光台通信 - 電磁場解析シミュレーションの株式会社フォトン

その1.周波数応答解析（複素解析）について

loop — Mon, 18 Jan 2021 08:10:30 +0000

周波数応答解析（EDDYjω、WAVEjω、VOLTjω、ELASjω）を行なうと複素数の結果が得られます。このような複素数表現は回路において交流を扱う場合などに良く使われていますがもう少し詳しく考えてみたいと思います。
周波数応答解析は単一の周波数のみが関係し、他の周波数成分が混ざってこない場合に利用されます。場の間に線形の関係がある場合（Maxwellの方程式は線形微分方程式です）には位相は違っても全ての場は同じ周波数でsin的に変化すると考える事ができますので他の周波数成分が混ざりません。（sinの2乗の項等が出てきません。）
このため例えば磁場解析の場合には位相分も考えて磁束密度Bを

の様に定義します。
ここでReは複素数の実部を取る操作ですがこれは微分などと順番を変えても良いことからこの実部を取るという操作は微分を行なった後にすることにすると複素場Bcの満たす方程式はMaxwellの方程式から

となります。
周波数応答解析の場合にはこの方程式を解く事になります。
この方程式の解Bc、Ec等が得られますと実部と虚部の2つの情報だけから任意の時間の場が計算できます。（（１）式より）
また実部はt=0（入力と同位相）の場合の分布を表しており、虚部はt=-T/4での分布を示しています。

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その2.電場解析と電流分布解析について

loop — Mon, 18 Jan 2021 08:09:47 +0000

PHOTO-VOLTでは電場解析と電流分布解析ができます。
解析対象、必要な解析結果によりこれらを使い分ける必要があります。
電場解析の基礎方程式は

です。
一方電流分布解析の基礎方程式は

です。
電場解析は基礎方程式からわかるように時間変化が無いような定常状態の解析です。
一方電流分布解析は非定常な状態（変位電流の影響がある場合等）や定常的に電荷が移動する（電流が流れる）ような場合を対象としています。

さらに進んで電気抵抗は小さいが導体（銅や鉄）ほどではない場合はどうするのだ！
抵抗の大きな導体の中に電荷を密度ρで置いた場合、
電荷は導体の中が同電位になるように電流として流れて四散します。

この電荷はどのくらいの時間で四散して流れてしまうのか大体の所を見積もると
電荷の連続の方程式

オームの法則

マクスウェルの方程式の1つ

及び

から一様な物質中で

が得られます。これを解くと

となります。
電荷密度が元の1/eになる時間（時定数）は

ここで真空の誘電率εは8.85E-12なので導体の電気伝導率をσ=1E7 S/m程度とすると

となり、一瞬で電荷は四散してしまいます。（~~本当はこれほど急激な電場の変化があると磁場、渦電流の効果が無視できない。~~ 電子のドリフト速度が一定になるまで緩和時間が必要なためオームの法則を適用できない。）

このことを踏まえて上図のような導体としては抵抗が大きな物質がある系を考えると
時定数のオーダーは

程度となり、ナノ秒程度の時間変化を問題としない限りVmはVと同電位として良いと言えます。

※　フォトンニュース（No.26）に掲載された本記事中、数式の表記に誤りがありました。正しくは上記の通りです。ここに訂正し、お詫び申し上げます。

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その3.高周波解析と低周波解析について

loop — Mon, 18 Jan 2021 08:08:57 +0000

電磁場の現象を解析するためには Maxwell の方程式を解く必要がありますがマックスウェルの方程式は電場と磁場がお互いに影響し合いますので磁場（電場）のみを解く事はできません。しかし低周波の場合にはマックスウェルの方程式を近似して磁場部分と電場部分に分離することができます。
ではどの程度の周波数まで低周波（磁場解析、電場解析に分離できる）と考えて良いのでしょうか。
場合にもよりますが波長に対して解析対象が十分小さい場合には磁場解析、電場解析に分離して解析が可能です。
直感的には
例えば下図のような電線を考えた場合に磁場解析では線路内は一定の電流が流れていると考えて解析を行ないます。（電場解析でも同様です）
しかし波長が線路の長さに対して短い場合にある時刻を取り出すと線路内で電流密度は分布します。

※ 磁場解析、電場解析では線路内で一定として扱うため数分の１波長程度でも大きな誤差が生じるので電磁場解析を行なう必要がある。
低周波：解析対象に対して波長が十分大きい場合には磁場解析、電場解析を分離可能
高周波：解析対象に対して波長が小さい場合には電磁場解析

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その4.外場機能について１

loop — Mon, 18 Jan 2021 08:08:14 +0000

PHOTO-Seriesには外場を用いた解析が可能です。外場とは、有限要素法のモデルとは別にコイルなどのソースを意味します。
もともと有限要素法では隣あうエレメントはノードを共有する必要があります。具体的には図１のような２×２のエレメントを考えます。

ここで、図１のエレメントは隣り合うエレメントでノードを共有していることがわかります。
図２のように隣あうエレメントのノードが共有されないメッシュは原則許されません。

有限要素法で解析する場合はこのことに注意してメッシュを作成する必要がありますが、この原則を守るとモデル作成に制限が課せられます。
外場機能の一つの特徴として、この制限を緩和することができます。
有限要素法(2次導体など)のメッシュを作成する際、コイルの形状を意識する必要がなくなりますのでモデル作成の手間を軽減する有効な手段と考えられます。有限要素法のメッシュと外場はメッシュが繋がっている必要がないことから、コイルの移動もメッシュの再作成を行うことなく容易にできます。

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その5.外場機能について２

loop — Mon, 18 Jan 2021 08:07:30 +0000

前回は外場の概念について述べました。今回は具体例を挙げて、紹介致します。
図１のような鉄心を考えます。鉄心の周りにコイルを配置し、鉄心と周囲の空気の磁場分布を解析します。

図１のような解析対象であれば、通常の有限要素法でメッシュを作成してもそれほど手間ではありませんが、外場の特徴を説明するために、コイルを外場としてモデル化します。
鉄心については対称性を考慮して1/8モデルとし（図２）、外場コイルはフルモデルとなります（図３）。
それぞれのモデルが保存されたファイルを用意します。
(※ここでの「通常の有限要素法のメッシュ」とは、空気、鉄心及びコイルについて一つのまとまりして作成されたメッシュです。隣り合う要素は節点が共有されています。)

鉄心のメッシュとコイルのメッシュを重ねて読込むと図４のようになり、鉄心のモデルの要素とコイルの要素が節点を共有していないことがわかります。
コイルのメッシュに鉄心モデルの空気のメッシュがめり込んでいます。

解析結果を図５に示します。
図５では鉄心およびその近傍の磁束密度ベクトルが表示されています。

今回は簡単な解析対象でしたが、外場を使用するとメッシュの整合性を緩和できることを示しました。これにより、鉄心などの解析対象が複雑な場合はコイルを含めるとメッシュ作成に時間が必要となりますが、コイルを外場としてモデル化することにより、メッシュ作成の手間を軽減する一つの方法となります。また、コイルと解析対象とは別々のモデル(別々のファイルに保存)で良いことから、コイルの大きさ、配置などを変更したファイルを複数用意し、必要に応じてコイルを選択し、解析することも可能です。

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その6.外場機能について３

loop — Mon, 18 Jan 2021 08:06:47 +0000

前回、外場を導入することによって、メッシュの整合性を緩和できることを述べました。
前回の例では、外場(コイル)と鉄心(空気を含む)のメッシュは、比較的近い位置に配置されていましたが、外場とその他の解析対象を離して配置することも可能です。
外場の遠方に空気のメッシュを配置しますと、遠方の磁場を計算することも可能となります。もちろん、通常の有限要素法でも解析できますが、ソースと測定点の間のメッシュが必要であること、境界条件を考慮する必要があります。
測定点が遠い場合は、有限要素法のメッシュ数はかなり増加することが予想されますが、外場を使用しますと、必要なメッシュは外場と測定点のみになり、メッシュ数の低減に貢献できます。
具体的に、外場機能を使って磁石の遠方磁場を計算してみます。
前回はコイルを外場としましたが、今回は外場を磁石にしました。(図１)
その外場を囲むように空気メッシュを用意します。(図２)

外場と測定点を重ねて読込みますと、図3ようになります。< 測定点の中心に磁石が配置されています。

計算結果を以下に示します。

今回は、外場機能を使用して、遠方の磁場を計算しました。
磁石と測定点の間のメッシュを作成することなく、解析されています。

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その7.外場機能について４

loop — Mon, 18 Jan 2021 08:06:07 +0000

前回までは、コイルを外場として磁性体の解析(外場機能ついて２)と磁石の遠方磁場の解析(外場機能について３)を紹介いたしました。
この２ケースでは、外場はコイルと磁石をそれぞれ単独で使用されていますが、外場に磁性体や導体を含めた計算も可能です。
下図のようなモデルが作る遠方磁場を求めます。

前回までの内容を踏まえますと、このモデルを外場として、遠方磁場を求めることになります。
コイルの電流密度は、入力条件として与えられますが、磁性体の磁化はコイルが作る磁場によって決まりますので、入力条件として予め与えることができません。(今回は磁性体の渦電流を無視しています。電気伝導率を持つ場合は、磁化と同様に、渦電流も前もって入力条件として与えることができません。)
そこで図１のモデルを有限要素法で解析を行っておき、前もって磁化(必要に応じて、渦電流も)を求めておきます。PHOTO-Seriesでは有限要素法の解析で得られた磁化を外場として使用することができます。
有限要素法の解析結果として、磁束密度分布と磁化分布を以下に示します。

図３の磁化とコイルの電流を外場として、遠方磁場を求めます。
測定点と外場を重ねて読込みますと図４のようになります。

磁化を求めるときに必要であった空気のメッシュを表示すると図５のようになります。
外場機能を使用せずに、遠方磁場を求める場合はより広い空気領域が必要であることがわかります。

遠方磁場の解析結果を図６に示します。

今回は、磁石、コイルだけでなく結果的に決まる磁性体の磁化を外場として使用できることを示しました。
渦電流も同様に扱えます。

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その8.外場機能について５

loop — Mon, 18 Jan 2021 08:05:15 +0000

モーターやアクチュエータなど運動を伴う解析の手法はいくつかありますが、可動側と固定側のメッシュの整合が問題となります。
外場機能を使用すると、メッシュの整合性を緩和できることから、運動の取り扱いが可能となります。
今回はパイプの上に配置されたコイルの移動を考慮した渦電流分布の解析をご紹介します。

図１に解析対象が図示されています。
パイプの上に配置された円形コイルに10kHzの電流を流します。
パイプは導体としていますので、渦電流が流れることになります。
この問題についても外場を使用せずに空気のメッシュと整合させ、全体のメッシュを作成することも可能です。(手間がかかりますが)　
しかし、移動を考慮すると解析が難しくなります。
外場機能を使用するとメッシュの整合を緩和できることから、容易に解析できます。
外場コイルに速度を与え、実際に計算してみました。

５回に亘って、外場を使用することにより、メッシュ作成の手間の軽減、遠方場の計算、運動の取り扱いが可能になることをご紹介致しました。外場機能が問題を解決するヒントになれば幸いです。

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その9.PHOTOシリーズのモジュール群

loop — Mon, 18 Jan 2021 08:04:13 +0000

前回までの８回は、技術面でどうしても早くお話しておいた方がいいであろうと判断した内容で、多少小難しい内容が続きました。
閑話休題ということで、今回から数回は、多少話を基本に立ち戻らせ、PHOTO-シリーズの基本的なお話をしたいと思います。内容については、弊社パンフレットやホームページ等とダブるものとなりますが、ご容赦いただきたくお願いいたします。
PHOTO-シリーズの一番の特長は、解析したい現象や製品によって最適なモジュールが選択出来るということです。
電磁現象は非常に広範囲で、それを一括して取り扱うことは現状では不可能です。また、電磁現象はそれのみを解析するだけではなく、渦電流による発熱からの熱伝導や熱応力の解析、電磁力を受けた構造体内部の応力や変形の解析まで行う必要が生じる場合もあります。
そこで、PHOTO-シリーズは、下表のようなモジュールを揃えて、解析の内容や対象に応じた最適なモジュールを選択し、間違いのない解析結果を導くツールとなっています。

※2022年2月現在のモジュール構成となります。
それでは、表をご説明いたします。
縦方向にはおおまかな、解析の分類で分かれています。
WAVEがついた一番上の行は高周波解析。
２番目の行のMOTIONは次の三行目のEDDYの全機能を継承し、加えて運動方程式を考慮した解析。
３番目の行のEDDYがついたものは低周波解析の内、渦電流を考慮する必要がある動磁場解析。
４番目の行のEDDYTMがついたものは低周波解析の内、渦電流を考慮する必要がある動磁場解析で、有限要素法とH法併用により空気メッシュを必要としません。
５番目の行のMAGのついたモジュールは低周波解析で、渦電流は考慮しなくてもいい静磁場解析。
６番目の行、VOLTのついたものは電場解析。
次の７番目の行から以下２行は上記の電磁場解析モジュールとの連成解析を行うモジュールとなっています。
最初の行、THERMOは発熱量を与えてやることによって熱伝導解析を行います。
次の行のELASのついたモジュールは弾性応力解析。
これが、大まかな縦方向の分類です。
ここで注意していただかないといけないのは、解析が高周波の解析か低周波の解析かの判断の仕方です。これは、取り扱う波長と解析対象の大きさの相対的な関係によって決まってくるということです。このことに関しては、本シリーズの第三回に詳しく書いてありますので参照してください。
次に横方向の分類ですが、解析手法による分類で分けています。
左から二列は有限要素法を解析手法としているモジュールです。
有限要素法は磁場解析の分野ではもっとも普及している解析手法で、透磁率、誘電率などの非線形性や異方性が簡単に扱えます。しかし、解析領域は物体だけでなく空間領域を含むので、空間メッシュが必要となり、メッシュ作成技術にある程度習熟する必要があります。ただし併用法を用いたモジュールは空気メッシュを必要としません。
同じ有限要素法でも、入力波形がサインカーブを描くかどうかで、手法が若干異なります。サインカーブを描かない場合は過渡的に解析しなければなりません。これが一列目のモジュールとなります。
一方、入力波形がきれいなサインカーブを描く場合は周波数応答解析（いわゆる複素解析）を適用することが可能です。これが二列目のモジュールです。
周波数応答解析については、本シリーズの第一回に書いておりますので参照してください。
三列目は境界要素法を解析手法としたモジュールです。境界要素法は有限要素法のように空間領域のモデル化が必要ないので無限領域の解析が簡単に出来ます。しかし、非線形材料の取り扱いは限定されます。
最後の列はその他の解析手法を採用しています。
これらの解析手法はそれぞれ一長一短があり、解析対象や内容にかなり制限がありますので、これらのモジュールを採用する場合はフォトンの技術スタッフと入念な打合せをすることをおすすめします。

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その10.2次元自動作成メッシュ機能についてのご紹介

loop — Mon, 18 Jan 2021 08:03:30 +0000

PHOTO-SeriesVer7.2では2次元メッシュ作成機能としてマップドメッシュ、４隅指定マップドメッシュ、デローニ３角メッシュに対応しておりました。これらに加えVer8.0から４分木分割による３角メッシュ機能を新たに追加しましたので、ご紹介致します。
有限要素法を用いた電磁場解析では解析対象となる物質のメッシュ以外に、その周りを取り囲む空間のメッシュまで作成する必要があります。例えば図の様に同期モータの解析ではモータだけではなくそれらをとりこ囲む空間のメッシュを作成する必要があります。

これまでの2次元メッシュ機能ではユーザが解析領域をいくつかの閉領域に分割し、その領域ごとにメッシュを作成する必要がありました。メッシュの粗密を細かく指定できるので意図した精度を得るには非常に有用な機能ですが、定性的な結果を得ることを優先して短時間で解析作業を済ませたい場合は、ある一定の規則で全自動的にメッシュを作成した方が有用であるように思われます。

上記の背景から４分木分割による３角メッシュ機能は、解析対象物と空間をある一定の規則で全自動的にメッシュを作成する機能として追加されました。次にこの機能の基本的な考え方についてご説明いたします。簡単のため作成対象は円とします。まず図の様に定めた領域に対して外側の空間領域を設定します。

この段階では分割領域は1つです。次に分割した領域を4つの領域に分割します。

再度領域４分割し、分割領域を16個の領域に分割します。この段階で作成対象の円の領域の境界線（黄色）を含まない水色の領域が出現します。この領域については分割を止めて、円の境界線を含む他の領域を再度4分割していきます。ある程度分割が進むと下図の様に境界線上では細かな領域が形成され、それ以外の領域では比較的大きな領域が形成されます。

このように領域をある条件で4分割していくことから四分木の名前の由来となっています。形成した領域に対してそれぞれ三角メッシュを作成すると下図の様になります。

４分木の規則で作成されたメッシュは境界の分解能は高いことが分かります。従って境界上で大きく変化するような解析の定性的な判断には有用に使えそうなことが分かります。以上が４分木分割による３角メッシュ機能の基本的な考え方です。
それでは、４分木分割による３角メッシュ機能を利用したメッシュ作成の実例を示します。まず解析対象の境界を表す2次元のデータを作成します。このデータはメッシュ作成のためのインプットデータとなります。PHOTO-GRADE上で線と点の作成機能を使用して作成することもできますし、他のＣＡＤツール等で作成したＤＸＦ形式のファイルからも読み込んで定義することもできます。

このメッシュは同期モータの磁場解析を想定しています。次にPHOTO-Series上で４分木分割による３角メッシュ機能を起動し下記ダイアログで作成パラメータを設定します。

解析領域の倍数は空間領域の大きさを決めるパラメータです。２つの分割数のパラメータは4分木領域をどこまで細かく設定するかのパラメータです。以上3つのパラメータを調整するだけで空間領域を含めたメッシュを作成を行うことができます。以下本機能を用いて作成した結果となります。

以上、４分木分割による３角メッシュ機能の紹介でしたが、メッシュ作成の手間の軽減はもとより、これから電磁場解析を始める方にも簡単に利用することができます。

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