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半径 R の球の表面である２次元空間を考える。球面上の座標（θ,φ）は球の中心に原点を持つ３次元のデカルト座標と次の関係がある。
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この式を微分して次の関係が得られる。
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ここで、
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これより、
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となるので計量テンソルは次のようになる。
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v の物理成分を（Vθ ,Vφ）とおけば、
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の関係がある。これより（３−５）式を計算するとゼロでない成分は次のようになる。
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これから共変微分を計算すると次のようになる。
スカラー場に関して、
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ベクトル場に関して、
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である。これより次の関係が得られる。
ベクトルの発散は、
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スカラー場のラプラシアンは次のようになる。
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