電磁気学入門 5. 誘電体と磁性

 前回まで電場や磁場が電荷と電流によってどのように作られるかを見てきましたが、普段は電気や磁気を持たなくても電場の中に置くことによって電場の発生源になる物質や、磁場の中に置くことによって磁場の発生源となる物質があります。前者を誘電体、後者を磁性体と呼びます。
 まず誘電体について考えることにします。電気を持っていない物質という表現をしましたが、通常私たちが接することの出来る物質は原子から出来ていることはよく知られています。また原子はプラスの電荷を持つ原子核とマイナスの電荷を持つ電子から構成されていることも知られています。ですから電気を持っていない物質といってもその中には莫大な数のプラスとマイナスの電荷が存在しており全体として電荷の総和がゼロとなっているにすぎないのです。例えば水素ガス 1 グラム中にはアボガドロ数だけの電子がありその電荷の総量は次のようになります。
大気圧中の水素ガス 1cc にしても
となります。以前お話したように 1 クーロンの電荷を持つ二つの物体を 1 メートル離しておいたときの力が 90 万トンであることを考えればこの電荷の量は大変なものです。幸い水素ガスの中には電子と同じ数の陽子が存在し、それがちょうど電子と同じ大きさのプラスの電荷を持っていますので全体として中和しており、このような巨大な電荷がそのまま現れることはありません。さらに原子の数が非常に多いことを考えると、通常のスケールの範囲では微小な領域を考えても、プラスとマイナスの電荷はうちけしあっていて電荷が現れることはないので、まったく電気を持っていないように見えます。
 これからしばらくの間、電気を通さない絶縁体について考えます。このような物質を電場の中に置くと、全体としては電荷の総和はゼロのままですが、電場の力によってこれらの電荷の位置が変化しますので、電荷がうちけしあわない微小領域が生じ、その結果、物質内部や表面に電荷が発生することがあります。ただし、金属のような導体ではありませんので、電場が時間的に変化しないときは電荷の移動はありません。ここで電荷の移動を表すベクトル P を導入します。このベクトルの大きさは移動した電荷と移動距離の積で、方向は移動した方向と一致するものとします。またこのベクトルは物質の中に連続的に分布していると考えることが出来ます。今、物質の中に微小な領域 ΔV を考えます。この領域を囲む閉曲面を ΔS としこの曲面上の外向きにとった単位法線ベクトルを n とすればこの領域から出ていく電荷の量は、
となります。これよりこの領域に発生する電荷 ΔQ は次のようになります。
ここでガウスの発散定理を使い表面積分を体積積分に書き換えています。この結果は、物質中にこのような過程で −divP の電荷密度が発生したことになります。この電荷密度によっても電場は作られますので前節で述べた電荷が作る電場の方程式、
は次のように変更する必要があります。
この式を変形すると次式が得られます。
このように絶縁体の電気特性はこのベクトル P で決まることになりますので、今後このベクトルのことを分極と呼ぶことにします。
ここで、
と定義すれば(2)式は次のようになります。
ここで、D は電束密度、または電気変位と呼ばれています。
通常電場 E がそれほど大きくないときは分極 P は電場に比例します。この場合、電束密度 D も電場に比例しますので、(3)式は、次のように書くことが出来ます。
ここに比例定数 ε は誘電率と呼ばれ、誘電体の電気特性を表現しています。ちなみに真空中では分極が存在しないので、(3)式は、
となり、(5)式との対応から ε0 が真空の誘電率となることが分かります。
 次に磁性体について考えます。磁性体を磁場の中に置くとこの磁性体も磁気を帯び磁場の源になることはよく知られています。この性質を誘電体のとき少し述べたのと同じようにミクロな物質の構造から考えていくことも出来ますが、ここでは磁場を作るのが電流であることを考えて磁性体の中をある種の電流が流れるものとして議論していきます。この電流の性質から磁性体の磁気特性を調べようというわけです。
 まず磁性体を磁場中においても普通それによってこの磁性体が全体として電気を帯びることはありません。このことはこの電流が磁性体の外に流れ出さないことを示しています。また磁性体の各部分が電気を帯びることもないので、ある領域を考えた場合この電流がこの領域に入る量と出て行く量がつねに等しくならなくてはいけないことになります。この領域を V、この領域を囲む閉曲面を S とし、この曲面上の外向きにとった単位法線ベクトルを n とすれば、この電流 J に対して次の関係が成り立つことになります。
この領域 は任意に取ることが出来るので次式が成立します。
ベクトル解析の関係から発散を取ってゼロとなる量はあるベクトルの回転として表わすことが出来ます。つまり、
この電流も磁場を作りますのでで前節で述べた電流が作る磁場の方程式
は次のように変更する必要があります。
この式を変形すると次式が得られます。
このように磁性体の磁気特性はこのベクトル で決まることになります。今後このベクトルのことを磁化ベクトルと呼ぶことにします。
ここで、
と定義すれば(10)式は次のようになります。
ここで、 は磁場の強さと呼ばれています。
 通常磁場の強さ がそれほど大きくないときは磁化ベクトル は磁場の強さに比例します。この場合、磁束密度 B も磁場の強さに比例しますので、(11)式は、次のように書くことが出来ます。
ここに比例定数 μ は透磁率と呼ばれ、磁性体の磁気特性を表現しています。ちなみに真空中では磁化ベクトルが存在しないので、(11)式は、
となり、(13)式との対応から μ0 が真空の透磁率となることが分かります。
ここでは磁性体の性質を磁性体内を流れるある種の電流として議論したために、ここで導入された磁化ベクトル の物理的な意味が誘電体のとき導入された分極 P のようにはっきりしていません。そこで(11)式の両辺の発散をとりますと、
となり、さらに磁束密度 B の発散はゼロですから上式は次のようになります。
一方電荷密度が存在しない場合の電場に関する方程式は、(2)式より、
となりますが両式を比べると磁化ベクトル が、誘電体の分極 P と同じような形で磁場の生成に関与していることが分かります。ここではこれ以上議論しませんが については後にはっきりとした物理的意味を与えます。
 今回は誘電体や磁性体が存在する場合の電場や磁場について議論しました。その結果これらの物質が存在する場合でも分極Pや磁化ベクトル 、または電束密度 D や磁場の強さ を導入することによって電荷及び電流がこれらの場を発生させていることに変わりないことを示しました。
 ここでこれまで得られた電場と磁場に関する方程式をまとめると以下のようになります。
ただし
です。
 誘電体や磁性体の存在する場合を含めて電場や磁場に関する経験的な法則をこのように簡単な方程式としてまとめることが出来ました。ただしこれらの方程式を解くには、誘電体の分極 P が電場とどのように関係するのか、磁性体の磁化ベクトル が磁場とどのような関係にあるかを知る必要があります。しかしこれらの関係はおのおのの物質特有の性質として決まるもので電場や磁場の法則からは導くことは出来ません。
 今までの議論で電場と磁場は密接な関係にある事が分かりました。次回は電荷が生成も消滅もしないという経験的な事実から電場や磁場に関するこれらの方程式を完全なものとしたマックスウェルの方程式を導くことを試みます。この方程式により、電場と磁場は電磁場という統一的な概念として捉えることが出来るようになります。