ベクトル解析入門 - 電磁場解析シミュレーションの株式会社フォトン

1. はじめに

loop — Mon, 22 Mar 2021 01:36:38 +0000

　電磁気学では電場や磁場のようなベクトル量を扱うので、電磁気学の法則は必然的にベクトルやその微分の関係を使って表現されます。このため電磁気学を理解するためにはベクトル解析の知識が必要となるのですが、ベクトル解析を理解するには大学初年度で学ぶ微積分や線形代数の知識が必要なので電磁気学を学ぶ一つの障害となっています。
　ここでは、電磁気学において必要となるベクトル解析を直感的に理解できるよう具体的な例をあげて説明します。電磁場解析において必要となる事柄を理解するのであれば数学的な厳密性にはこだわらず、むしろ具体的なイメージを持つことが重要だと思われます。そのためにベクトル解析の公式を視覚的にとらえることができるように努めました。電磁気学を理解するために必要なベクトル解析がどのようなものであるかがわかっていただけると思います。

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2. 基礎的な準備

loop — Mon, 22 Mar 2021 02:07:13 +0000

　まずベクトルについて基本的な復習をしておきます。ベクトルというのは方向と大きさを持った量で、具体的な例としては力や速度があります。ベクトルを表現するために下のような矢印で表し、向きを矢印の方向、大きさを矢印の長さで表現します。

　ベクトルを表す記号としては太文字や頭に矢印を付けた次のような記号で表します。
\begin{equation}
\boldsymbol{v} \hspace{15mm} \vec{v} \notag
\end{equation}
ここではベクトルを表す文字は太文字とします。
　ベクトルの和や差は下の図に示すように二つのベクトルで作られる平行四辺形の対角線で表されるベクトルになります。

　ベクトルは数との掛け算ができ、例えばベクトル $\boldsymbol{A}$ と数 $a$ との掛け算は $a\boldsymbol{A}$ と表し元のベクトルと方向は同じでベクトルの大きさが $a$ 倍になります。数 $a$ が正の場合は同じ向きで負の場合は逆向きになります。

　二つのベクトルが同じ方向すなわち、
\begin{equation}
\boldsymbol{A}=a\boldsymbol{B} \notag
\end{equation}
とかけるときはこれらのベクトルは従属であり、そうでない場合すなわちどのような数 $a$ でも、上のようにかけず、
\begin{equation}
\boldsymbol{A}\ne a\boldsymbol{B} \notag
\end{equation}
の場合は独立であるといいます。したがって独立なベクトルどうしは異なった方向を向いています。

　次にベクトル空間の次元を考えます。独立なベクトルが一つしかないときは１次元空間といい、独立なベクトルが二つあるときは２次元空間、三つのときは３次元空間といいます。それぞれの空間ではどのようなベクトルも次元の数だけの独立なベクトルの和として表わすことができます。例えば２次元空間では独立なベクトルを $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ とすればこの空間のベクトル $\boldsymbol{V}$ は、
\begin{equation}
\boldsymbol{V}=a\boldsymbol{A}+b\boldsymbol{B} \tag*{$(2-1)$}
\end{equation}
とかけます。ここで $a$ $b$ はベクトルによって一通りに決まる数です。
同様に３次元空間では独立なベクトルを $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{C}$ とすればこの空間内のベクトル $\boldsymbol{V}$ は、
\begin{equation}
\boldsymbol{V}=a\boldsymbol{A}+b\boldsymbol{B}+c\boldsymbol{C} \tag*{$(2-2)$}
\end{equation}
と表すことができます。
　ベクトル空間における座標系を考えると、座標軸の数は空間の次元と一致します。そこで次の図のように座標軸方向に、大きさが $1$ である単位ベクトルを考え、これらのベクトルを基底ベクトルとよびます。

　２次元空間の場合は基底ベクトルの組を $(\boldsymbol{e}_x,\boldsymbol{e}_y)$、また３次元の場合 $(\boldsymbol{e}_x,\boldsymbol{e}_y,\boldsymbol{e}_z)$ とかきます。このようにすればそれぞれの空間に属するベクトルは、
\begin{equation}
\begin{split}
&\boldsymbol{V}=V_x\boldsymbol{e}_x+V_y\boldsymbol{e}_y \\
&\boldsymbol{V}=V_x\boldsymbol{e}_x+V_y\boldsymbol{e}_y+V_z\boldsymbol{e}_z
\end{split} \tag*{$(2-3)$}
\end{equation}
とかくことができます。このように基底ベクトルを導入するとベクトルを特定するためにはこの係数を指定すればよいことになります。そこでこの係数をベクトルの成分とよび２次元の場合は $(V_x,V_y)$、３次元の場合は $(V_x,V_y,V_z)$ とかきます。このようにベクトルを成分で表すとベクトルに関する足し算や引き算は成分の関係として表わすことができます。
\begin{equation}
\begin{split}
&\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=(A_x+B_x)\boldsymbol{e}_x+(A_y+B_y)\boldsymbol{e}_y+(A_z+B_z)\boldsymbol{e}_z \\
&\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}=(A_x-B_x)\boldsymbol{e}_x+(A_y-B_y)\boldsymbol{e}_y+(A_z-B_z)\boldsymbol{e}_z
\end{split} \notag
\end{equation}
成分で表示すると、
\begin{equation}
\begin{split}
&\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=(A_x+B_x,A_y+B_y,A_z+B_z) \\
&\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}=(A_x-B_x,A_y-B_y,A_z-B_z)
\end{split} \tag*{$(2-4)$}
\end{equation}
となります。またベクトルの大きさはベクトルの絶対値とよび $|\boldsymbol{V}|$ とかき次のようになります。
\begin{equation}
|\boldsymbol{V}|=\sqrt{{V_x}^2+{V_y}^2+{V_z}^2} \tag*{$(2-5)$}
\end{equation}
　二つのベクトル $\boldsymbol{A}$ と $\boldsymbol{B}$ の内積 $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}$ は下の図のようにベクトル間の角度を $\theta$ とすれば、

次のように定義できます。
\begin{equation}
\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|\mathrm{cos}\theta \tag*{$(2-6)$}
\end{equation}
この式の右辺はベクトルの成分によってかくことができ、
\begin{equation}
\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z \tag*{$(2-7)$}
\end{equation}
となります。この式は内積の定義式(２－６)式を使って示すことができます。これより内積には次の性質があることが分かります。
\begin{equation}
\begin{split}
&\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{A} \\
&\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})=\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C} \\
&\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}|^2
\end{split} \tag*{$(2-8)$}
\end{equation}
　次に二つのベクトル $\boldsymbol{A}$ と $\boldsymbol{B}$ の外積 $\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}$ を考えます。内積と異なり外積の結果は新しいベクトルになります。下の図のようにベクトルの方向は元のベクトルと垂直であり、$\boldsymbol{A}$ から $\boldsymbol{B}$ へ回したとき右ねじに進む向きとなります。

　またベクトルの大きさは、
\begin{equation}
|\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}|=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|\mathrm{sin}\theta \tag*{$(2-9)$}
\end{equation}
となります。このベクトルの成分は元のベクトルの成分を使って次のように表すことができます。
\begin{equation}
\begin{split}
&[\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}]_x=A_yB_z-A_zB_y \\
&[\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}]_y=A_zB_x-A_xB_z \\
&[\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}]_z=A_xB_y-A_yB_x
\end{split} \tag*{$(2-10)$}
\end{equation}
この関係は外積の定義（２－９）式から導くことができます。これより外積に関して次の関係があることが分かります。
\begin{equation}
\begin{split}
&\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}=-\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{A} \\
&\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})=\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{C} \\
&\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{A}=0
\end{split} \tag*{$(2-11)$}
\end{equation}
このように成分を使って表すとベクトルの計算がいちいち図をかかなくてもできるので便利です。ここで和の記号を使うために成分の添字記号 $x$ $y$ $z$ を数字の $1$ $2$ $3$ とします。これよりベクトルを成分で表す場合、
\begin{equation}
\begin{split}
\boldsymbol{V}&=V_x\boldsymbol{e}_x+V_y\boldsymbol{e}_y+V_z\boldsymbol{e}_z \\
&=V_1\boldsymbol{e}_1+V_2\boldsymbol{e}_2+V_3\boldsymbol{e}_3 \\
&=\sum_{i=1}^3V_i\boldsymbol{e}_i
\end{split} \tag*{$(2-12)$}
\end{equation}
とかけます。また内積は次のようになります。
\begin{equation}
\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}=\sum_{i=1}^3A_iB_i \tag*{$(2-13)$}
\end{equation}
直交座標の場合基底ベクトルの内積は次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
&\boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{e}_1=\boldsymbol{e}_2\cdot\boldsymbol{e}_2=\boldsymbol{e}_3\cdot\boldsymbol{e}_3=1 \\
&\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{e}_j=0 \hspace{10mm} (i\ne j)
\end{split} \tag*{$(2-14)$}
\end{equation}
これより例えば、
\begin{equation}
\begin{split}
\boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{V}&=\boldsymbol{e}_1\cdot(V_1\boldsymbol{e}_1+V_2\boldsymbol{e}_2+V_3\boldsymbol{e}_3) \\
&=V_1\boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{e}_1+V_2\boldsymbol{e}_2\cdot\boldsymbol{e}_1+V_3\boldsymbol{e}_3\cdot\boldsymbol{e}_1 \\
&=V_1
\end{split} \tag*{$(2-15)$}
\end{equation}
となるのでベクトルの成分は次のように表すことができます。
\begin{equation}
V_i=\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{V} \tag*{$(2-16)$}
\end{equation}
これを使うとベクトルを成分でかいた（２－１２）式は次のようにかけます。
\begin{equation}
\boldsymbol{V}=\sum_{i=1}^3(\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{V})\boldsymbol{e}_i \tag*{$(2-17)$}
\end{equation}
　ベクトルの復習はひとまずこれで終えて次に微分と積分について復習します。次のような関数の勾配を考えます。
\begin{equation}
y=f(x) \tag*{$(2-18)$}
\end{equation}
区間 $[x,x+h]$ における平均の勾配は次のように表すことができます。
\begin{equation}
平均勾配=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \tag*{$(2-19)$}
\end{equation}

　この区間を狭めていき区間幅$h$をゼロに近づけてゆけば座標 $x$ における勾配が求まります。この勾配のことを関数の座標 $x$ における微係数とよび次のようにかきます。
\begin{equation}
勾配=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{d}{dx}f(x) \tag*{$(2-20)$}
\end{equation}
この勾配も座標 $x$ の関数となっていますのでこれを導関数とよんでいます。微分はとっつきにくいと思われる方もおられますが、このように関数の勾配と考えれば素直に理解できると思います。
　微分に関するここまでは高校の数学で学んだ内容ですが、次に２変数の関数を考えます。
\begin{equation}
z=f(x,y) \tag*{$(2-21)$}
\end{equation}
このとき、この関数の勾配といっても一通りには決まりません。勾配は一定の距離進んだとき関数の値がどう変化するかということであり、１変数の場合はこの方向は決まっていました。ところが２変数の場合変数の動く空間は２次元なので関数の勾配を考えるためには方向を指定してやる必要があります。そこで次の二方向の勾配を考えます。
\begin{equation}
\begin{split}
&x方向の平均勾配=\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} \\
&y方向の平均勾配=\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}
\end{split} \notag
\end{equation}
１変数の場合と同様に平均をとる区間を小さくした極限で座標 $(x,y)$ における２種類の勾配が求まります。この勾配を求める操作を偏微分とよび次のようにかきます。
\begin{equation}
\begin{split}
&\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} \\
&\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}
\end{split} \tag*{$(2-22)$}
\end{equation}
例えでいえば山の中腹に立った時、東向き（$x$ 方向）の勾配と北向き（$y$ 方向）の勾配を求める操作が偏微分ということになります。ところでこの場合東向きや北向きが一番きつい勾配であるとは限りません。私たちが普段使っている勾配とは、この地点にボールを置いたときボールが転がる方向であり、その方向の高さの変化を指しています。それではこの勾配と先に求めた $x$ 方向、$y$ 方向の勾配である偏微分はどのような関係があるのでしょうか。
　それを見るために山の斜面が平面であるとみなせるぐらい小さな領域を考えます。地球は球面なので地図を作るにはそのことを考える必要があるのですが、家の近所の地図を作るのであれば平面にかいてやればよいのと同じで、なめらかな曲面では十分小さな領域は平面とみなすことができます。
　平面は３点を与えれば求めることができます。ここで平面の方程式を、
\begin{equation}
z=f(x,y)=ax+by+c \tag*{$(2-23)$}
\end{equation}
とします。ここで３点の座標として $(x_0,y_0)$ $(x_0+\Delta x,y_0)$ $(x_0,y_0+\Delta y)$ をとると上の式はそれぞれ次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
&f(x_0,y_0)=ax_0+by_0+c \\
&f(x_0+\Delta x,y_0)=a(x_0+\Delta x)+by_0+c \\
&f(x_0,y_0+\Delta y)=ax_0+b(y_0+\Delta y)+c
\end{split} \notag
\end{equation}
これより（２－２３）式の係数が次のように求まります。
\begin{equation}
\begin{split}
&a=\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}\Rightarrow\frac{\partial f}{\partial x} \\
&b=\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}\Rightarrow\frac{\partial f}{\partial y} \\
&c=f(x_0,y_0)-\frac{\partial f}{\partial x}x_0-\frac{\partial f}{\partial y}y_0
\end{split} \tag*{$(2-24)$}
\end{equation}
したがって（２－２３）式は次のようにかけます。
\begin{equation}
f(x,y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(y-y_0) \tag*{$(2-25)$}
\end{equation}
この式を見ると座標 $(x_0,y_0)$ から $(x,y)$ に移動したときの変化率がこの式の右辺の第２項第３項で表されていることが分かります。そこで移動ベクトル、
\begin{equation}
\boldsymbol{r}=(x-x_0,y-y_0) \tag*{$(2-26)$}
\end{equation}
と勾配ベクトル、
\begin{equation}
\boldsymbol{g}=\bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\bigr) \tag*{$(2-27)$}
\end{equation}
を導入すると、変化はこのベクトルの内積によって表わすことができます。
\begin{equation}
f(x,y)=f(x_0,y_0)+\boldsymbol{g}\cdot\boldsymbol{r} \tag*{$(2-28)$}
\end{equation}
関数が変化しない方向は、
\begin{equation}
\boldsymbol{g}\cdot\boldsymbol{r}=0 \tag*{$(2-29)$}
\end{equation}
であり等高線の方向と一致します。したがってベクトル $\boldsymbol{g}$ は等高線と直交する方向、すなわち最も勾配が急な方向を向いていることが分かります。

　ここで述べたことはそのまま３変数関数に拡張することができます。３変数関数の場合（２－２５）式は次のようになります。
\begin{equation}
f(x,y,z)=f(x_0,y_0,z_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(y-y_0)
+\frac{\partial f}{\partial z}(z-z_0) \tag*{$(2-30)$}
\end{equation}
この関数の具体例は３次元空間に分布する温度や密度です。このとき勾配ベクトルと移動ベクトルはそれぞれ次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
&\boldsymbol{g}=\bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\bigr) \\
&\boldsymbol{r}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)
\end{split} \tag*{$(2-31)$}
\end{equation}
このときは、
\begin{equation}
\boldsymbol{g}\cdot\boldsymbol{r}=0 \tag*{$(2-32)$}
\end{equation}
をみたす点は等高面となります。一般的には、
\begin{equation}
\mathrm{grad}f\equiv\bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\bigr) \tag*{$(2-33)$}
\end{equation}
を関数 $f$ の勾配ベクトルとよんでいます。先ほどの温度や密度の拡散は経験的には一番大きな勾配方向つまり $\mathrm{grad}f$ の方向であることが知られています。
　次に積分に移ります。関数、
\begin{equation}
y=f(x) \tag*{$(2-34)$}
\end{equation}
の区間 $[a,b]$ における定積分を次のようにかきます。
\begin{equation}
\int_a^bf(x)dx \notag
\end{equation}
この積分は積分区間で横軸 $x$ 軸と、縦軸 $y$ 軸で表される関数値とで囲まれる面積となります。この面積を求めるには、次の図に示すように区間 $[a,b]$ を $n$ 等分し幅 $h$ の小区間に分割しその区間の端点における関数の値と区間幅 $h$ をかけて長方形の面積を出し、その長方形を足し合わせます。

　この長方形の面積の和は、
\begin{equation}
\sum_{i=1}^nf(x_i)h \notag
\end{equation}
となります。ただし図から分かるようにこれは $x$ 軸と関数 $f(x)$ に囲まれた面積と一致しませんが、分割数を大きくして分割幅 $h$ を小さくすればするほど近づきゼロとなる極限をとれば一致します。これより積分値は次のようにして計算できます。
\begin{equation}
\int_a^bf(x)dx=\lim_{h\rightarrow 0}\sum_{i=1}^nf(x_i)h \notag
\end{equation}
この方法を区分求積法とよんでいます。
　具体的な例を示します。長さ $10\mathrm{\,cm}$ の細い糸があり $1\mathrm{\,cm}$ あたりの重さが $0.2 \mathrm{\,g}$ とするとこの糸の重さは $2\mathrm{\,g}$ となります。
糸を横にまっすぐ伸ばして置き左端を原点とし糸の方向に $x$ 軸をとると糸の重さは積分を使って次のようにかけます。
\begin{equation}
糸の重さ=\int_0^{10}0.2dx=2 \notag
\end{equation}
このとき積分される関数は $1\mathrm{\,cm}$ あたりの糸の重さであり一定なので、この積分はこれと積分区間を掛け合わせることによって簡単に求まったのです。もし糸の単位長さ当たりの重さ、すなわち線密度が場所によって異なっていたらこのように簡単にはいきません。例えばこの線密度を表す関数が、
\begin{equation}
f(x)=0.02x+0.1 \notag
\end{equation}
とすれば上の積分は次のようになります。
\begin{equation}
\int_0^{10}(0.02x+0.1)dx=\bigl[0.02\times\frac{1}{2}x^2+0.1x\bigr]_0^{10}=2 \notag
\end{equation}
この程度であれば高校で習った積分の知識があれば十分できます。ところが糸の線密度がもっと複雑な関数であった場合はどうでしょうか。高校の知識では計算できない場合があります。積分が難しいと感じるのはこのように積分を具体的に計算するときです。積分の教科書にはこのような積分を行うための多くのテクニックがかかれておりそれを習得するのが大変だからです。
　今後は積分を具体的に計算することがないのでこのようなテクニックを使うことはありません。むしろ積分が意味していることを直感的に理解するのが重要だと思われます。今述べた例の場合は糸の線密度が関数として与えられておりそれを積分したものは糸の重さになります。
　次に２変数関数の定積分を考えます。
\begin{equation}
\int_c^d\int_a^bf(x,y)dxdy=\int_c^d\bigl[\int_a^bf(x,y)dx\bigr]dy \notag
\end{equation}
この積分は積分の中に積分が入っている形をしているので２重積分といいます。まず $y$ 座標が決まっている場合は次の積分ができます。
\begin{equation}
g(y)=\int_a^bf(x,y)dx \notag
\end{equation}
この積分は変数 $x$ による１変数の積分なので計算でき結果的に $y$ の関数である左辺が求まります。次にこの関数を $y$ で積分すれば上の２変数関数の積分が求まります。
\begin{equation}
\int_c^d\int_a^bf(x,y)dxdy=\int_c^dg(y)dy \notag
\end{equation}
このように１変数の積分では面積が求まったのですが２変数関数の積分では座標面 $xy$ と $z$ 軸で表される関数値の間の体積が求まることになります。ここで積分される範囲は $x$ 座標の区間 $[a,b]$ と $y$ 座標の区間 $[c,d]$ で囲まれる長方形の領域となります。先ほどの糸の重さの例と同様に考えるとこの座標面に置かれた薄い平板の面密度は座標 $xy$ の関数となるので２重積分を行うことによって重さが求まります。
　同様にして３変数関数の積分は、
\begin{equation}
\int_e^f\int_c^d\int_a^bf(x,y,z)dxdydz \notag
\end{equation}
とかき３重積分といいます。ここで積分される領域すなわち $x$ 座標の区間 $[a,b]$、$y$ 座標の区間 $[c,d]$ そして $z$ 座標の区間 $[e,f]$ で囲まれた直方体の中に物体があり、その物体の密度をこの関数が表しているとすればこの積分はこの物体の重さになります。
　ここまでの話はそれほど飛躍がなかったと思います。電磁気であらわれる積分はたいていこの３重積分までですが、積分区間が直線ではなく曲線上の積分や平面上の積分や球面のような曲面上の積分が必要になるので、次にその話をします。
　最初１変数の積分では $x$ 軸上の積分を考えたのですが、例で取り上げた糸が直線ではなく曲がっている場合、この糸の重さをどう求めたらよいでしょうか。この場合は糸の端点からの距離を糸の各点に対応付けてパラメータとします。これが $x$ 座標に対応しているのでこのパラメータを $s$ とかくとこのパラメータによる積分となります。
\begin{equation}
\int_a^bf(s)ds \notag
\end{equation}
ここでの積分範囲を表す文字 $a$ $b$ は座標の値ではなくこのパラメータの値となります。この積分は $x$ 軸上の積分を区間を細かく分割してそれぞれの小区間で関数値と区間の長さをかけたものの和を求め、分割された区間の長さがゼロとなる極限から求めるという区分求積法と同じ方法で求めることができます。
　次の図に示すように積分する線を小区間に分割し、端部からはかった距離であるパラメータ $s$ が $a$ である点から $b$ である点まで関数値とこの小区間の長さ $\Delta s$ をかけて足し合わせます。そのあとで $\Delta s$ をゼロにする極限をとります。
\begin{equation}
\int_a^bf(s)ds=\lim_{\Delta s\rightarrow 0}\sum_if(s_i)\Delta s \notag
\end{equation}

　輪ゴムのようなループ状のものであれば一周だけ積分します。このような積分を周回積分とよび次のように表します。
\begin{equation}
\oint f(s)ds \notag
\end{equation}
電磁気学ではこのように曲線上で積分することが多々あります。例えば電線内での電圧降下を計算する場合、直線電流でない限り電線に沿った電場を曲線上で積分する必要があります。また磁束が変化したときにはその周りに電圧が発生しますがその電圧は磁束を取り囲む電場を周回積分したものになります。
　次に２重積分の場合ですが、積分領域が平面でない場合があります。例えば薄いゴムでできた半径 $R$ のボールの重さを求めるには、ゴムの厚みと密度の積をゴムの表面で積分してやる必要があります。

　このような積分を次のようにかきます。
\begin{equation}
\iint_S\rho hdS \notag
\end{equation}
ここで $\rho$ はゴムの密度、$h$ はゴムの厚みで一般にはボール表面の場所の関数です。もしこれらが一定であれば上の積分は簡単に次のようになります。
\begin{equation}
\iint_S\rho hdS=4\pi R^2\rho h \notag
\end{equation}
ここで積分記号の下についている記号 $S$ は積分領域つまりボールの球面を表しています。また $dS$ は面積分の面素を表しており $xy$ 面上の積分のときの $dxdy$ に対応しています。

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3. クーロンの法則と発散

loop — Mon, 22 Mar 2021 04:24:33 +0000

　まず電磁気学の基本的な法則であるクーロンの法則から始めます。この法則では電荷 $q$ が距離 $r$ 離れたところに作る電場 $E$ は次のようになります。
\begin{equation}
E=\frac{q}{4\pi\epsilon_0r^2} \tag*{$(3-1)$}
\end{equation}
ここに $\epsilon_0$ は真空中の誘電率です。この式は電場の大きさだけの関係を表していますが電場は方向を持ったベクトル量です。一つの電荷の作る電場の方向はこの電荷から放射状に広がる方向です。そこで電荷が原点にあるとして電場を測定する場所の位置ベクトルを太文字 $\boldsymbol{r}$ で表すと電場の方向はこの方向と一致するので電場ベクトルは次のようにかけます。
\begin{equation}
\boldsymbol{E}=\frac{q}{4\pi\epsilon_0r^2}\frac{\boldsymbol{r}}{r} \tag*{$(3-2)$}
\end{equation}
この電場は当然のことですが測定する位置によって変化しますので位置の関数と考えることができます。このようにベクトルが場所ごとに分布していることをベクトル場とよび、電場という言葉もこれによるものです。
　私たちが日ごろ経験するベクトル場としては空気の流れである風や水の流れがあります。これらの速度も場所によってベクトルとして分布しているので速度場と考えることができます。ここで水の流れについて考えます。非常に大きな水槽の真ん中にあるホースの口から毎秒 $w$ リットルの水が流れ出しているとき、水はこの口から放射状に流れ出します。

　ここでは話をややこしくしないためにホースは非常に細く水の流れに影響しないものとします。水の流れはホースの口を中心とした球面から垂直に流れだすので、距離 $r$ 離れた場所では球面の面積と流速 $v$ の積がホースの口から流入する水の量と一致します。
\begin{equation}
4\pi r^2v=w \tag*{$(3-3)$}
\end{equation}
これよりホースの口から距離 $r$ 離れた場所の流速は次のようにかけます。
\begin{equation}
v=\frac{w}{4\pi r^2} \tag*{$(3-4)$}
\end{equation}
ベクトルでかくと、
\begin{equation}
\boldsymbol{v}=\frac{w}{4\pi r^2}\frac{\boldsymbol{r}}{r} \tag*{$(3-5)$}
\end{equation}
です。ここに $\boldsymbol{r}$ はホースの口を原点としたときの流速を測定する場所の位置ベクトルです。
　この式を見ると電場に関するクーロンの法則（３－２）式と同じ形をしています。電場ベクトルに対応するのが流速ベクトル、電荷を真空中の誘電率で割ったものがホースの口から単位時間に流れ出す水の量に対応しています。
\begin{equation}
\begin{split}
&\boldsymbol{E} \hspace{10mm} \leftrightarrow \hspace{11mm} \boldsymbol{v} \\
&\frac{q}{\epsilon_0} \hspace{10mm} \leftrightarrow \hspace{10mm} w
\end{split} \notag
\end{equation}
この対応が成り立つのは水の密度が場所によって変化しないからで、そうでなければ半径 $r$ の球の領域に流入した水の量と球面から流出する水の量は等しくなりません。これより電場分布は密度が変化しない水の流速分布におきかえて考えることができます。このおきかえによってクーロンの法則の違った見方ができます。
　原点から半径 $r$ の球とその中心に置かれたホースの口について考えてきたのですが、ここでホースの口を原点からずらしたときにどうなるかを考えます。この場合水の流れはもはや原点から放射状に広がる（３－５）式のような分布にはなりません。しかしこの場合も球の表面から流れ出る水量が $w$ であることは変わりません。
平面から単位面積当たり垂直に流れ出る単位時間の水の量は流速と一致しますが、流れがこの面と垂直でない場合はこの面の単位法線ベクトル $\boldsymbol{n}$ と流速ベクトルのなす角度 $\theta$ とすれば、
\begin{equation}
|\boldsymbol{v}||\boldsymbol{n}|\mathrm{cos}\theta\Delta S=\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}\Delta S \notag
\end{equation}
の量の水が図のように面 $\Delta S$ から流出することになります。

　したがってこの球面から流出する水の量はこれを球面で面積分したものと一致します。
\begin{equation}
\int_S\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}dS=w \tag*{$(3-6)$}
\end{equation}
これがホースの口が原点にあるときの（３－３）式に対応する式になりますが、ホースの口がこの球の内部であればどこでもよく一般的な式になっています。さらに考えている領域の形状は球に限らず閉じた面で囲まれていれば水の流入と流出の収支を表す式として常に成立します。領域の中にホースの口が一つではなく複数個あった場合も流入の収支を考えればホースの口から出る水の量を足し合わせたものが右辺の $w$ になることが分かります。電場について対応する式をかくと次のようになります。
\begin{equation}
\int_S\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{n}dS=\frac{q}{\epsilon_0} \tag*{$(3-7)$}
\end{equation}
考えている積分面 $S$ に囲まれている体積領域 $V$ に複数の電荷がある場合はこの式の右辺の電荷 $q$ はそれらの和と考えることができます。さらに電荷が連続的に分布している場合は電荷の総量すなわち電荷密度 $\rho$ の体積積分として表わすことができます。
\begin{equation}
\int_S\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{n}dS=\int_V\frac{\rho}{\epsilon_0}dV \tag*{$(3-8)$}
\end{equation}
この式は閉じた領域であればどのような形状についても成立し、クーロンの法則（３－２）式の異なった表現です。
　もう少しこの式を調べるために体積領域 $V$ をこの内部の断面 $S_I$ で切り離して二つの領域に分割します。

　分割された領域を $V_1$ $V_2$ としそれを取り囲む面を $S_1$ $S_2$ とすればこれらの領域についても次の式が成り立ちます。
\begin{equation}
\begin{split}
&\int_{S_1}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{n}dS=\int_{V_1}\frac{\rho}{\epsilon_0}dV \\
&\int_{S_2}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{n}dS=\int_{V_2}\frac{\rho}{\epsilon_0}dV
\end{split} \tag*{$(3-9)$}
\end{equation}
これらの式の右辺は体積積分ですから、
\begin{equation}
\int_V\frac{\rho}{\epsilon_0}dV=\int_{V_1}\frac{\rho}{\epsilon_0}dV+\int_{V_2}\frac{\rho}{\epsilon_0}dV \tag*{$(3-10)$}
\end{equation}
が成立します。したがって左辺も次のような和の形でかける必要があります。
\begin{equation}
\int_S\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{n}dS=\int_{S_1}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{n}dS+\int_{S_2}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{n}dS \tag*{$(3-11)$}
\end{equation}
この式が成立することは次のように考えれば理解できます。面積分の領域 $S$ は領域を分割することによって二つの面 $S_a$ $S_b$ に分割されます。（３－９）式の左辺にあらわれる面積分の領域はこれらの面と断面 $S_I$ により、
\begin{equation}
\begin{split}
&S_1=S_a+S_I \\
&S_2=S_b+S_I
\end{split} \tag*{$(3-12)$}
\end{equation}
です。ところでこれらの積分の断面 $S_I$ の寄与はその法線ベクトルが両者で逆を向いているのでキャンセルして面積分の和に寄与せずこのような分割が可能になります。さらに積分領域をもっと多くの小領域の和として表わすことができます。
\begin{equation}
\sum_n\int_{S_n}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{n}dS=\sum_n\int_{V_n}\frac{\rho}{\epsilon_0}dV \tag*{$(3-13)$}
\end{equation}
この式の右辺は（３－８）式の右辺を体積領域 $V_n$ に分割したもので、左辺の面積分 $S_n$ はこの体積領域を取り囲む境界面です。
　少し式が複雑そうになってきましたが言っていることは簡単なことです。（３－８）式の領域をいくつかの領域に分割したときそれぞれの領域について、
\begin{equation}
\int_{S_n}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{n}dS=\int_{V_n}\frac{\rho}{\epsilon_0}dV \tag*{$(3-14)$}
\end{equation}
が成り立つのですが、単純に左辺と右辺を足し合わせた（３－１３）式も成り立つということです。これが成立するのは最初の領域 $V$ の境界面以外の内部にできた面での積分がすべてキャンセルしてなくなってしまうからです。
　さて、なぜこのような面倒くさいことをくどくどと言っているかというともう少しこの式を簡単に表現したいからです。小学生のころ図形の面積を求めるのに方眼紙の上に三角や、円を描きその図形に含まれるマス目を勘定したことがあるかと思いますがそれと同じことをしようとしているのです。このようにして求めた面積は図形の境界線が通るマス目をどう勘定するかによって異なりますので正しい面積からは少しずれますが大まかな面積は求まります。小学校のときには行いませんが方眼紙のマス目の大きさをどんどん小さくしていくと正しい面積に近づきます。
　ここで考えている領域は３次元ですから $x$ 軸を幅 $\Delta x$ に分割し、同じように $y$ 軸と $z$ 軸をそれぞれ区間 $\Delta y$ $\Delta z$ で分割し領域に含まれる小さな直方体の和として領域を分割することを考えます。もちろんこのような分割では領域の境界面を含む直方体をどうするかという問題がありますが、面積を求めるときにマス目の大きさを小さくしていったようにこの直方体の大きさを小さくした極限を考えればよいと考えます。ここで、$x$ 方向の区間 $[a,a+\Delta x]$、$y$ 方向の区間 $[b,b+\Delta y]$、$z$ 方向の区間 $[c,c+\Delta z]$ で囲まれた直方体について考えます。この領域で（３－１４）式の左辺を考えると面積分はこの直方体の六つの面に分割することができます。まず面 $x=a$ ではこの面の単位法線ベクトル $(-1,0,0)$ とこの面の中心における電場 $\boldsymbol{E}(a,b+\Delta y/2,c+\Delta z/2)$ から積分は次のようになります。
\begin{equation}
-E_x\bigl(a,b+\frac{\Delta y}{2},c+\frac{\Delta z}{2}\bigr)\Delta y\Delta z \notag
\end{equation}
ここでは非常に小さな領域を考えているので面の内部では電場の変化が一定であり、面積分を面の中心の値に面積をかけたものとしています。

　次に、面 $x=a+\Delta x$ ではこの面の単位法線ベクトル $(1,0,0)$ とこの面の中心における電場 $\boldsymbol{E}(a+\Delta x,b+\Delta y/2,c+\Delta z/2)$ から積分は次のようになります。
\begin{equation}
E_x\bigl(a+\Delta x,b+\frac{\Delta y}{2},c+\frac{\Delta z}{2}\bigr)\Delta y\Delta z \notag
\end{equation}
したがって両者の和は、
\begin{equation}
\begin{split}
&\bigl[E_x\bigl(a+\Delta x,b+\frac{\Delta y}{2},c+\frac{\Delta z}{2}\bigr)-E_x\bigl(a,b+\frac{\Delta y}{2},c+\frac{\Delta z}{2}\bigr)\bigr]\Delta y\Delta z \\
&=\frac{E_x\bigl(a+\Delta x,b+\frac{\Delta y}{2},c+\frac{\Delta z}{2}\bigr)-E_x\bigl(a,b+\frac{\Delta y}{2},c+\frac{\Delta z}{2}\bigr)}{\Delta x}
\Delta x\Delta y\Delta z
\end{split} \notag
\end{equation}
となります。この式の右辺は区間 $\Delta x$ をゼロに近づけた極限において変数 $x$ による偏微分となるので次のようにかくことができます。
\begin{equation}
\frac{\partial E_x}{\partial x}\Delta x\Delta y\Delta z \notag
\end{equation}
同様にして面 $y=b$ と面 $b+\Delta y$ についての積分は、
\begin{equation}
\frac{\partial E_y}{\partial y}\Delta x\Delta y\Delta z \notag
\end{equation}
面 $z=c$ と面 $c+\Delta z$ についての積分は、
\begin{equation}
\frac{\partial E_z}{\partial z}\Delta x\Delta y\Delta z \notag
\end{equation}
となるので、結局（３－１４）式の左辺は次のようになります。
\begin{equation}
\int_{S_n}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{n}dS=\bigl(\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}\bigr)
\Delta x\Delta y\Delta z \tag*{$(3-15)$}
\end{equation}
これより（３－１３）式の左辺はこの右辺の和として次のように表すことができます。
\begin{equation}
\sum_n\int_{S_n}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{n}dS
=\sum_n\bigl(\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}\bigr)\Delta x\Delta y\Delta z \tag*{$(3-16)$}
\end{equation}
ここで右辺の和は領域に含まれる微小な直方体すべてについてとり、微分はこれらの直方体の中心における値です。したがって、直方体の大きさをゼロに近づけた極限において体積積分となります。また（３－１６）式の左辺は（３－８）式の左辺と等しいことから次の関係が成立します。
\begin{equation}
\int_S\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{n}dS=\int_V\bigl(\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}\bigr)dV \tag*{$(3-17)$}
\end{equation}
この式の左辺は面積分であり、右辺は体積積分となっており一般のベクトル場について成り立つ関係です。この関係式をガウスの発散定理と呼んでいます。
　水や空気の流速ベクトルの場合もこの関係は成り立ち、次のようにかけます。
\begin{equation}
\int_S\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}dS=\int_V\bigl(\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}\bigr)dV \tag*{$(3-18)$}
\end{equation}
この式の左辺はこの領域から単位時間に流れ出る流量すなわち発散を表していることから定理の名前となっています。先ほどのホースの口から水が流れ込む例ではこの右辺の被積分関数は、単位体積中にホースから流れ込む水の量を表していることになります。したがって、これを
\begin{equation}
\mathrm{div}\boldsymbol{v}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z} \tag*{$(3-19)$}
\end{equation}
とかき、ベクトルの発散とよんでいます。これを使うとガウスの発散定理は次のようにかけます。
\begin{equation}
\int_V\mathrm{div}\boldsymbol{v}dV=\int_S\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}dS \tag*{$(3-20)$}
\end{equation}
　クーロンの法則に戻って（３－８）式はこの定理を使って左辺をかきなおすと、
\begin{equation}
\int_V\mathrm{div}\boldsymbol{E}dV=\int_V\frac{\rho}{\epsilon_0}dV \tag*{$(3-21)$}
\end{equation}
となりますが、この積分領域はどのような領域をとっても構わないので次の式が得られます。
\begin{equation}
\mathrm{div}\boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0} \tag*{$(3-22)$}
\end{equation}
左辺は（３－１９）式のように表わされるのでこの式はクーロンの法則を微分の関係として表現したものとなります。静的な電場の場合この式から（３－２）式が導かれます。

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4. アンペールの法則と回転

loop — Mon, 22 Mar 2021 05:04:44 +0000

　ガウスの定理では面積分と体積積分が等しいという関係でしたが、この定理は２次元の場合でも同じように成り立ちます。
\begin{equation}
\oint\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}dl=\int_S\bigl(\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}\bigr)dxdy \tag*{$(4-1)$}
\end{equation}
左辺の積分は面領域 $S$ の境界を一周する周回積分で、ベクトル場 $\boldsymbol{v}$ の法線成分を積分しています。それでは、次のように境界面の接線成分を積分すればどうなるでしょうか。
\begin{equation}
\oint\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl \notag
\end{equation}
ここでベクトル $\boldsymbol{t}$ は積分する境界線にそった単位ベクトルです。
　電磁気学の基本的な法則にアンペールの法則があります。これは電流があればその周りに電流を取り囲むように回転する磁場 $\boldsymbol{H}$ が発生するという法則で、式でかくと次のようになります。
\begin{equation}
\oint_C\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{t}dl=i \tag*{$(4-2)$}
\end{equation}
ここで左辺の積分は電流 $i$ が流れている領域を取り囲む線 $C$ での周回積分でちょうど上で出てきた接線成分の積分となっています。

　電流と言えば電線を流れる線状のものというイメージが強いですが、ここでは導体内部を分布して流れるものを想定しています。そうしますと導体内部では電流は水の流れのように場所によって異なる方向と大きさを持つベクトル場として考えることができます。水の場合流速を $\boldsymbol{v}$ とすれば、単位時間あたり単位面積を通過する流量は密度を $\rho$ とすれば $\rho|\boldsymbol{v}|$ となりますが方向も含めてベクトルとして $\rho\boldsymbol{v}$ として表すことができます。電流の場合も単位面積を単位時間に通過する電流を電流密度 $\boldsymbol{J}$ で表します。そうすれば水の流速ベクトルを面で積分したものがその面を通過して流れる水の量を表しているように、その面を通過して単位時間に流れる電荷の量すなわち電流を表すことができます。
\begin{equation}
i=\int_S\boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{n}dS \tag*{$(4-3)$}
\end{equation}
この式を使うと（４－２）式は次のようにかけます。
\begin{equation}
\oint_C\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{t}dl=\int_S\boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{n}dS \tag*{$(4-4)$}
\end{equation}
この式の右辺の面積分を行う面 $S$ は平面である必要はありません。境界線を固定していればこの境界線を通過する電流はどのような面でとっても同じです。

　図のように下から入った電流 $i$ は上の曲面 $S$ を通して出ていきます。入ってくる電流と出ていく電流は等しいので積分面によらないことが分かります。アンペールの法則（４－４）式の左辺の線積分は積分路 $C$ によって決まるのは明らかですが、右辺の面積分もこの境界線だけで決まってしまうことになります。
　ここからはこの法則に出てくるような線積分について考えていきます。ベクトル場としては磁場でも良いのですが、もう少しなじみのある水の速度場を考えます。

　水が原点を中心に渦を作って回転している場合は、原点を取り囲む線で速度の接線成分を積分すると次のようになります。
\begin{equation}
\Omega=\oint_C\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl \tag*{$(4-5)$}
\end{equation}
ここで $\Omega$ は渦を定量的に表す量と考えられます。実際、水が静止している場合や一定方向に同じ速度で流れているときはこの値はゼロとなり、回転速度が大きいほど大きくなります。回転には右回りと左回りという方向がありますが、この違いは $\Omega$ の符号で表すことができます。すなわち積分路の接線ベクトル $\boldsymbol{t}$ の取り方は二通りあるので、例えば原点を通る $z$ 軸方向に対して左回りの方向にとれば、左回りの渦の場合は正、右回りの場合は負となります。
　（４－５）式は面 $S$ を取り囲む境界線 $C$ での周回積分ですが、ここで次の図にあるように面 $S_1$ と面 $S_2$ に分割することを考えます。

　まず領域を二つに分割すればそれぞれの領域で、
\begin{equation}
\begin{split}
&\Omega_1=\oint_{C_1}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl \\
&\Omega_2=\oint_{C_2}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl
\end{split} \tag*{$(4-6)$}
\end{equation}
が定義できます。ここで線積分 $C_1$ $C_2$ は面領域 $S_1$ $S_2$ を取り囲む境界線です。したがって（４－５）式の積分路 $C$ には含まれていない内部境界線が含まれています。ところがこの内部境界線による積分は二つの領域では線積分の方向が逆になるので足し合わせた場合キャンセルして消えてしまいます。

　これより二つの領域の速度の線積分の和は領域境界だけの線積分となります。
\begin{equation}
\oint_{C_1}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl+\oint_{C_2}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl=\oint_C\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl \tag*{$(4-7)$}
\end{equation}
すなわち、
\begin{equation}
\Omega=\Omega_1+\Omega_2 \tag*{$(4-8)$}
\end{equation}
となります。
　このことはもっと多くの領域に分割した場合にも成り立ちます。例えば分割された $n$ 番目の領域 $S_n$ について、
\begin{equation}
\Omega_n=\oint_{C_n}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl \tag*{$(4-9)$}
\end{equation}
が定義できますがこれらを元の領域 $S$ になるように足し合わせるとどうなるかを考えます。
\begin{equation}
\sum_n\Omega_n=\sum_n\oint_{C_n}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl \tag*{$(4-10)$}
\end{equation}
この式の線積分は内部境界の寄与が図のように打ち消されますので最初の領域の境界上の積分だけが残ります。

　したがって、（４－１０）式の右辺は次のように変形できます。
\begin{equation}
\sum_n\oint_{C_n}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl=\oint_C\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl \tag*{$(4-11)$}
\end{equation}
これより次のようになります。
\begin{equation}
\Omega=\sum_n\Omega_n \tag*{$(4-12)$}
\end{equation}
このようにある面領域を取り囲む周回積分は、この面を分割して多くの面ごとの周回積分に分割してもそれを足し合わせると同じになります。ここでの説明で使った図では面領域 $S$ を平面として扱ってきましたが、どのような曲面に対しても成り立ちます。
　アンペールの法則では磁場に関する周回積分が電流密度の面積分であるというように表現されていました。したがってこの回転を表す $\Omega$ を面積分で表現することを考えます。そのために、この面領域を小さな長方形で分割します。分割される面は一般には曲面ですが小さな面に分割するとこれらの面は平面に近づき、大きさをゼロにもっていく極限では完全に平面とみなすことができます。これらの面は方向は特別な座標系をとらない限り座標面と一致しているとは限りませんが、ここでは $xy$ 面に乗っているとして議論します。その結果は他の方向を持った平面に変換できますので最終的には曲面に関する関係が得られます。
　まず、（４－９）式のように分割された長方形の一つを $x$ 方向の区間 $[a,a+\Delta x]$、$y$ 方向の区間 $[b,b+\Delta y]$ で囲まれる領域とすると線積分は四つの線に分割することができます。

　まず、線 $x=a$ では積分方向の単位ベクトル $(0,-1)$ とこの線の中心におけるベクトル $\boldsymbol{v}(a,b+\Delta y/2)$ から積分は次のようになります。
\begin{equation}
-v_y\bigl(a,b+\frac{\Delta y}{2}\bigr)\Delta y \notag
\end{equation}
　次に、線 $x=a+\Delta x$ では積分方向の単位ベクトル $(0,1)$ とこの線の中心におけるベクトル $\boldsymbol{v}(a+\Delta x,b+\Delta y/2)$ から積分は次のようになります。
\begin{equation}
v_y\bigl(a+\Delta x,b+\frac{\Delta y}{2}\bigr)\Delta y \notag
\end{equation}
したがって、両者の和は
\begin{equation}
\begin{split}
&\bigl[v_y\bigl(a+\Delta x,b+\frac{\Delta y}{2}\bigr)-v_y\bigl(a,b+\frac{\Delta y}{2}\bigr)\bigr]\Delta y \\
&=\frac{v_y\bigl(a+\Delta x,b+\frac{\Delta y}{2}\bigr)-v_y\bigl(a,b+\frac{\Delta y}{2}\bigr)}{\Delta x}\Delta x\Delta y
\end{split} \notag
\end{equation}
となります。この式の右辺は区間 $\Delta x$ をゼロに近づけた極限において変数 $x$ による偏微分となるので、次のようにかくことができます。
\begin{equation}
\frac{\partial v_y}{\partial x}\Delta x\Delta y \notag
\end{equation}
同様にして線 $y=b$ と線 $y+\Delta y$ についての積分は、
\begin{equation}
-\frac{\partial v_x}{\partial y}\Delta x\Delta y \notag
\end{equation}
となるので、結局（４－９）式は次のようになります。
\begin{equation}
\oint_{C_n}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl=\bigl(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}\bigr)\Delta x\Delta y \tag*{$(4-13)$}
\end{equation}
したがって、（４－１０）式はこの右辺の和として次のように表すことができます。
\begin{equation}
\sum_n\oint_{C_n}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl=\sum_n\bigl(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}\bigr)\Delta x\Delta y \tag*{$(4-14)$}
\end{equation}
ここで右辺の和は領域に含まれる微小な長方形すべてについてとり、微分はこれらの直方体の中心における値です。この長方形の大きさをゼロに近づけた極限において面積分になります。
\begin{equation}
\oint_C\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl=\int_S\bigl(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}\bigr)dxdy \tag*{$(4-15)$}
\end{equation}
この式の左辺は線積分であり右辺は面積分となっており、当初の面積分で表すという目的が達成できました。ただしここでの分割された微小面領域は $xy$ 面であるとしていたのでこのままでは分割される前の領域も $xy$ 面に限定されたものになってしまいます。
　他の座標面でも上に述べたのと同様な方法が使えます。
　$yz$ 面では、
\begin{equation}
\oint_{C_{yz}}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl=\int_S\bigl(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}\bigr)dydz \tag*{$(4-16)$}
\end{equation}
　$zx$ 面では、
\begin{equation}
\oint_{C_{zx}}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl=\int_S\bigl(\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}\bigr)dzdx \tag*{$(4-17)$}
\end{equation}
となります。
　それでは座標面に乗っていない面に対してはどうなるでしょうか。

　そこで下の図のように点 $a$、$b$、$c$ で作られる三角形の面を考えます。

　この面における積分は次のようになります。
\begin{equation}
\Omega_{abc}=\int_a^b\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl+\int_b^c\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl+\int_c^a\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl \tag*{$(4-18)$}
\end{equation}
この右辺の積分をそれぞれ次のように定義します。
\begin{equation}
\Omega_{ab}\equiv\int_a^b\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl \hspace{10mm}
\Omega_{bc}\equiv\int_b^c\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl \hspace{10mm}
\Omega_{ca}\equiv\int_c^a\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl \tag*{$(4-19)$}
\end{equation}
また座標軸に沿った積分を、
\begin{equation}
\Omega_{oa}\equiv\int_o^a\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl \hspace{10mm}
\Omega_{ob}\equiv\int_o^b\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl \hspace{10mm}
\Omega_{oc}\equiv\int_o^c\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl \tag*{$(4-20)$}
\end{equation}
とします。これを使うと（４－１８）式は次のようにかけます。
\begin{equation}
\Omega{abc}=\Omega_{ab}+\Omega_{bc}+\Omega_{ca}　　\tag*{$(4-21)$}
\end{equation}
また座標面に乗っている三角形$\Delta_{oab}$、$\Delta_{obc}$、$\Delta_{oca}$に対しては、
\begin{equation}
\begin{split}
&\Omega{oab}=\Omega_{oa}+\Omega_{ab}+\Omega_{bo} \\
&\Omega{obc}=\Omega_{ob}+\Omega_{bc}+\Omega_{co} \\
&\Omega{oca}=\Omega_{oc}+\Omega_{ca}+\Omega_{ao}
\end{split} \tag*{$(4-22)$}
\end{equation}
となります。ここで、$\Omega_{ao}=-\Omega_{oa}$ などに注意すれば次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
\Omega_{oab}+\Omega_{obc}+\Omega_{oca}&=\Omega_{oa}+\Omega_{ab}+\Omega_{bo} \\
&+\Omega_{ob}+\Omega_{bc}+\Omega_{co} \\
&+\Omega_{oc}+\Omega_{ca}+\Omega_{ao} \\
&=\Omega_{ab}+\Omega_{bc}+\Omega_{ca}
\end{split} \notag
\end{equation}
この右辺は（４－２１）に一致するので次の関係が成立します。
\begin{equation}
\Omega_{abc}=\Omega_{oab}+\Omega_{obc}+\Omega_{oca} \tag*{$(4-23)$}
\end{equation}
これで三角面 $abc$ での積分 $\Omega_{abc}$ を、座標面に乗った三角形における積分の和で表すことができました。（４－１５）、（４－１６）、（４－１７）式を使うと、
\begin{equation}
\begin{split}
\Omega_{abc}&=\int_S\bigl(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}\bigr)dxdy \\
&+\int_S\bigl(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}\bigr)dydz \\
&+\int_S\bigl(\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}\bigr)dzdx
\end{split} \tag*{$(4-24)$}
\end{equation}
となります。ここで考えている領域の大きさは非常に小さいと考えているので面積分は積分されるものと面積の積としてもよいので、
\begin{equation}
\begin{split}
\Omega_{abc}&=\bigl(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}\bigr)\Delta S_{xy} \\
&+\bigl(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}\bigr)\Delta S_{yz} \\
&+\bigl(\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}\bigr)\Delta S_{zx}
\end{split} \tag*{$(4-25)$}
\end{equation}
となります。ここに $\Delta S_{xy}$ は三角形 $\Delta_{xy}$ の面積などです。

　図のように今考えている三角形 $\Delta_{abc}$ の面積を $\Delta S$、単位法線ベクトルを $\boldsymbol{n}$ とすれば、これらの座標面の三角形の面積はこの三角形の射影成分ですから法線ベクトルの成分を使って次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
&\Delta S_{xy}=n_z\Delta S \\
&\Delta S_{yz}=n_x\Delta S \\
&\Delta S_{zx}=n_y\Delta S
\end{split} \tag*{$(4-26)$}
\end{equation}
この関係が成り立つのは次のように考えれば分かりやすいでしょう。この図の下から上、つまり $z$ 方向に一様な水の流れがあるとします。この場合底面 $\Delta S_{xy}$ から水が入ってきます。水の速さを $v$ とすれば、この四面体に単位時間に入ってくる水の量は $v\Delta S_{xy}$ となります。一方水は $\Delta S$ の面から出ていきますがその量は $\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}\Delta S=vn_z\Delta S$ となります。水の速度成分は $z$ 方向のみだからです。これより、$\Delta S_{xy}=n_z\Delta $ となります。
　これを使うと（４－２５）式の右辺は次のようになります。
\begin{equation}
\bigl(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}\bigr)n_z\Delta S
+\bigl(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}\bigr)n_x\Delta S
+\bigl(\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}\bigr)n_y\Delta S \notag
\end{equation}
ここで次のような成分を持つベクトルを考えます。
\begin{equation}
\boldsymbol{\omega}=\bigl(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z},
\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x},
\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}\bigr) \tag*{$(4-27)$}
\end{equation}
このベクトルの成分は上の式にあらわれる項と同じものですが、この順番でベクトルの成分であることを示すことができます。これより（４－２５）式は次のようにかくことができます。
\begin{equation}
\Omega_{abc}=(\omega_zn_z+\omega_xn_x+\omega_yn_y)\Delta S=\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{n}\Delta S \tag*{$(4-28)$}
\end{equation}
これを使うと（４－１５）式を一般の曲面に拡張して次のようにかくことができます。
\begin{equation}
\oint_C\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl=\int_S\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{n}dS \tag*{$(4-29)$}
\end{equation}
このようにベクトル $\boldsymbol{\omega}$ はベクトル $\boldsymbol{v}$ の回転を表したベクトルなので、回転を表す演算を、
\begin{equation}
\mathrm{rot}\boldsymbol{v}=\bigl(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z},
\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x},
\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}\bigr) \tag*{$(4-30)$}
\end{equation}
と定義します。これを使うと（４－２９）式は、両辺を入れ替えて次のようになります。
\begin{equation}
\int_S\mathrm{rot}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}dS=\oint_C\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl \tag*{$(4-31)$}
\end{equation}
左辺のベクトルの回転についての面積分がその面の境界線上での周回積分と等しくなるという関係ですが、これをストークスの定理と呼んでいます。これより（４－４）式で表されるアンペールの法則は次のようになります。
\begin{equation}
\int_S\mathrm{rot}\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{n}dS=\int_S\boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{n}dS \tag*{$(4-32)$}
\end{equation}
この積分領域 $S$ はどのようにでもとれますので結局次の方程式となります。
\begin{equation}
\mathrm{rot}\boldsymbol{H}=\boldsymbol{J} \tag*{$(4-33)$}
\end{equation}
　少し式が多くなったので回転する速度場の簡単な例を示しておきます。図のように中心軸周りを角速度 $\omega$ で回転する円盤を考えます。

　このとき円盤の速度 $\boldsymbol{v}$ は場所によって異なりますが、中心軸から距離 $r$ 離れた位置における速さは、
\begin{equation}
v=r\omega \notag
\end{equation}
となります。速度は周方向を向いているのでこの点の座標を $(x,y)$ とすれば速度の成分は次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
&v_x=-\omega y \\
&v_y=\omega x　　\\
&v_z=0
\end{split} \notag
\end{equation}
これより（４－３０）式を計算すると、
\begin{equation}
\begin{split}
&(\mathrm{rot}\boldsymbol{v})_x=\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}=0 \\
&(\mathrm{rot}\boldsymbol{v})_y=\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}=0 \\
&(\mathrm{rot}\boldsymbol{v})_z=\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}=2\omega
\end{split} \notag
\end{equation}
となります。このベクトルの方向は回転軸方向を向いており、大きさは角速度の２倍であり場所によらず一定となっています。もちろんこの例は円盤の回転という特殊な例ですが、回転の演算子である $\mathrm{rot}$ が速度場の回転を表していることを感じていただけると思います。この場合のストークスの定理ですが、（４－３１）式の左辺の面積分は $\mathrm{rot}\boldsymbol{v}$ が一定であり法線ベクトルも常に $z$ 方向を向いているので、この積分面を半径 $R$ の円の内部とすれば、$2\omega$ にこの面積をかけたものになるので、
\begin{equation}
\int_S\mathrm{rot}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}dS=2\omega\times\pi R^2=4\pi R^2\omega \notag
\end{equation}
です。一方右辺は半径 $R$ の位置にある速さ $R\omega$ にこの円の周長をかけたものですから次のようになります。
\begin{equation}
\oint_C\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl=2\pi R\times R\omega=4\pi R^2\omega \notag
\end{equation}
確かに両者が等しくなることが確認できました。

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5. 勾配、発散、回転の性質

loop — Mon, 22 Mar 2021 05:48:08 +0000

　ここまで電磁場解析に必要なベクトル解析について述べてきましたが、ここでまとめておきます。スカラー関数の勾配を求めるには、次のように行います。
\begin{equation}
\mathrm{grad}f(x,y,z)=\bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\bigr) \tag*{$(5-1)$}
\end{equation}
これはベクトルであり方向はスカラー関数 $f$ の勾配方向で、大きさは勾配の大きさです。この右辺は次のようにかくことができます。
\begin{equation}
\bigl(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\bigr)f(x,y,z) \notag
\end{equation}
このカッコで表した部分は偏微分の記号がベクトルの成分のように並んでいるのでつぎの記号を形式的なベクトルとして扱うことができます。
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\equiv\bigl(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\bigr) \tag*{$(5-2)$}
\end{equation}
この $\boldsymbol\nabla$ という記号はナブラとよびベクトルであることを示すために太文字で表しています。
　この $\boldsymbol{\nabla}$ や $\mathrm{grad}$ のような記号はスカラー関数から勾配ベクトルを作ります。このような作用を行うものを微分演算子とよんでいます。このように考えると、一変数関数の微分も、
\begin{equation}
\frac{df}{dx}=\frac{d}{dx}f(x) \notag
\end{equation}
とかき $d/dx$ を関数 $f(x)$ に作用する微分演算子とみることができます。
　つぎにベクトルの発散は、
\begin{equation}
\mathrm{div}\boldsymbol{V}=\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z} \tag*{$(5-3)$}
\end{equation}
です。ベクトルどうしの内積は、
\begin{equation}
\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z \notag
\end{equation}
ですが、（５－２）式をベクトルと考えると（５－３）式の右辺はベクトルである微分演算子 $\boldsymbol{\nabla}$ とベクトル $\boldsymbol{V}$ との内積の形をしています。
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{V}=\bigl(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\bigr)\cdot\boldsymbol{V}
=\frac{\partial}{\partial x}V_x+\frac{\partial}{\partial y}V_y+\frac{\partial}{\partial z}V_z \notag
\end{equation}
これよりベクトルの発散は、
\begin{equation}
\mathrm{div}\boldsymbol{V}=\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{V} \tag*{$(5-4)$}
\end{equation}
のようにかくことができます。
　ベクトルの回転は、
\begin{equation}
\mathrm{rot}\boldsymbol{V}=\bigl(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z},
\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x},\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}\bigr) \tag*{$(5-5)$}
\end{equation}
です。この式はベクトルの外積、
\begin{equation}
\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}=(A_yB_z-A_zB_y,A_zB_x-A_xB_z,A_xB_y-A_yB_x) \notag
\end{equation}
であることを考えると、（５－５）式の右辺は次のようにかけます。
\begin{equation}
\bigl(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\bigr)\times\boldsymbol{V}=\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{V} \notag
\end{equation}
これよりベクトルの回転は、
\begin{equation}
\mathrm{rot}\boldsymbol{V}=\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{V} \tag*{$(5-6)$}
\end{equation}
のようにかくことができます。
　ここに出てきた微分演算子 $\mathrm{grad}$、$\mathrm{div}$、$\mathrm{rot}$ には次の性質があります。
\begin{equation}
\begin{split}
&\mathrm{grad}(f\pm g)=\mathrm{grad}f\pm\mathrm{grad}g \\
&\mathrm{div}(\boldsymbol{A}\pm\boldsymbol{B})=\mathrm{div}\boldsymbol{A}\pm\mathrm{div}\boldsymbol{B} \\
&\mathrm{rot}(\boldsymbol{A}\pm\boldsymbol{B})=\mathrm{rot}\boldsymbol{A}\pm\mathrm{rot}\boldsymbol{B}
\end{split} \tag*{$(5-7)$}
\end{equation}
演算子がこのような性質を持つ場合、線形演算子といいます。
　これら微分演算子の関係のうち電磁気学によく出てくるものを次に示します。
\begin{equation}
\mathrm{rot}(\mathrm{grad}f)=0 \tag*{$(5-8)$}
\end{equation}
この関係は勾配ベクトルは回転をとればゼロになるということです。また回転の発散もゼロとなります。
\begin{equation}
\mathrm{div}(\mathrm{rot}\boldsymbol{V})=0 \tag*{$(5-9)$}
\end{equation}
これは次のようになるからです。
\begin{equation}
\mathrm{rot}(\mathrm{grad}f)=\bigl(\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial z}-\frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial y},
\frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial z},
\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}\bigr)
=(0,0,0) \notag
\end{equation}
\begin{equation}
\mathrm{div}(\mathrm{rot}\boldsymbol{V})=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z}\bigr)
+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x}\bigr)
+\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}\bigr) = 0 \notag
\end{equation}
次に、
\begin{equation}
\Delta\equiv\mathrm{div}(\mathrm{grad})=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} \tag*{$(5-10)$}
\end{equation}
はラプラシアンという演算子でスカラー関数に作用させると次のようになります。
\begin{equation}
\Delta f=\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\nabla}f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2} \tag*{$(5-11)$}
\end{equation}
このラプラシアンに関しては次の関係もよく出てきます。
\begin{equation}
\mathrm{rot}(\mathrm{rot})=\mathrm{grad}(\mathrm{div})-\Delta \tag*{$(5-12)$}
\end{equation}
この関係も上でやったのと同じように成分ごとの比較を行って確認できますが少し面倒くさい式変形が必要です。このようなベクトルの成分についての計算は系統的な計算方法があり効率よく計算できますので付録で紹介しています。
　ここからは電磁気で良く出てくる特別なベクトル場について考えていきます。例えば静電場の場合、電場 $\boldsymbol{E}$ に関して次の式が成り立ちます。
\begin{equation}
\mathrm{rot}\boldsymbol{E}=0 \tag*{$(5-13)$}
\end{equation}
つまり至る所で回転がゼロの渦無し場です。この場合ポテンシャル（電位）$\phi$ が定義でき、
\begin{equation}
\boldsymbol{E}=-\mathrm{grad}\phi \tag*{$(5-14)$}
\end{equation}
となることはよく知られています。このようなことがなぜ言えるのでしょうか。これは一般のベクトル場でも言えますのでこれ以降ベクトル場 $\boldsymbol{E}$ を電場に限らないものとします。まず、（５－１３）式が成り立っていれば回転がゼロなので任意にとった閉曲線 $C$ について、
\begin{equation}
\oint_C\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{t}dl=0 \tag*{$(5-15)$}
\end{equation}
となります。ここに $\boldsymbol{t}$ は閉曲線に沿った回転方向の単位ベクトルです。

　図の左側がこの積分を示していますが積分路に点 $a$ と点 $b$ があった場合次のようにかきかえることができます。
\begin{equation}
\oint_C\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{t}dl=\int_{a右}^b\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{t}dl+\int_{b左}^a\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{t}dl \tag*{$(5-16)$}
\end{equation}
ただし右辺第１項の積分は右側の経路をとり、第２項の積分は左側の経路をとることを示すために積分記号の下に右と左の文字をかいています。したがって、
\begin{equation}
\int_{a右}^b\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{t}dl+\int_{b左}^a\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{t}dl=0 \notag
\end{equation}
です。ここで第２項の積分方向を逆にすれば積分の符号も逆になるので次のようになります。
\begin{equation}
\int_{a右}^b\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{t}dl-\int_{a左}^b\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{t}dl=0 \notag
\end{equation}
かきかえると、
\begin{equation}
\int_{a右}^b\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{t}dl=\int_{a左}^b\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{t}dl \tag*{$(5-17)$}
\end{equation}
です。右の図はこれを示したものです。このように点 $a$ から点 $b$ への線積分は二つの経路によらず同じであることが分かります。ここでの積分路は特別なものでなく、この二つの点を結ぶ経路であればどれをとっても積分値は同じになるということです。ここでベクトル $\boldsymbol{E}$ を電場とすればこの積分は点 $a$ と点 $b$ の間の電位差となります。これより例えば点 $a$ の電位を定義すれば点 $b$ の電位が一通りに決まります。静電場の場合電位という量が意味を持つのはこのような事情からです。実際（５－１４）式より、
\begin{equation}
\int_a^b\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{t}dl=-\int_a^b\mathrm{grad}\phi\cdot\boldsymbol{t}dl
=-\int_a^b\bigl(\frac{\partial\phi}{\partial x}t_xdl+\frac{\partial\phi}{\partial y}t_ydl
+\frac{\partial\phi}{\partial z}t_zdl\bigr) \notag
\end{equation}
ですが、
\begin{equation}
(t_xdl,t_ydl,tzdl)=(dx,dy,dz) \notag
\end{equation}
とかけるので上の式の右辺の積分は次のようになります。
\begin{equation}
\int_a^b\bigl(\frac{\partial\phi}{\partial x}dx+\frac{\partial\phi}{\partial x}dy+\frac{\partial\phi}{\partial x}dy\bigr)
=\int_a^bd\phi=\phi(b)-\phi(a) \notag
\end{equation}
したがってこの積分は積分路の両端での値だけで決まってしまい途中の積分路によらないことが分かります。逆に（５－１３）式をみたさないベクトル場の場合、図の左のような積分路で周回積分を行ってもゼロとならず、右側の図のような積分が経路によって異なることになります。この場合は（５－１４）式をみたすようなポテンシャルは存在しません。
　次に発散がゼロとなるベクトル場を考えます。具体的には磁束密度 $\boldsymbol{B}$ がこのような場です。
\begin{equation}
\mathrm{div}\boldsymbol{B}=0 \tag*{$(5-18)$}
\end{equation}
このような場は次のように表すことができます。
\begin{equation}
\boldsymbol{B}=\mathrm{rot}\boldsymbol{A} \tag*{$(5-19)$}
\end{equation}
ここに $\boldsymbol{A}$ もベクトル場で、$\boldsymbol{B}$ が磁束密度の場合ベクトルポテンシャルとよばれています。まずベクトル $\boldsymbol{B}$ がこのようにベクトル場 $\boldsymbol{A}$ の回転で表されるとすれば、（５－９）式より回転の発散はゼロなので（５－１８）式は自動的に成り立ちます。逆に（５－１８）式をみたすベクトル場が必ず（５－１９）式で表されるかということですが、これに関してはヘルムホルツの定理というのがあり、任意のベクトル場 $\boldsymbol{V}$ はスカラー場 $\phi$ の勾配とベクトル場 $\boldsymbol{A}$ の回転の和で表されます。
\begin{equation}
\boldsymbol{V}=\mathrm{grad}\phi+\mathrm{rot}\boldsymbol{A} \tag*{$(5-20)$}
\end{equation}
（５－１８）式をみたすベクトル場 $\boldsymbol{B}$ にこの定理を適用すると次のようにかけます。
\begin{equation}
\boldsymbol{B}=\mathrm{grad}\phi+\mathrm{rot}\boldsymbol{A} \notag
\end{equation}
この式の両辺の発散をとると左辺は（５－１８）式からゼロになり、右辺第２項も回転の発散なのでゼロになり、
\begin{equation}
\mathrm{div}\mathrm{grad}\phi=\Delta\phi=0 \notag
\end{equation}
となります。この式はラプラスの方程式ですが、無限遠点でスカラー場がゼロである場合は全空間で、
\begin{equation}
\phi=0 \notag
\end{equation}
となり、結局（５－１９）式が成り立つということになります。

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付録

loop — Mon, 22 Mar 2021 06:11:55 +0000

A1.積分公式
　電磁場解析でよく使う積分公式をまとめておきます。
ガウスの発散定理
　ベクトル場の発散の体積積分を表面積分で表すことができます。
\begin{equation}
\int_V\mathrm{div}\boldsymbol{v}dV=\int_S\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}dS \tag*{$(A1-1)$}
\end{equation}
ここに $V$ は体積領域、$S$ はその領域の境界面、$\boldsymbol{n}$ は境界面に外向きにとった単位法線ベクトルです。

ストークスの定理
　ベクトル場の回転の面積積分を境界積分で表すことができます。
\begin{equation}
\int_S\mathrm{rot}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}dV=\int_C\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{t}dl \tag*{$(A1-2)$}
\end{equation}
ここに $S$ は面領域、$C$ はその領域の境界線、$\boldsymbol{n}$ は境界面に外向きにとった単位法線ベクトルです。

A２.ベクトルの成分計算
　例えば（５－１２）式、
\begin{equation}
\mathrm{rot}(\mathrm{rot})=\mathrm{grad}(\mathrm{div})-\Delta \notag
\end{equation}
などを確認する計算を行うときはベクトルを成分になおし丹念に計算する必要があります。このような計算を効率よく行うための方法を述べます。まず二つのベクトルの内積は次のように成分でかくことができます。
\begin{equation}
\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zC_z=\sum_{i=1}^3A_iB_i \tag*{$(A2-1)$}
\end{equation}
この式の右辺のように一つの項に同じ添字が2度現れる場合はこの添字について1から3までの和をとる場合が多くあります。また和をとる添字がいくつもある場合など頻繁に和の記号をかく必要があります。そこでこのような場合、つまり一つの項に同じ添字が2度現れた場合はこの添え字に関して1から3までの和をとるものとして
和の記号を省略することにします。
\begin{equation}
\sum_{i=1}^3A_iB_i=A_iB_i \tag*{$(A2-2)$}
\end{equation}
この決まりのことをアインシュタインの規約といいます。これよりベクトルの内積は次のようにかけます。
\begin{equation}
\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}=A_iB_i \tag*{$(A2-3)$}
\end{equation}
ここで計算に便利な二つの記号を導入します。一つはクロネッカのデルタとよばれるもので次のように定義されています。
\begin{equation}
\begin{split}
\delta_{ij}&=1 \hspace{15mm} (i=j) \\
&=0 \hspace{15mm} (i\ne j)
\end{split} \tag*{$(A2-4)$}
\end{equation}
この記号を使うと基底ベクトルの内積を次のように表すことができます。
\begin{equation}
\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{e}_j=\delta_{ij} \notag
\end{equation}
　もう一つの記号はレビ・チビタの記号とよばれるもので、
\begin{equation}
\begin{split}
e_{ijk}&=+1 \hspace{15mm} (i,j,k が 1,2,3の偶置換の場合） \\
&=-1 \hspace{15mm} (i,j,k が 1,2,3の奇置換の場合） \\
&= \hspace{3mm}0 \hspace{15mm} (それ以外の場合)
\end{split} \tag*{$(A2-5)$}
\end{equation}
例えば、
\begin{equation}
\begin{split}
&e_{123}=e_{231}=e_{312}=1 \\
&e_{321}=e_{213}=e_{132}=-1 \\
&e_{111}=e_{112}=e_{122}=0
\end{split} \notag
\end{equation}
などです。これを使うとベクトルどうしの外積は次のようにかくことができます。
\begin{equation}
[\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}]_i=e_{ijk}A_jB_k \tag*{$(A2-6)$}
\end{equation}
このようになることは実際に計算して確かめることができます。
\begin{equation}
[\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}]_1=e_{1jk}A_jB_k=e_{123}A_2B_3+e_{132}A_3B_2=A_2B_3-A_3B_2 \notag
\end{equation}
他の成分も同じように確かめることができます。
　これより、勾配、発散、回転などは次のように表すことができます。
　まず勾配は、
\begin{equation}
(\mathrm{grad}f)_i=\frac{\partial f}{\partial x_i} \tag*{$(A2-7)$}
\end{equation}
発散は、
\begin{equation}
\mathrm{div}\boldsymbol{V}=\frac{\partial V_i}{\partial x_i} \tag*{$(A2-8)$}
\end{equation}
回転は、
\begin{equation}
(\mathrm{rot}\boldsymbol{V})_i=e_{ijk}\frac{\partial V_k}{\partial x_j} \tag*{$(A2-9)$}
\end{equation}
とかけます。これを使って二つのベクトルの外積の発散を計算してみます。
\begin{equation}
\begin{split}
\mathrm{div}[\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}]&=\frac{\partial}{\partial x_i}(e_{ijk}A_jB_k) \\
&=e_{ijk}\frac{\partial A_j}{\partial x_i}B_k+e_{ijk}A_j\frac{\partial B_k}{\partial x_i} \\
&=\mathrm{rot}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{rot}\boldsymbol{B}
\end{split} \notag
\end{equation}
このようにベクトルの成分ごとに式をかき出さなくてもこのような計算ができてしまいます。さらに便利な公式があります。レビ・チビタの縮約公式とよばれているもので次のものです。
\begin{equation}
e_{ijk}e_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl} \tag*{$(A2-10)$}
\end{equation}
左辺はレビ・チビタの記号どうしの積ですが同じ添字 $i$ が2度現れていますのでこれについて1から3までの和をとっています。この関係を示すにはそれぞれの添字の組み合わせについてひとつづつ確かめる必要がありますので少し面倒です。しかしこの公式を使うと複雑な成分計算を簡単に行えるので非常に重宝します。
　縮約公式を使った例として次の外積に関する式を確認します。
\begin{equation}
[\boldsymbol{A}\times[\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}]]=(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C})\boldsymbol{B}-(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})\boldsymbol{C} \notag
\end{equation}
左辺の $i$ 成分を計算すると次のようになります。
\begin{equation}
\begin{split}
[\boldsymbol{A}\times[\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}]]_i&=e_{ijk}A_j(e_{klm}B_lC_m) \\
&=e_{ijk}e_{klm}A_jB_lC_m \\
&=(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})A_jB_lC_m \\
&=A_jB_iC_j-A_jB_jC_i \\
&=\bigl((\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C})\boldsymbol{B}-(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})\boldsymbol{C}\bigr)_i
\end{split} \notag
\end{equation}
このように簡単に求まりますが成分ごとに計算すると結構大変です。
　最後に、前に例として出した回転演算子を２回作用させた場合の計算をしておきます。
\begin{equation}
\begin{split}
\bigl(\mathrm{rot}(\mathrm{rot}\boldsymbol{V})\bigr)_i&=e_{ijk}\frac{\partial}{\partial x_j}\Bigl(e_{klm}\frac{\partial V_m}{\partial x_l}\Bigr) \\
&=e_{kij}e_{klm}\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial V_m}{\partial x_l} \\
&=(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial V_m}{\partial x_l} \\
&=\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial V_j}{\partial x_i}-\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial V_i}{\partial x_j} \\
&=\bigl(\mathrm{grad}(\mathrm{div}\boldsymbol{V})-\Delta\boldsymbol{V}\bigr)_i
\end{split} \notag
\end{equation}

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