma^i_{kl}u^lv^j+\Gamma^j_{kl}u^iv^l \tag*{$(3-13)$}
\end{equation}
これより２階のテンソルの共変微分を次のように定義する。
\begin{equation}
D_kt^{ij}=\frac{\partial t^{ij}}{\partial x^k}+\Gamma^i_{kl}t^{lj}+\Gamma^j_{kl}t^{il} \tag*{$(3-14)$}
\end{equation}
同様にして、高階のテンソルの共変微分もベクトルの成分の積についての共変微分に関する規則、例えば、
\begin{equation}
D_l(a^ib^jc_k)=\bigl(D_la^i\bigr)b^jc_k+a^i\bigl(D_lb^j)c_k+a^ib^j\bigl(D_lc_k\bigr) \notag
\end{equation}
より、
\begin{equation}
D_l(a^ib^jc_k)=\frac{\partial}{\partial x^l}(a^ib^jc_k)+\Gamma^i_{lm}a^mb^jc_k+\Gamma^j_{lm}a^ib^mc_k-\Gamma^m_{lk}a^ib^jc_m \notag
\end{equation}
となるので、これに対応するテンソルの共変微分は次のようにかける。
\begin{equation}
D_l{t^{ij}}_k=\frac{\partial}{\partial x^l}{t^{ij}}_k+\Gamma^i_{lm}{t^{mj}}_k+\Gamma^j_{lm}{t^{im}}_k-\Gamma^m_{lk}{t^{ij}}_m \tag*{$(3-15)$}
\end{equation}
これより計量テンソルの共変微分を計算すると、
\begin{equation}
\begin{split}
D_kg_{ij}&=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}-\Gamma^l_{ki}g_{lj}-\Gamma^l_{kj}g_{il} \\
&=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}
-\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{ji}}{\partial x^k}-\frac{\partial g_{ki}}{\partial x^j}\Bigr)
-\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}-\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i}\Bigr) \\
&=0
\end{split} \notag
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{split}
D_kg^{ij}&=\frac{\partial g^{ij}}{\partial x^k}+\Gamma^i_{kl}g^{lj}+\Gamma^j_{kl}g^{il} \\
&=\frac{\partial g^{ij}}{\partial x^k}
+\frac{1}{2}g^{it}\Bigl(\frac{\partial g_{tl}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{tk}}{\partial x^l}-\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^t}\Bigr)g^{lj}
+\frac{1}{2}g^{jt}\Bigl(\frac{\partial g_{tl}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{tk}}{\partial x^l}-\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^t}\Bigr)g^{il} \\
&=\frac{\partial g^{ij}}{\partial x^k}
+\frac{1}{2}g^{it}\Bigl(\frac{\partial g_{tl}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{tk}}{\partial x^l}-\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^t}\Bigr)g^{lj}
+\frac{1}{2}g^{jl}\Bigl(\frac{\partial g_{lt}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^t}-\frac{\partial g_{kt}}{\partial x^l}\Bigr)g^{it} \\
&=\frac{\partial g^{ij}}{\partial x^k}+g^{it}\frac{\partial g_{tl}}{\partial x^k}g^{lj} \\
&=\frac{\partial g^{ij}}{\partial x^k}+g^{it}\frac{\partial}{\partial x^k}\bigl(g_{tl}g^{lj}\bigr)-g^{it}g_{tl}\frac{\partial g^{lj}}{\partial x^k} \\
&=\frac{\partial g^{ij}}{\partial x^k}+g^{it}\frac{\partial \delta_t^j}{\partial x^k}-\delta_l^i\frac{\partial g^{lj}}{\partial x^k} \\
&=0
\end{split} \notag
\end{equation}
となる。すなわち、
\begin{equation}
D_kg_{ij}=0 \tag*{$(3-16)$}
\end{equation}
\begin{equation}
D_kg^{ij}=0 \tag*{$(3-17)$}
\end{equation}
である。これより添字の上げ下げと共変微分は可換となる。

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4-1. 具体的な曲線座標系（円筒座標系）

loop — Mon, 18 Jan 2021 08:24:12 +0000

　円筒座標系はデカルト座標と次の関係がある。
\begin{equation}
\begin{split}
&X^1=r\mathrm{cos}\theta \\
&X^2=r\mathrm{sin}\theta \\
&X^3=z
\end{split} \tag*{$(4-1)$}
\end{equation}
この式を微分すると次の関係が得られる。
\begin{equation}
\begin{split}
&dX^1=\mathrm{cos}\theta dr-r\mathrm{sin}\theta d\theta \\
&dX^2=\mathrm{sin}\theta dr+r\mathrm{cos}\theta d\theta \\
&dX^3=dz
\end{split} \tag*{$(4-2)$}
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
\begin{split}
&x^1=r \\
&x^2=\theta \\
&x^3=z
\end{split} \tag*{$(4-3)$}
\end{equation}
とおくと（４－２）式より次の式が成立する。
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
dX^1 \\
dX^2 \\
dX^3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathrm{cos}\theta & -r\mathrm{sin}\theta & 0 \\
\mathrm{sin}\theta & r\mathrm{cos}\theta & 0 \\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
dx^1 \\
dx^2 \\
dx^3
\end{bmatrix} \tag*{$(4-4)$}
\end{equation}
\begin{equation}
\hspace{10mm}
\begin{bmatrix}
dx^1 \\
dx^2 \\
dx^3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathrm{cos}\theta & \mathrm{sin}\theta & 0 \\
-r^{-1}\mathrm{sin}\theta & r^{-1}\mathrm{cos}\theta & 0 \\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
dX^1 \\
dX^2 \\
dX^3
\end{bmatrix} \tag*{$(4-5)$}
\end{equation}
これより、
\begin{equation}
ds^2=dX_idX^i=dr^2+r^2d\theta^2+dz^2 \notag
\end{equation}
となるので計量テンソルは次のようになる。
\begin{equation}
\bigl[g_{ij}\bigr]=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & r^2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\hspace{10mm}
\bigl[g^{ij}\bigr]=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & r^{-2} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \tag*{$(4-6)$}
\end{equation}
計量テンソルが分かれば（２－１２）式よりベクトルの反変成分と共変成分の関係が求まる。
この場合次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
&v_1=v^1 \\
&v_2=r^2v^2 \\
&v_3=v^3
\end{split} \notag
\end{equation}
ただしこれらのベクトル成分は通常円筒座標を使ったときのベクトル成分とは異なっている。ここでいう通常のベクトル成分とは、着目している点において $r$ 方向すなわち動径方向と $\theta$ 方向(周方向)および $z$ 方向に直交基底ベクトルをおき、基底ベクトルの長さを $1$ としたときのベクトルの成分でりこれを物理成分とよんでいる。これに対してここで使っている基底ベクトル（１－２）（１－１１）式は円筒座標系の場合直交基底となているが長さが $1$ ではない。$\boldsymbol{v}$ の物理成分を $(V_r,V_\theta,V_z)$ とおけば、
\begin{equation}
\begin{split}
&v_1=v^1=V_r \\
&v_2=r^2v^2=rV_\theta \\
&v_3=v^3=V_z
\end{split} \tag*{$(4-7)$}
\end{equation}
の関係がある。これより（３－５）式を計算するとゼロでない成分は次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
&\Gamma^1_{22}=-\frac{1}{2}\frac{\partial g_{22}}{\partial x^1}=-r \\
&\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=\frac{1}{r}
\end{split} \tag*{$(4-8)$}
\end{equation}
これから共変微分を計算すると次のようになる。スカラー場に関して、
\begin{equation}
\begin{split}
&D_1\phi=\frac{\partial\phi}{\partial x^1}=\frac{\partial\phi}{\partial r} \\
&D_2\phi=\frac{\partial\phi}{\partial x^2}=\frac{\partial\phi}{\partial\theta} \\
&D_3\phi=\frac{\partial\phi}{\partial x^3}=\frac{\partial\phi}{\partial z} \\
\end{split} \tag*{$(4-9)$}
\end{equation}
ベクトル場に関して、
\begin{equation}
\begin{split}
&D_1v^1=\frac{\partial v^1}{\partial x^1}=\frac{\partial V_r}{\partial r} \hspace{36mm}
D_1v_1=\frac{\partial v_1}{\partial x^1}=\frac{\partial V_r}{\partial r} \\
&D_2v^1=\frac{\partial v^1}{\partial x^2}+\Gamma^1_{22}v^2=\frac{\partial V_r}{\partial\theta}-V_\theta \hspace{15mm}
D_2v_1=\frac{\partial v_1}{\partial x^2}-\Gamma^2_{12}v_2=\frac{\partial V_r}{\partial\theta}-V_\theta \\
&D_3v^1=\frac{\partial v^1}{\partial x^3}=\frac{\partial V_r}{\partial z} \hspace{36mm}
D_3v_1=\frac{\partial v_1}{\partial x^3}=\frac{\partial V_r}{\partial z} \\
&D_1v^2=\frac{\partial v^2}{\partial x^1}+\Gamma^2_{12}v^2=\frac{\partial}{\partial r}\bigl(\frac{V_\theta}{r}\bigr)
+\frac{V_\theta}{r^2} \hspace{9mm}
D_1v_2=\frac{\partial v_2}{\partial x^1}-\Gamma^2_{12}v_2=\frac{\partial}{\partial r}\bigl(rV_\theta\bigr)-V_\theta \\
&D_2v^2=\frac{\partial v^2}{\partial x^2}+\Gamma^2_{21}v^1=\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(\frac{V_\theta}{r}\bigr)
+\frac{V_r}{r} \hspace{9mm}
D_2v_2=\frac{\partial v_2}{\partial x^2}-\Gamma^1_{22}v_1=\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(rV_\theta\bigr)+rV_r \\
&D_3v^2=\frac{\partial v^2}{\partial x^3}=\frac{1}{r}\frac{\partial V_\theta}{\partial z} \hspace{34mm}
D_3v_2=\frac{\partial v_2}{\partial x^3}=r\frac{\partial V_\theta}{\partial z} \\
&D_1v^3=\frac{\partial v^3}{\partial x^1}=\frac{\partial V_z}{\partial r} \hspace{36mm}
D_1v_3=\frac{\partial v_3}{\partial x^1}=\frac{\partial V_z}{\partial r} \\
&D_2v^3=\frac{\partial v^3}{\partial x^2}=\frac{\partial V_z}{\partial\theta} \hspace{36mm}
D_2v_3=\frac{\partial v_3}{\partial x^2}=\frac{\partial V_z}{\partial\theta} \\
&D_3v^3=\frac{\partial v^3}{\partial x^3}=\frac{\partial V_z}{\partial z} \hspace{36mm}
D_3v_3=\frac{\partial v_3}{\partial x^3}=\frac{\partial V_z}{\partial z}
\end{split} \notag
\end{equation}
である。これより次の関係が得られる。ベクトルの発散は、
\begin{equation}
\mathrm{div}\boldsymbol{V}=D_iv^i=\frac{\partial V_r}{\partial r}+\frac{V_r}{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial V_\theta}{\partial\theta}
+\frac{\partial V_z}{\partial z} \tag*{$(4-10)$}
\end{equation}
次にベクトルの回転を求める。デカルト座標におけるベクトルの回転は次のようにかける。
\begin{equation}
\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)^i=E^{ijk}\frac{\partial V_k}{\partial X^j} \tag*{$(4-11)$}
\end{equation}
ここで、$E_{ijk}$は３回の反変テンソルであり、$(i,j,k)$ が $(1,2,3)$ の偶置換の場合は $1$、奇置換の場合は $-1$、それ以外はゼロである。このテンソルは一般座標では次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
e^{ijk}&=\frac{\partial x^i}{\partial X^l}\frac{\partial x^j}{\partial X^m}\frac{\partial x^k}{\partial X^n}E^{lmn} \\
&=
\begin{vmatrix}
\frac{\partial x^i}{\partial X^1} & \frac{\partial x^j}{\partial X^1} & \frac{\partial x^k}{\partial X^1} \\
\frac{\partial x^i}{\partial X^2} & \frac{\partial x^j}{\partial X^2} & \frac{\partial x^k}{\partial X^2} \\
\frac{\partial x^i}{\partial X^3} & \frac{\partial x^j}{\partial X^3} & \frac{\partial x^k}{\partial X^3}
\end{vmatrix}
\end{split} \tag*{$(4-12)$}
\end{equation}
これより、$e^{ijk}$ は３階の反変テンソルであり、$(i,j,k)$ が $(1,2,3)$ の偶置換の場合は $J$、奇置換の場合は $-J$、それ以外はゼロである。ただし、$J$ は変換行列の行列式である。
\begin{equation}
J=
\begin{vmatrix}
\frac{\partial x^1}{\partial X^1} & \frac{\partial x^2}{\partial X^1} & \frac{\partial x^3}{\partial X^1} \\
\frac{\partial x^1}{\partial X^2} & \frac{\partial x^2}{\partial X^2} & \frac{\partial x^3}{\partial X^2} \\
\frac{\partial x^1}{\partial X^3} & \frac{\partial x^2}{\partial X^3} & \frac{\partial x^3}{\partial X^3}
\end{vmatrix} \tag*{$(4-13)$}
\end{equation}
（４－５）式より円筒座標の場合はこの値は次のようになる。
\begin{equation}
J=
\begin{vmatrix}
\mathrm{cos}\theta & \mathrm{sin}\theta & 0 \\
-r^{-1}\mathrm{sin}\theta & r^{-1}\mathrm{cos}\theta & 0 \\
0 & 0 & 1\\
\end{vmatrix}
=\frac{1}{r} \notag
\end{equation}
このテンソルの性質を使うと、
\begin{equation}
e^{ijk}D_jv_k=e^{ijk}\Bigl(\frac{\partial v_k}{\partial x^j}-\Gamma^l_{jk}v_l\Bigr)=e^{ijk}\frac{\partial v_k}{\partial x^j} \notag
\end{equation}
となるので一般座標におけるベクトルの回転は次のようになる。
\begin{equation}
\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)^i=e^{ijk}\frac{\partial v_k}{\partial x^j} \tag*{$(4-14)$}
\end{equation}
これより、
\begin{equation}
\begin{split}
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)^1=J(D_2v_3-D_3v_2)=\frac{1}{r}\frac{\partial V_z}{\partial\theta}-\frac{\partial V_\theta}{\partial z} \\
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)^2=J(D_3v_1-D_1v_3)=\frac{1}{r}\bigl(\frac{\partial V_r}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial r}\bigr) \\
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)^3=J(D_1v_2-D_2v_1)=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rV_\theta)-\frac{1}{r}\frac{\partial V_r}{\partial\theta} \\
\end{split} \tag*{$(4-15)$}
\end{equation}
となる。物理成分でかくと次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)_r=\frac{1}{r}\frac{\partial V_z}{\partial\theta}-\frac{\partial V_\theta}{\partial z} \\
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)_\theta=\frac{\partial V_r}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial r} \\
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)_z=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rV_\theta)-\frac{1}{r}\frac{\partial V_r}{\partial\theta} \\
\end{split} \tag*{$(4-16)$}
\end{equation}
スカラー場のラプラシアンは次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
D_i\bigl(g^{ij}D_j\phi\bigr)&=\frac{\partial}{\partial x^i}\Bigl(g^{ij}\frac{\partial\phi}{\partial x^j}\Bigr)
+\Gamma^i_{ik}g^{kj}\frac{\partial\phi}{\partial x^j} \\
&=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r\frac{\partial\phi}{\partial r}\bigr)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial\theta^2}
+\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}
\end{split} \tag*{$(4-17)$}
\end{equation}

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4-2. 具体的な曲線座標系（極座標系）

loop — Mon, 18 Jan 2021 08:23:27 +0000

　極座標系はデカルト座標と次の関係がある。
\begin{equation}
\begin{split}
&X^1=r\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\varphi \\
&X^2=r\mathrm{sin}\theta\mathrm{sin}\varphi \\
&X^3=r\mathrm{cos}\theta
\end{split} \tag*{$(4-18)$}
\end{equation}
この式を微分すると次の関係が得られる。
\begin{equation}
\begin{split}
&dX^1=\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\varphi dr+r\mathrm{cos}\theta\mathrm{cos}\varphi d\theta-r\mathrm{sin}\theta\mathrm{sin}\varphi d\varphi \\
&dX^2=\mathrm{sin}\theta\mathrm{sin}\varphi dr+r\mathrm{cos}\theta\mathrm{sin}\varphi d\theta+r\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\varphi d\varphi \\
&dX^3=\mathrm{cos}\theta dr-r\mathrm{sin}\theta d\theta
\end{split} \tag*{$(4-19)$}
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
\begin{split}
&x^1=r \\
&x^2=\theta \\
&x^3=\varphi
\end{split} \tag*{$(4-20)$}
\end{equation}
とおくと（４－１９）式より次の式が成立する。
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
dX^1 \\
dX^2 \\
dX^3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\varphi & r\mathrm{cos}\theta\mathrm{cos}\varphi & -r\mathrm{sin}\theta\mathrm{sin}\varphi \\
\mathrm{sin}\theta\mathrm{sin}\varphi & r\mathrm{cos}\theta\mathrm{sin}\varphi & r\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\varphi \\
\mathrm{cos}\theta & -r\mathrm{sin}\theta & 0\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
dx^1 \\
dx^2 \\
dx^3
\end{bmatrix} \tag*{$(4-21)$}
\end{equation}
\begin{equation}
\hspace{10mm}
\begin{bmatrix}
dx^1 \\
dx^2 \\
dx^3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\varphi & \mathrm{sin}\theta\mathrm{sin}\varphi & \mathrm{cos}\theta \\
r^{-1}\mathrm{cos}\theta\mathrm{cos}\varphi & r^{-1}\mathrm{cos}\theta\mathrm{sin}\varphi & -r^{-1}\mathrm{sin}\theta \\
-r^{-1}\frac{\mathrm{sin}\varphi}{\mathrm{sin}\theta} & r^{-1}\frac{\mathrm{cos}\varphi}{\mathrm{sin}\theta} & 0\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
dX^1 \\
dX^2 \\
dX^3
\end{bmatrix} \tag*{$(4-22)$}
\end{equation}
変換行列の行列式は次のようになる。
\begin{equation}
J=\frac{1}{r^2\mathrm{sin}\theta} \notag
\end{equation}
これより、
\begin{equation}
ds^2=dr^2+r^2d\theta^2+r^2\mathrm{sin}^2\theta d\varphi^2 \notag
\end{equation}
となるので計量テンソルは次のようになる。
\begin{equation}
\bigl[g_{ij}\bigr]=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & r^2 & 0 \\
0 & 0 & r^2\mathrm{sin}^2\theta
\end{bmatrix}
\hspace{10mm}
\bigl[g^{ij}\bigr]=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & r^{-2} & 0 \\
0 & 0 & r^{-2}\mathrm{sin}^{-2}\theta
\end{bmatrix} \tag*{$(4-23)$}
\end{equation}
$\boldsymbol{v}$ の物理成分を $(V_r,V_\theta,V_\varphi)$ とおけば、
\begin{equation}
\begin{split}
&v_1=v^1=V_r \\
&v_2=r^2v^2=rV_\theta \\
&v_3=r^2\mathrm{sin}^2v^3=r\mathrm{sin}\theta V_\varphi
\end{split} \tag*{$(4-24)$}
\end{equation}
の関係がある。これより（３－５）式を計算するとゼロでない成分は次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
&\Gamma^1_{22}=-\frac{1}{2}\frac{\partial g_{22}}{\partial x^1}=-r \hspace{10mm} \Gamma^1_{33}=-r\mathrm{sin}^2\theta \\
&\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=\frac{1}{r} \hspace{20mm} \Gamma^2_{33}=-\frac{1}{r}\mathrm{sin}^2\theta \\
&\Gamma^3_{13}=\Gamma^3_{31}=\frac{1}{r} \hspace{20mm} \Gamma^3_{23}=\Gamma^3_{32}=\frac{\mathrm{cos}\theta}{\mathrm{sin}\theta}
\end{split} \tag*{$(4-25)$}
\end{equation}
これから共変微分を計算すると次のようになる。スカラー場に関して、
\begin{equation}
\begin{split}
&D_1\phi=\frac{\partial\phi}{\partial x^1}=\frac{\partial\phi}{\partial r} \\
&D_2\phi=\frac{\partial\phi}{\partial x^2}=\frac{\partial\phi}{\partial\theta} \\
&D_3\phi=\frac{\partial\phi}{\partial x^3}=\frac{\partial\phi}{\partial\varphi} \\
\end{split} \tag*{$(4-26)$}
\end{equation}
ベクトル場に関して、
\begin{equation}
\begin{split}
&D_1v^1=\frac{\partial v^1}{\partial x^1}=\frac{\partial V_r}{\partial r} \hspace{46mm}
D_1v_1=\frac{\partial v_1}{\partial x^1}=\frac{\partial V_r}{\partial r} \\
&D_2v^1=\frac{\partial v^1}{\partial x^2}+\Gamma^1_{22}v^2=\frac{\partial V_r}{\partial\theta}-V_\theta \hspace{25mm}
D_2v_1=\frac{\partial v_1}{\partial x^2}-\Gamma^2_{12}v_2=\frac{\partial V_r}{\partial\theta}-V_\theta \\
&D_3v^1=\frac{\partial v^1}{\partial x^3}+\Gamma^1_{33}v^2=\frac{\partial V_r}{\partial\varphi}-\mathrm{sin}\theta V_\varphi \hspace{19mm}
D_3v_1=\frac{\partial v_1}{\partial x^3}-\Gamma^3_{13}v_3=\frac{\partial V_r}{\partial\varphi}-\mathrm{sin}\theta V_\varphi \\
&D_1v^2=\frac{\partial v^2}{\partial x^1}+\Gamma^2_{12}v^2=\frac{\partial}{\partial r}\bigl(\frac{V_\theta}{r}\bigr)
+\frac{V_\theta}{r^2} \hspace{19mm}
D_1v_2=\frac{\partial v_2}{\partial x^1}-\Gamma^2_{12}v_2=\frac{\partial}{\partial r}\bigl(rV_\theta\bigr)-V_\theta \\
&D_2v^2=\frac{\partial v^2}{\partial x^2}+\Gamma^2_{21}v^1=\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(\frac{V_\theta}{r}\bigr)
+\frac{V_r}{r} \hspace{19mm}
D_2v_2=\frac{\partial v_2}{\partial x^2}-\Gamma^1_{22}v_1=\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(rV_\theta\bigr)+rV_r \\
&D_3v^2=\frac{\partial v^2}{\partial x^3}+\Gamma^2_{33}v^3=\frac{1}{r}\frac{\partial V_\theta}{\partial\varphi}-\frac{\mathrm{sin}\theta}{r^2}V_\varphi \hspace{16mm}
D_3v_2=\frac{\partial v_2}{\partial x^3}-\Gamma^3_{23}v_3=r\frac{\partial V_\theta}{\partial\varphi}-r\mathrm{cos}\theta V_\varphi \\
&D_1v^3=\frac{\partial v^3}{\partial x^1}+\Gamma^3_{13}v^3=\frac{\partial}{\partial r}\bigl(\frac{V_\varphi}{r\mathrm{sin}\theta}\bigr)
+\frac{V_\varphi}{r^2\mathrm{sin}\theta} \hspace{10mm}
D_1v_3=\frac{\partial v_3}{\partial x^1}-\Gamma^3_{13}v_3=\frac{\partial}{\partial r}(r\mathrm{sin}\theta V_\varphi)-\mathrm{sin}\theta V_\varphi \\
&D_2v^3=\frac{\partial v^3}{\partial x^2}+\Gamma^3_{23}v^3=\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(\frac{V_\varphi}{r\mathrm{sin}\theta}\bigr)
+\frac{\mathrm{cos}\theta}{r\mathrm{sin}^2\theta}V_\varphi \hspace{6mm}
D_2v_3=\frac{\partial v_3}{\partial x^2}-\Gamma^3_{23}v_3=\frac{\partial}{\partial\theta}(r\mathrm{sin}\theta V_\varphi)-r\mathrm{cos}\theta V_\varphi \\
&D_3v^3=\frac{\partial v^3}{\partial x^3}+\Gamma^3_{31}v^1+\Gamma^3_{32}v^2=\frac{\partial}{\partial\varphi}\bigl(\frac{V_\varphi}{r\mathrm{sin}\theta}\bigr)
+\frac{V_r}{r}+\frac{\mathrm{cos}\theta}{r\mathrm{sin}\theta}V_\theta \\
&D_3v_3=\frac{\partial v_3}{\partial x^3}-\Gamma^1_{33}v_1-\Gamma^2_{33}v_2=\frac{\partial}{\partial\varphi}(r\mathrm{sin}\theta V_\varphi)
+r\mathrm{sin}^2\theta V_r+\mathrm{sin}^2\theta V_\varphi
\end{split} \notag
\end{equation}
である。これより次の関係が得られる。ベクトルの発散は、
\begin{equation}
\mathrm{div}\boldsymbol{V}=D_iv^i=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2V_r)
+\frac{1}{r\mathrm{sin}\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\mathrm{sin}\theta V_\theta)
+\frac{1}{r\mathrm{sin}\theta}\frac{\partial V_\varphi}{\partial\varphi} \tag*{$(4-27)$}
\end{equation}
ベクトルの回転は、
\begin{equation}
\begin{split}
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)^1=J(D_2v_3-D_3v_2)=\frac{1}{r\mathrm{sin}\theta}\Bigl(\frac{\partial}{\partial\theta}(\mathrm{sin}\theta V_\varphi)
-\frac{\partial V_\theta}{\partial\varphi}\Bigr) \\
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)^2=J(D_3v_1-D_1v_3)=\frac{1}{r^2\mathrm{sin}\theta}\Bigl(\frac{\partial V_r}{\partial\varphi}
-\frac{\partial}{\partial r}(r\mathrm{sin}\theta V_\varphi)\Bigr) \\
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)^3=J(D_1v_2-D_2v_1)=\frac{1}{r^2\mathrm{sin}\theta}\Bigl(\frac{\partial}{\partial r}(rV_\theta)
-\frac{\partial V_r}{\partial\theta}\Bigr) \\
\end{split} \tag*{$(4-28)$}
\end{equation}
となる。物理成分でかくと次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)_r=\frac{1}{r\mathrm{sin}\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\mathrm{sin}\theta V_\varphi)
-\frac{1}{r\mathrm{sin}\theta}\frac{\partial V_\theta}{\partial\varphi} \\
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)_\theta=\frac{1}{r\mathrm{sin}\theta}\frac{\partial V_r}{\partial\varphi}
-\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rV_\varphi) \\
&\bigl(\mathrm{rot}\boldsymbol{V}\bigr)_z=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rV_\theta)-\frac{1}{r}\frac{\partial V_r}{\partial\theta} \\
\end{split} \tag*{$(4-29)$}
\end{equation}
スカラー場のラプラシアンは次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
D_i\bigl(g^{ij}D_j\phi\bigr)&=\frac{\partial}{\partial x^i}\Bigl(g^{ij}\frac{\partial\phi}{\partial x^j}\Bigr)
+\Gamma^i_{ik}g^{kj}\frac{\partial\phi}{\partial x^j} \\
&=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^2\frac{\partial\phi}{\partial r}\bigr)
+\frac{1}{r^2\mathrm{sin}\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(\mathrm{sin}\theta\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\bigr)
+\frac{1}{r^2\mathrm{sin}^2\theta}\frac{\partial^2\phi}{\partial\varphi^2}
\end{split} \tag*{$(4-30)$}
\end{equation}

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4-3. 具体的な曲線座標系（球面座標系）

loop — Mon, 18 Jan 2021 08:22:37 +0000

　半径 $R$ の球の表面である２次元空間を考える。球面上の座標 $(\theta,\varphi)$ は球の中心に原点を持つデカルト座標と次の関係がある。
\begin{equation}
\begin{split}
&X^1=R\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\varphi \\
&X^2=R\mathrm{sin}\theta\mathrm{sin}\varphi \\
&X^3=R\mathrm{cos}\theta
\end{split} \tag*{$(4-31)$}
\end{equation}
この式を微分すると次の関係が得られる。
\begin{equation}
\begin{split}
&dX^1=R\mathrm{cos}\theta\mathrm{cos}\varphi d\theta-R\mathrm{sin}\theta\mathrm{sin}\varphi d\varphi \\
&dX^2=R\mathrm{cos}\theta\mathrm{sin}\varphi d\theta+R\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\varphi d\varphi \\
&dX^3=-R\mathrm{sin}\theta d\theta
\end{split} \tag*{$(4-32)$}
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
\begin{split}
&x^1=\theta \\
&x^2=\varphi
\end{split} \tag*{$(4-33)$}
\end{equation}
とおく。これより、
\begin{equation}
ds^2=R^2d\theta^2+R^2\mathrm{sin}^2\theta d\varphi^2 \notag
\end{equation}
となるので計量テンソルは次のようになる。
\begin{equation}
\bigl[g_{ij}\bigr]=
\begin{bmatrix}
R^2 & 0 \\
0 & R^2\mathrm{sin}^2\theta
\end{bmatrix}
\hspace{10mm}
\bigl[g^{ij}\bigr]=
\begin{bmatrix}
R^{-2} & 0 \\
0 & R^{-2}\mathrm{sin}^{-2}\theta
\end{bmatrix} \tag*{$(4-34)$}
\end{equation}
$\boldsymbol{v}$ の物理成分を $(V_\theta,V_\varphi)$ とおけば、
\begin{equation}
\begin{split}
&v_1=R^2v^1=RV_\theta \\
&v_2=R^2\mathrm{sin}^2v^2=R\mathrm{sin}\theta V_\varphi
\end{split} \tag*{$(4-35)$}
\end{equation}
の関係がある。これより（３－５）式を計算するとゼロでない成分は次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
&\Gamma^1_{22}=-\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\theta \\
&\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=\frac{\mathrm{cos}\theta}{\mathrm{sin}\theta}
\end{split} \tag*{$(4-36)$}
\end{equation}
これから共変微分を計算すると次のようになる。スカラー場に関して、
\begin{equation}
\begin{split}
&D_1\phi=\frac{\partial\phi}{\partial x^1}=\frac{\partial\phi}{\partial\theta} \\
&D_2\phi=\frac{\partial\phi}{\partial x^2}=\frac{\partial\phi}{\partial\varphi} \\
\end{split} \tag*{$(4-37)$}
\end{equation}
ベクトル場に関して、
\begin{equation}
\begin{split}
&D_1v^1=\frac{\partial v^1}{\partial x^1}=\frac{1}{R}\frac{\partial V_\theta}{\partial\theta} \hspace{44mm}
D_1v_1=\frac{\partial v_1}{\partial x^1}=R\frac{\partial V_\theta}{\partial\theta} \\
&D_2v^1=\frac{\partial v^1}{\partial x^2}+\Gamma^1_{22}v^2=\frac{1}{R}\frac{\partial V_\theta}{\partial\varphi}-\frac{\mathrm{cos}\theta}{R}V_\varphi \hspace{15mm}
D_2v_1=\frac{\partial v_1}{\partial x^2}-\Gamma^2_{12}v_2=R\frac{\partial V_\theta}{\partial\varphi}-R\mathrm{cos}\theta V_\varphi \\
&D_1v^2=\frac{\partial v^2}{\partial x^1}+\Gamma^2_{12}v^2=\frac{1}{R\mathrm{sin}\theta}\bigl(\frac{\partial V_\varphi}{\partial\theta}
+\frac{\mathrm{cos}\theta}{\mathrm{sin}\theta}V_\varphi\bigr) \hspace{6mm}
D_1v_2=\frac{\partial v_2}{\partial x^1}-\Gamma^2_{12}v_2=R\mathrm{sin}\theta\bigl(\frac{\partial V_\varphi}{\partial\theta}
-\frac{\mathrm{cos}\theta}{\mathrm{sin}\theta}V_\varphi\bigr) \\
&D_2v^2=\frac{\partial v^2}{\partial x^2}+\Gamma^2_{21}v^1=\frac{1}{R\mathrm{sin}\theta}\bigl(\mathrm{cos}\theta V_\theta
+\frac{\partial V_\varphi}{\partial\varphi}\bigr) \hspace{7mm}
D_2v_2=\frac{\partial v_2}{\partial x^2}-\Gamma^1_{22}v_1=R\mathrm{sin}\theta\bigl(\mathrm{cos}\theta V_\theta+\frac{\partial V_\varphi}{\partial\varphi}\bigr)
\end{split} \notag
\end{equation}
である。これより次の関係が得られる。ベクトルの発散は、
\begin{equation}
\begin{split}
\mathrm{div}\boldsymbol{V}=D_iv^i&=\frac{1}{R}\frac{\partial V_\theta}{\partial\theta}
+\frac{1}{R\mathrm{sin}\theta}\bigl(\mathrm{cos}\theta V_\theta+\frac{\partial V_\varphi}{\partial\varphi}\bigr) \\
&=\frac{1}{R\mathrm{sin}\theta}\bigl(\frac{\partial}{\partial\theta}(\mathrm{sin}\theta V_\theta)+\frac{\partial V_\varphi}{\partial\varphi}\bigr)
\end{split} \tag*{$(4-38)$}
\end{equation}
スカラー場のラプラシアンは次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
D_i\bigl(g^{ij}D_j\phi\bigr)&=\frac{\partial}{\partial x^i}\Bigl(g^{ij}\frac{\partial\phi}{\partial x^j}\Bigr)
+\Gamma^i_{ik}g^{kj}\frac{\partial\phi}{\partial x^j} \\
&=\frac{1}{R^2\mathrm{sin}^2\theta}\Bigl(\mathrm{sin}\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(\mathrm{sin}\theta\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\bigr)
+\frac{\partial^2\phi}{\partial\varphi^2}\Bigr)
\end{split} \tag*{$(4-39)$}
\end{equation}

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5. ベクトルの平行移動

loop — Mon, 18 Jan 2021 08:26:09 +0000

　曲線座標におけるベクトルの平行移動を考える。デカルト座標の場合、ベクトルの平行移動を行ってもベクトルの成分は変わらない。曲線座標の場合、場所によって基底ベクトルが変化するので、一般にベクトルの成分は変化する。
　ベクトル場の微分は座標 $\boldsymbol{x}$ のベクトルと無限小離れた座標 $\boldsymbol{x}+d\boldsymbol{x}$ のベクトルとの比較を行い、その差から計算される。曲線座標の場合、この微分は共変微分である。共変微分がゼロとなるのは $d\boldsymbol{x}$ 平行移動したベクトルがその点におけるベクトルと等しいことを意味している。したがって、ベクトルを平行移動するとベクトルの成分が次の式を満たすように変化する。
\begin{equation}
D_jv^idx^j=\bigl(\frac{\partial v^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}v^k\bigr)dx^j=0 \tag*{$(5-1)$}
\end{equation}
これよりベクトルの成分の変化は、
\begin{equation}
dv^i=-\Gamma^i_{jk}v^kdx^j \tag*{$(5-2)$}
\end{equation}
となる。有限の距離の平行移動はこの式を積分すればよい。点 $p$ におけるベクトルを点 $q$ まで平行移動した場合の変化は、
\begin{equation}
\int_p^qdv^i=-\int_p^q\Gamma^i_{jk}v^kdx^j \tag*{$(5-3)$}
\end{equation}
となる。空間が平たんな場合、この積分は経路によらない。
　ここで、この積分が経路によってどのように変化するかを調べる。まずベクトル $\boldsymbol{v}$ を $x^i$ 座標軸に沿って $dx^i$ 平行移動し、その点を点 $P$ とする。次に $x^j$ 座標軸に沿って $dx^j$ 平行移動した点を $Q$ とした場合のベクトルの反変成分 $v^k$ の変化 $\Delta v^k$ を求める。まず、$x^i$ 座標に沿って $dx^i$ 平行移動すると、ベクトルの成分は、
\begin{equation}
v^k(P)=v^k-\Gamma^k_{il}v^ldx^i \tag*{$(5-4)$}
\end{equation}
となる。ただしここでは添字 $i$ については和をとらないものとする。このベクトルを $x^j$ 座標軸に沿って $dx^j$ 平行移動すると、次のようになる。
\begin{equation}
v^k(Q)=v^k(P)-\Gamma^k_{jl}(P)v^l(P)dx^j \tag*{$(5-5)$}
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
\Gamma^k_{jl}(P)=\Gamma^k_{jl}+\frac{\partial\Gamma^k_{jl}}{\partial x^i}dx^i \tag*{$(5-6)$}
\end{equation}
であるから、（５－５）式に（５－４）式と（５－６）式を代入して次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
v^k(Q)&=v^k-\Gamma^k_{il}v^ldx^i-\bigl(\Gamma^k_{jl}+\frac{\partial\Gamma^k_{jl}}{\partial x^i}dx^i\bigr)
\bigl(v^l-\Gamma^l_{im}v^mdx^i\bigr)dx^j \\
&=v^k-\Gamma^k_{il}v^ldx^i-\Gamma^k_{jl}v^ldx^j+\bigl(-\frac{\partial\Gamma^k_{jl}}{\partial x^i}
+\Gamma^k_{jm}\Gamma^m_{il}\bigr)v^ldx^idx^j
\end{split} \tag*{$(5-7)$}
\end{equation}
次にベクトル $\boldsymbol{v}$ を $x^j$ 座標軸に沿って $dx^j$ 平行移動し、その点を $R$ とする。その後 $x^i$ に沿って $dx^i$ 平行移動して点 $Q$ に達したときの $v^k$ の変化は、上の添字 $ij$ を入れ替えたものであるから、
\begin{equation}
\begin{split}
\Delta v^k&=\Bigl[\bigl(-\frac{\partial\Gamma^k_{jl}}{\partial x^i}+\Gamma^k_{jm}\Gamma^m_{il}\bigr)
-\bigl(-\frac{\partial\Gamma^k_{il}}{\partial x^j}+\Gamma^k_{im}\Gamma^m_{jl}\bigr)\Bigr]v^ldx^idx^j \\
&=\bigl(\frac{\partial\Gamma^k_{il}}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma^k_{jl}}{\partial x^i}
+\Gamma^k_{jm}\Gamma^m_{il}-\Gamma^k_{im}\Gamma^m_{jl}\bigr)]v^ldx^idx^j
\end{split} \tag*{$(5-8)$}
\end{equation}
となる。このカッコの中がゼロであれば、（５－３）式の積分は経路によらない。
　曲線座標で直線に対応する線は測地線とよばれる。今パラメータ $\tau$ を使って測地線を、
\begin{equation}
x^i=x^i(\tau) \tag*{$(5-9)$}
\end{equation}
で表すと、測地線に沿ったベクトルは、
\begin{equation}
v^i=\frac{dx^i}{d\tau} \tag*{$(5-10)$}
\end{equation}
となる。測地線とは、このベクトルが線上で常に平行であるとして定義される。これは平面上の直線ではいつも成り立ち、その素直な拡張と考えられる。ここで $\tau$ を距離 $s$ に選ぶと、このベクトルの長さはつねに $1$ となる。平行移動したときのベクトルの成分の変化は（５－２）式であるから、
\begin{equation}
d\bigl(\frac{dx^i}{ds}\bigr)=-\Gamma^i_{jk}\frac{dx^k}{ds}dx^j \notag
\end{equation}
である。したがって、測地線の方程式は次のようになる。
\begin{equation}
\frac{d^2x^i}{ds^2}+\Gamma^i_{jk}\frac{dx^j}{ds}\frac{dx^k}{ds}=0 \tag*{$(5-11)$}
\end{equation}
平面上の直線は２点間を結ぶ最短の線でもある。ここで定義された測地線も線上の２点間の距離が最小になる線であることが次のようにしてわかる。点 $p$ から点 $q$ までを結ぶ線を、パラメータ $\alpha$ を使って、
\begin{equation}
x^i=x^i_\alpha(s) \tag*{$(5-12)$}
\end{equation}
のようにかき、このパラメータを動かして、
\begin{equation}
\delta\int_p^qds=0 \tag*{$(5-13)$}
\end{equation}
をみたすようにする。（２－１１）式より、
\begin{equation}
ds^2=g_{ij}dx^idx^j \notag
\end{equation}
であるから両辺の変分をとると次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
2ds\delta(ds)&=\delta(g_{ij})dx^idx^j+g_{ij}\delta(dx^i)dx^j+g_{ij}dx^i\delta(dx^j) \\
&=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\delta(x^k)dx^idx^j+2g_{ij}\delta(dx^i)dx^j
\end{split} \tag*{$(5-14)$}
\end{equation}
変分はパラメータ $\alpha$ による変分であるから、
\begin{equation}
\delta x^i=\frac{\partial x^i}{\partial\alpha}\delta\alpha \notag
\end{equation}
である。これより（５－１４）式の右辺は次のように変形できる。
\begin{equation}
\Bigl(\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\frac{\partial x^k}{\partial\alpha}dx^idx^j
+2g_{ij}\frac{\partial dx^i}{\partial\alpha}dx^j\Bigr)\delta\alpha \notag
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
\frac{\partial dx^i}{\partial\alpha}=d\bigl(\frac{\partial x^i}{\partial\alpha}\bigr) \notag
\end{equation}
であるから、さらに次のように変形できる。
\begin{equation}
\Bigl(\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\frac{\partial x^k}{\partial\alpha}dx^idx^j
+2g_{ij}d\bigl(\frac{\partial x^i}{\partial\alpha}\bigr)dx^j\Bigr)\delta\alpha \notag
\end{equation}
これより（５－１４）式から次の式が成り立つ。
\begin{equation}
\delta(ds)=\Bigl[\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\frac{dx^i}{ds}\frac{dx^j}{ds}
\frac{\partial x^k}{\partial\alpha}+g_{ij}\frac{d}{ds}\bigl(\frac{\partial x^i}{\partial\alpha}\bigr)\frac{dx^j}{ds}\Bigr]\delta\alpha ds \notag
\end{equation}
したがって、（５－１３）式の左辺は、点 $p$ と点 $q$ で $\alpha$ による変分がゼロになることより部分積分を使って変形すると、
\begin{equation}
\begin{split}
\delta\int_p^qds
&=\int_p^q\Bigl[\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\frac{dx^i}{ds}\frac{dx^j}{ds}\frac{\partial x^k}{\partial\alpha}
+g_{ij}\frac{d}{ds}\bigl(\frac{\partial x^i}{\partial\alpha}\bigr)\frac{dx^j}{ds}\Bigr]\delta\alpha ds \\
&=\int_p^q\Bigl(\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\frac{dx^i}{ds}\frac{dx^j}{ds}\frac{\partial x^k}{\partial\alpha}
-g_{ij}\frac{\partial x^i}{\partial\alpha}\frac{d^2x^j}{ds^2}
-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\frac{dx^j}{ds}\frac{dx^k}{ds}\frac{\partial x^i}{\partial\alpha}\Bigr)\delta\alpha ds \\
&=-\int_p^q\Bigl[g_{kj}\frac{d^2x^j}{ds^2}+\frac{1}{2}\bigl(\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i}
+\frac{\partial g_{ki}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\bigr)
\frac{dx^i}{ds}\frac{dx^j}{ds}\Bigr]\delta x^kds
\end{split} \notag
\end{equation}
となるので、次の式が成立する。
\begin{equation}
g_{kj}\frac{d^2x^j}{ds^2}+\frac{1}{2}\bigl(\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i}
+\frac{\partial g_{ki}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\bigr)
\frac{dx^i}{ds}\frac{dx^j}{ds}=0 \notag
\end{equation}
この式に $g^{lk}$ をかけると、
\begin{equation}
\frac{d^2x^l}{ds^2}+\Gamma^l_{ij}\frac{dx^i}{ds}\frac{dx^j}{ds}=0 \notag
\end{equation}
であるが、これは測地線方程式（５－１１）式である。したがって、測地線は２点を結ぶ最短距離を結ぶことがわかる。
　測地線の具体的な例として半径 $a$ の球面における測地線を求める。球面のゼロでないクリストッフェルの記号は（４－３６）式であるから、（４－３３）式を考慮すると測地線の方程式は次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
&\frac{d^2\theta}{ds^2}-\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\theta\bigl(\frac{d\varphi}{ds}\bigr)^2=0 \\
&\frac{d^2\varphi}{ds^2}+2\frac{\mathrm{cos}\theta}{\mathrm{sin}\theta}\frac{d\theta}{ds}\frac{d\varphi}{ds}=0
\end{split} \tag*{$(5-15)$}
\end{equation}
下の式の両辺に $d\varphi/ds$ をかけて変形すれば次のようになる。
\begin{equation}
\frac{1}{2}\frac{d}{ds}\bigl(\frac{d\varphi}{ds}\bigr)^2
=-2\frac{\mathrm{cos}\theta}{\mathrm{sin}\theta}\frac{d\theta}{ds}\bigl(\frac{d\varphi}{ds}\bigr)^2
=-\frac{1}{\mathrm{sin}^2\theta}\frac{d}{ds}(\mathrm{sin}^2\theta)\bigl(\frac{d\varphi}{ds}\bigr)^2 \notag
\end{equation}
さらに変形して、
\begin{equation}
\frac{1}{\bigl(\frac{d\varphi}{ds}\bigr)^2}\frac{d}{ds}\bigl(\frac{d\varphi}{ds}\bigr)^2
=-\frac{2}{\mathrm{sin}^2\theta}\frac{d}{ds}(\mathrm{sin}^2\theta) \notag
\end{equation}
となるので、この式の両辺を $s$ で積分すると次のようになる。
\begin{equation}
\mathrm{log}\bigl(\frac{d\varphi}{ds}\bigr)^2=-2\mathrm{log}(\mathrm{sin}^2\theta)+const. \notag
\end{equation}
ただし、右辺第２項は積分定数である。これより、$A$ を定数として次の式が成立する。
\begin{equation}
\frac{d\varphi}{ds}=A\frac{1}{\mathrm{sin}^2\theta} \tag*{$(5-16)$}
\end{equation}
この式を（５－１５）式の上の式に代入すると次のようになる。
\begin{equation}
\frac{d^2\theta}{ds^2}=A^2\frac{\mathrm{cos}\theta}{\mathrm{sin}^3\theta} \notag
\end{equation}
両辺に $d\theta/ds$ をかけて変形すれば次のようになる。
\begin{equation}
\frac{1}{2}\frac{d}{ds}\bigl(\frac{d\theta}{ds}\bigr)^2=A^2\frac{\mathrm{cos}\theta}{\mathrm{sin}^3\theta}\frac{d\theta}{ds}
=-\frac{A^2}{2}\frac{d}{ds}\bigl(\frac{1}{\mathrm{sin}^2\theta}\bigr) \notag
\end{equation}
両辺を積分して変形すれば次式が得られる。
\begin{equation}
\bigl(\frac{d\theta}{ds}\bigr)^2=-A^2\frac{1}{\mathrm{sin}^2\theta}+const. \notag
\end{equation}
ただし、右辺第２項は積分定数であるが、この式は右辺が負になることはないので、測地線の角度が、
\begin{equation}
\mathrm{sin}\theta_0\le\mathrm{sin}\theta\ge\mathrm{sin}(\pi-\theta_0) \notag
\end{equation}
をみたす角度 $\theta_0$ により決まり、次のようになる。
\begin{equation}
\bigl(\frac{d\theta}{ds}\bigr)^2=A^2\bigl[\frac{1}{\mathrm{sin}^2\theta_0}-\frac{1}{\mathrm{sin}^2\theta}\bigr] \tag*{$(5-17)$}
\end{equation}
この方程式に（５－１６）式を使うと次式が得られる。
\begin{equation}
\bigl(\frac{d\theta}{d\varphi}\bigr)^2=\frac{\mathrm{sin}^4\theta}{\mathrm{sin}^2\theta_0}-\mathrm{sin}^2\theta \tag*{$(5-18)$}
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
u=\frac{\mathrm{cos}\theta}{\mathrm{sin}\theta} \notag
\end{equation}
とおけば上の式は次のようにかける。
\begin{equation}
\bigl(\frac{du}{d\varphi}\bigr)^2=\frac{1}{\mathrm{sin}^2\theta_0}-\frac{1}{\mathrm{sin}^2\theta}
=\mathrm{cot}^2\theta_0-u^2 \notag
\end{equation}
これより、
\begin{equation}
\frac{du}{d\varphi}=\pm\sqrt{\mathrm{cot}^2\theta_0-u^2} \notag
\end{equation}
右辺は負の符号をとり両辺を積分すると、
\begin{equation}
\int\frac{du}{\sqrt{\mathrm{cot}^2\theta_0-u^2}}=-\int d\varphi \notag
\end{equation}
となるので積分を実行して、
\begin{equation}
\frac{u}{\mathrm{cot}\theta_0}=-\mathrm{sin}(\varphi-\varphi_0) \notag
\end{equation}
である。したがって次式が得られる。ただし $\varphi_0$ は積分定数である。
\begin{equation}
\begin{split}
\mathrm{cot}\theta&=-\mathrm{cot}\theta_0\mathrm{sin}(\varphi-\varphi_0) \\
&=\mathrm{cot}\theta_0\mathrm{sin}\varphi_0\mathrm{cos}\varphi-\mathrm{cot}\theta_0\mathrm{cos}\varphi_0\mathrm{sin}\varphi
\end{split} \tag*{$(5-19)$}
\end{equation}
この式は球面上の大円を表していることが次のようにしてわかる。半径 $a$ の球面上の座標は、
\begin{equation}
\begin{split}
&x=a\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\varphi \\
&y=a\mathrm{sin}\theta\mathrm{sin}\varphi \\
&z=a\mathrm{cos}\theta
\end{split} \notag
\end{equation}
である。大円は原点を通る平面上にあるが、この方程式は $A$、$B$ を定数として、
\begin{equation}
z=Ax+By \notag
\end{equation}
とかける。これより大円の方程式は、
\begin{equation}
\mathrm{cot}\theta=A\mathrm{cos}\varphi+B\mathrm{sin}\varphi \tag*{$(5-20)$}
\end{equation}
となる。したがって、（５－１９）式は大円の方程式である。

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6．曲率

loop — Mon, 18 Jan 2021 08:25:27 +0000

　ベクトルに対して共変微分を２度行った場合、一般に共変微分の順序によって結果が異なる。まず、ベクトルの反変成分について $x^i$、$x^j$ の順に共変微分を行う。
\begin{equation}
\begin{split}
D_j(D_iv^k)&=\frac{\partial}{\partial x^j}(D_iv^k)-\Gamma^m_{ji}(D_mv^k)+\Gamma^k_{jm}(D_iv^m) \\
&=\frac{\partial}{\partial x^j}\bigl(\frac{\partial v^k}{\partial x^i}+\Gamma^k_{il}v^l\bigr)
-\Gamma^m_{ji}\bigl(\frac{\partial v^k}{\partial x^m}+\Gamma^k_{ml}v^l\bigr)
+\Gamma^k_{jm}\bigl(\frac{\partial v^m}{\partial x^i}+\Gamma^m_{il}v^l\bigr) \\
&=\frac{\partial^2v^k}{\partial x^i\partial x^j}+\frac{\partial\Gamma^k_{il}}{\partial x^j}v^l+\Gamma^k_{il}\frac{\partial v^l}{\partial x^j}
-\Gamma^m_{ji}\bigl(\frac{\partial v^k}{\partial x^m}+\Gamma^k_{ml}v^l\bigr)+\Gamma^k_{jl}\frac{\partial v^l}{\partial x^i}+\Gamma^k_{jm}\Gamma^m_{il}v^l
\end{split} \notag
\end{equation}
この式の右辺は第１・４項及び第３・５項の和が添字 $i,j$ の入れ替えに対して対称であるから、添字 $i,j$ を入れ替えたものとの差をとると次の式が得られる。
\begin{equation}
\begin{split}
D_jD_iv^k-D_iD_jv^k&=\Bigl(\frac{\partial\Gamma^k_{il}}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma^k_{jl}}{\partial x^i}+\Gamma^k_{jm}\Gamma^m_{il}
-\Gamma^k_{im}\Gamma^m_{jl}\Bigr)v^l \\
&=v^l\Bigl(\frac{\partial\Gamma^k_{li}}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma^k_{lj}}{\partial x^i}+\Gamma^m_{li}\Gamma^k_{mj}
-\Gamma^m_{lj}\Gamma^k_{mi}\Bigr)
\end{split} \notag
\end{equation}
この式の左辺は３階のテンソルの成分であるから、右辺はベクトルと４階のテンソルの縮約と考えられる。そこで、
\begin{equation}
{R^k}_{lij}=\frac{\partial\Gamma^k_{li}}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma^k_{lj}}{\partial x^i}+\Gamma^m_{li}\Gamma^k_{mj}
-\Gamma^m_{lj}\Gamma^k_{mi} \tag*{$(6-1)$}
\end{equation}
とかくと、上式は次のようになる。
\begin{equation}
D_jD_iv^k-D_iD_jv^k=v^l{R^k}_{lij} \tag*{$(6-2)$}
\end{equation}
このテンソルは（５－８）式のカッコの中と一致するので（５－８）式は、
\begin{equation}
\Delta v^k={R^k}_{lij}v^ldx^idx^j \tag*{$(6-3)$}
\end{equation}
とかける。ただし、この式では移動の方向を表す添字 $ij$ については和をとらない。
　空間が平坦な場合は大域的なデカルト座標をとることができるので、この式の左辺はゼロとなる。なぜなら、デカルト座標ではベクトルの平行移動は経路によらないからである。したがって、このテンソルもゼロとなる。ある座標系でテンソルのすべての成分がゼロであれば、テンソルの変換によりすべての座標系でゼロとなる。（６－１）式で定義されるテンソル ${R^k}_{lij}$ は、リーマン・クリストッフェルの曲率テンソルとよばれる。定義より、
\begin{equation}
{R^k}_{lij}=-{R^k}_{lji} \tag*{$(6-4)$}
\end{equation}
である。ここで、このテンソルの他の対称性を調べるために次のように４つの成分をすべて共変成分にした表現に変える。
\begin{equation}
\begin{split}
R_{klij}&=g_{kt}{R^t}_{lij}=g_{kt}\Bigl(\frac{\partial\Gamma^t_{li}}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma^t_{lj}}{\partial x^i}
+\Gamma^m_{li}\Gamma^t_{mj}-\Gamma^m_{lj}\Gamma^t_{mi}\Bigr) \\
&=\frac{\partial\Gamma_{kli}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{kt}}{\partial x^j}\Gamma^t_{li}-\frac{\partial\Gamma_{klj}}{\partial x^i}
+\frac{\partial g_{kt}}{\partial x^i}\Gamma^t_{lj}+\Gamma^m_{li}\Gamma_{kmj}-\Gamma^m_{lj}\Gamma_{kmi}
\end{split} \notag
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
\Gamma_{ijk}=g_{il}\Gamma^l_{jk}=\frac{1}{2}\bigl(\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}
+\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}\bigr) \tag*{$(6-5)$}
\end{equation}
\begin{equation}
\Gamma_{ijk}+\Gamma{jik}=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k} \tag*{$(6-6)$}
\end{equation}
を使うと次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
R_{klij}&=\frac{\partial\Gamma_{klj}}{\partial x^j}-(\Gamma_{ktj}+\Gamma_{tkj})\Gamma^t_{li}-\frac{\partial\Gamma_{klj}}{\partial x^i}
+(\Gamma_{kti}+\Gamma_{tki})\Gamma^t_{lj}+\Gamma^m_{li}\Gamma_{kmj}-\Gamma^m_{lj}\Gamma_{kmi} \\
&=\frac{\partial\Gamma_{kli}}{\partial x^j}-\Gamma_{mkj}\Gamma^m_{li}-\frac{\partial\Gamma_{klj}}{\partial x^i}+\Gamma_{mki}\Gamma^m_{lj}
\end{split} \notag
\end{equation}
少し変形して整理すると次式が得られる。
\begin{equation}
R_{klij}=\frac{\partial\Gamma_{kli}}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma_{klj}}{\partial x^i}+\Gamma_{mki}\Gamma^m_{lj}
-\Gamma_{mkj}\Gamma^m_{li} \tag*{$(6-7)$}
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
\frac{\partial\Gamma_{kli}}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma_{klj}}{\partial x^i}
=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial^2g_{ki}}{\partial x^l\partial x^j}-\frac{\partial^2g_{li}}{\partial x^k\partial x^j}
-\frac{\partial^2g_{kj}}{\partial x^l\partial x^i}+\frac{\partial^2g_{lj}}{\partial x^k\partial x^i}\Bigr) \notag
\end{equation}
であるから、このテンソルは次の対称性を持つことがわかる。
\begin{equation}
R_{klij}=-R_{lkij} \tag*{$(6-8)$}
\end{equation}
\begin{equation}
R_{klij}=R_{ijkl} \tag*{$(6-9)$}
\end{equation}
また(６－１）式より次の関係も導かれる。
\begin{equation}
{R^k}_{lij}+{R^k}_{ijl}+{R^k}_{jli}=0 \tag*{$(6-10)$}
\end{equation}
次に、（６－１）式の添字 $kj$ について縮約した次のテンソルを考える。
\begin{equation}
R_{li}={R^k}_{lik}=\frac{\partial\Gamma^k_{li}}{\partial x^k}-\frac{\partial\Gamma^k_{lk}}{\partial x^i}+\Gamma^m_{li}\Gamma^k_{mk}
-\Gamma^m_{lk}\Gamma^k_{mi} \tag*{$(6-11)$}
\end{equation}
このテンソルはリッチのテンソルとよばれ、次に示すように対称テンソルである。この式の右辺第１・３・４項が添字 $l,i$ について対称であることは明らかなので、第２項の対称性について調べる。まず、
\begin{equation}
\begin{split}
\Gamma^k_{lk}&=\frac{1}{2}g^{kt}\bigl(\frac{\partial g_{tl}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{tk}}{\partial x^l}
-\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^t}\bigr) \\
&=\frac{1}{2}\bigl(-\frac{\partial g^{kt}}{\partial x^k}g_{tl}+g^{kt}\frac{\partial g_{tk}}{\partial x^l}
+\frac{\partial g^{kt}}{\partial x^t}g_{lk}\bigr) \\
&=\frac{1}{2}g^{kt}\frac{\partial g_{tk}}{\partial x^l}
\end{split} \notag
\end{equation}
である。ここで計量テンソルの行列式を $g$ とかくと、座標による微分は次のようにかける。
\begin{equation}
\frac{\partial g}{\partial x^l}=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\Delta_{ij}=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}gg^{ij} \notag
\end{equation}
ただし、$\Delta_{ij}$ は要素 $g_{ij}$ の余韻数であり、最後の変形はクラーメルの公式を使った。これを使うと上の式は、
\begin{equation}
\Gamma^k_{lk}=\frac{1}{2g}\frac{\partial g}{\partial x^l}=\frac{\partial}{\partial x^l}\mathrm{log}\sqrt{g} \tag*{$(6-12)$}
\end{equation}
となるので、（６－１１）式の右辺第２項は次のようになる。
\begin{equation}
-\frac{\partial\Gamma^k_{lk}}{\partial x^i}=-\frac{\partial^2}{\partial x^i\partial x^l}\mathrm{log}\sqrt{g} \notag
\end{equation}
これよりリッチのテンソルが対称であることが示された。
　リッチのテンソルから次のスカラー曲率が定義できる。
\begin{equation}
R=g^{ij}g_{ji} \tag*{$(6-13)$}
\end{equation}
　例として半径 $a$ の球面においてこの曲率テンソルを計算する。球面座標の場合、（４－３６）式より、
\begin{equation}
\begin{split}
&\Gamma^1_{22}=-\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\theta \\
&\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=\frac{\mathrm{cos}\theta}{\mathrm{sin}\theta}
\end{split} \notag
\end{equation}
であるから、
\begin{equation}
\begin{split}
&\Gamma_{122}=g_{11}\Gamma^1_{22}=-a^2\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\theta \\
&\Gamma_{212}=\Gamma_{221}=g_{22}\Gamma^2_{12}=a^2\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\theta
\end{split} \notag
\end{equation}
となる。これを使って、（６－７）式を計算する。（６－４）式、（６－８）、（６－９）式の対称性よりゼロでない成分は次のようになる。
\begin{equation}
R_{1212}=\frac{\partial\Gamma_{121}}{\partial x^2}-\frac{\partial\Gamma_{122}}{\partial x^1}+\Gamma_{m11}\Gamma^m_{22}
-\Gamma_{m12}\Gamma^m_{21}=-a^2\mathrm{sin}^2\theta \tag*{$(6-14)$}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{split}
&R^1_{212}=g^{11}R_{1212}=-\mathrm{sin}^2\theta \\
&R^2_{112}=g^{22}R_{2112}=1
\end{split} \tag*{$(6-15)$}
\end{equation}
これよりリッチノテンソルおよびスカラー曲率を計算すると次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
&R_{11}={R^1}_{111}+{R^2}_{112}=1 \\
&R_{22}={R^1}_{221}+{R^2}_{222}=\mathrm{sin}^2\theta
\end{split} \tag*{$(6-16)$}
\end{equation}
\begin{equation}
R=g^{ij}R_{ji}=\frac{1}{a^2}R_{11}+\frac{1}{a^2\mathrm{sin}^2\theta}R_{22}=\frac{2}{a^2} \tag*{$(6-17)$}
\end{equation}
この例からわかるように、球面は平坦な空間でなく曲率テンソルがゼロにならない。
　次に、曲率テンソルについてもう少し調べる。（６－２）式の両辺に $g_{mk}$ をかけて計量テンソルが共変微分と交換できることを使うと次の式が得られる。
\begin{equation}
D_jD_iv_m-D_iD_jv_m=v^lR_{mlij} \notag
\end{equation}
右辺に（６－８）式を使って $ml$ の添字の交換を行い、添字 $m$ を $k$ とかきなおすと次のようになる。
\begin{equation}
D_jD_iv_k-D_iD_jv_k=-v^lR_{lkij}=-v_l{R^l}_{kij} \tag*{$(6-18)$}
\end{equation}
二つのベクトル $\boldsymbol{u}$、$\boldsymbol{v}$ から作られたテンソルに共変微分を行うと、
\begin{equation}
\begin{split}
&D_jD_i(u_kv_l)=D_j\bigl((D_iv_k)v_l+u_k(D_iv_l)\bigr) \\
&=(D_jD_iu_k)v_l+(D_iu_k)(D_jv_l)+(D_ju_k)(D_iv_l)+u_k(D_jD_iv_l)
\end{split} \notag
\end{equation}
となる。これより微分の順番を変えたものを差し引くと次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
&D_jD_i(u_kv_l)-D_iD_j(u_kv_l) \\
&=(D_jD_iu_k-D_iD_ju_k)v_l+u_k(D_jD_iv_l-D_iD_jv_l) \\
&=-u_m{R^m}_{kij}v_l-u_kv_m{R^m}_{lij}
\end{split} \notag
\end{equation}
これよりテンソルに関して次の関係が成り立つ。
\begin{equation}
D_jD_it_{kl}-D_iD_jt_{kl}=-t_{ml}{R^m}_{kij}-t_{km}{R^m}_{lij} \tag*{$(6-19)$}
\end{equation}
ここで、テンソル $t$ とベクトルの共変微分、
\begin{equation}
t_{kl}=D_kv_l \notag
\end{equation}
をとり（６－１９）式に代入して添字 $(k,i,j)$ について循環した式を作ると次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
&D_jD_iD_kv_l-D_iD_jD_kv_l=-(D_mv_l){R^m}_{kij}-(D_kv_m){R^m}_{lij} \\
&D_kD_jD_iv_l-D_jD_kD_iv_l=-(D_mv_l){R^m}_{ijk}-(D_iv_m){R^m}_{ljk} \\
&D_iD_kD_jv_l-D_kD_iD_jv_l=-(D_mv_l){R^m}_{jki}-(D_jv_m){R^m}_{lki}
\end{split} \notag
\end{equation}
この式を足し合わすと、左辺は（６－１８）式を使って次のようになる。
\begin{equation}
\begin{split}
&D_j(D_iD_kv_l-D_kD_iv_l)+D_k(D_jD_iv_l-D_iD_jv_l)+D_i(D_kD_jv_l-D_jD_kv_l) \\
&=-D_k(v_m{R^m}_{lij})-D_i(v_m{R^m}_{ljk})-D_j(v_m{R^m}_{lki})
\end{split} \notag
\end{equation}
一方、右辺は（６－１０）式より第１項の和がゼロとなるから、
\begin{equation}
-(D_kv_m){R^m}_{lij}-(D_iv_m){R^m}_{ljk}-(D_jv_m){R^m}_{lki} \notag
\end{equation}
となる。これより、
\begin{equation}
v_m(D_k{R^m}_{lij}+D_i{R^m}_{ljk}+D_j{R^m}_{lki})=0 \notag
\end{equation}
となる。ここで $v_m$ は任意であるから次の関係が成立する。
\begin{equation}
D_k{R^m}_{lij}+D_i{R^m}_{ljk}+D_j{R^m}_{lki}=0 \tag*{$(6-20)$}
\end{equation}
これはビアンキの恒等式とよばれる。（６－２０）式を添字 $mk$ について縮約すれば、
\begin{equation}
D_k{R^k}_{lij}+D_i{R^k}_{ljk}+D_j{R^k}_{lki}=0 \notag
\end{equation}
となる。（６－８）、（６－１１）式より次のようになる。
\begin{equation}
D_k{R^k}_{lij}+D_iR_{lj}-D_jR_{li}=0 \notag
\end{equation}
さらに $g^{li}$ をかけて縮約すると、
\begin{equation}
D_k(g^{li}{R^k}_{lij})+D_i{R^i}_j-D_jR=0 \notag
\end{equation}
となるが、左辺第１項は、
\begin{equation}
D_k(g^{km}g^{li}R_{mlij})=D_k(g^{km}g^{li}R_{lmji})=D_k(g^{km}R_{mj}) \notag
\end{equation}
と変形できるので次のようになる。
\begin{equation}
2D_i{R^i}_j-D_jR=0 \notag
\end{equation}
添字を挙げて整理すれば次式が得られる。
\begin{equation}
D_i\Bigl(R^{ij}-\frac{1}{2}g^{ij}R\Bigr)=0 \tag*{$(6-21)$}
\end{equation}

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