曲線座標

２．ベクトルとテンソル

曲線座標におけるベクトルの反変成分および共変成分は、デカルト座標における成分と（１−４）式と（１−９）式を使うと次の関係にある。

これらの式は両座標系におけるベクトルの成分の関係を表している。 　ここで座標系 x とは異なった曲線座標系 x' を考える。この座標系におけるベクトル V の反変成分と共変成分はデカルト座標における成分の関係（２−１）、（２−２）式と同じく、

の関係がある。ただしこれらの式では一つの項に同じ添字が2回あらわれた場合その添字について１から n までの和をとるアインシュタインの規約を使った。今後この規約を使うことにする。 （２−１）式と（２−３）式より次の式が得られる。

この式の両辺にをかけて k について和をとれば、左辺は次のようになる。

また右辺は、

となるからこれらの曲線座標系におけるベクトルの反変成分の関係が次のようになる。

同様に共変成分については、（２−２）式と（２−４）式より次の関係が得られる。

これらの式はデカルト座標と曲線座標の、ベクトルの成分どうしの関係（２−１）（２−２）式の一般化と考えることができる。 これはまた次のように考えることもできる。いま一つの添字で表される数の組で表現されている量があり、これらの数の組が座標変換で（２−５）（２−６）式のように変換する場合、この量はベクトルである。 これを拡張して、２つの添字を持つ数の組が次のように変換する場合２階のテンソルと定義する。

これらはこのテンソルの２階の反変成分と２階の共変成分である。同様に高階のテンソルを定義することができる。例えば、

などである。ここで、テンソルの成分がこの例のように反変成分と共変成分の両方を持っている場合これらの添字に関して和をとることによって階数が２だけ低いテンソルを作ることができる。上の例では左辺の添字 m を i とし o について和をとるとこの式は次のようになる。

このような操作をテンソルの縮約という。 ここで無限小離れた点を結ぶベクトルを dx としこのベクトルの長さを ds とする。このとき ds はこのベクトルのデカルト座標における成分と曲線座標における成分を使って次のように表すことができる。

ここで

と定義すると（２−９）式は、

となる。この gij は次に示すように２階のテンソルの共変成分であり、このテンソルのことを計量テンソルという。これがテンソルの共変成分であるためには（２−８）式の関係をみたす必要がある。左辺に（２−１０）式を代入すると、

となり（２−８）式をみたしていることが分かる。 ここで（１−２）式をつかうと、

とかけるので、この計量テンソルを使うと（１−７）式より次のようにベクトルの反変成分を共変成分に変換することができる。

ここで、つぎの２階のテンソル h を考える。

これより、

となるので、（２−１２）式より、

となり、このテンソルはベクトルの共変成分を反変成分に変換することが分かる。 また、これを使うと（２−１１）式より次のようになる。

これより hij は計量テンソルの反変成分と考えることができる。ちなみに共変成分を（１−１２）式によって計算すると、

となる。したがって計量テンソルはベクトルやテンソルの反変成分と共変成分との関係を与えることが分かる。今後 hij を gij とかく。

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