曲線座標

４．具体的な曲線座標系の例 ４−１．円筒座標系

円筒座標はデカルト座標と次の関係がある。

この式を微分して次の関係が得られる。

ここで、

とおくと（４−２）式より次の式が成立する。

これより、

となるので計量テンソルは次のようになる。

v の物理成分を（Vr,Vθ,Vz）とおけば、

の関係がある。これより（３−５）式を計算するとゼロでない成分は次のようになる。

これから共変微分を計算すると次のようになる。 スカラー場に関して、

ベクトル場に関して、

である。これより次の関係が得られる。 ベクトルの発散は、

次にベクトルの回転を求める。デカルト座標におけるベクトルの回転は次のようにかける。

ここで、Eijk は３階の反変テンソルであり、（i,j,k）が（1,2,3）の偶置換の場合は 1、奇置換の場合は −1 、それ以外はゼロである。このテンソルは一般座標では次のようになる。

これより、eijk は３階の反変テンソルであり、（i,j,k）が（1,2,3）の偶置換の場合は J 、奇置換の場合は −J 、それ以外はゼロである。ただし、J は変換行列の行列式である。

このテンソルの性質を使うと、

となるので一般座標におけるベクトルの回転は次のようになる。

これより、

となる。物理成分でかくと次のようになる。

スカラー場のラプラシアンは次のようになる。

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